大學“分形與混沌”選修課之分形教學研究

袁利國,聶篤憲,張勝祥

(華南農業大學 數學與信息學院,廣東 廣州 510642)

分形(Fractal)、混沌與孤立子是非線性動力學研究的三大主題。分形即分形幾何學,是Benoit B．Mandelbrot在20世紀70年代新提出的數學研究分支,分形是由分析自然界中不規則、不光滑幾何體或一些人為構造的“病態”幾何體而發展起來的一門學科。[1]5-30如:英國的海岸線有多長?[2]Peano曲線與Koch曲線有多長?謝爾賓斯基墊片的維數是多少?這些問題的解決都超出了傳統幾何學的范疇,從而提出分形(分數)維數、分形插值、分形圖像壓縮等分形幾何的概念與方法。[3]1-20分形在物理學、化學、生物學、經濟學、圖形學等學科都有廣泛應用。高中數學教材也有涉及分形的簡單介紹。[4]2-20如:芝加哥大學數學課程設計第四冊高中代數中第14章“維數和空間”的內容介紹了分形創始人Mandelborot、舉例闡述什么是分形、講解了分維(分數維數) 概念等。[5]36-41國外也有文獻闡述分形幾何初步知識融入中學課堂的必要性,以及“海岸線與分形”列入高中數學文化,分析了分形的畫法與制作、分形幾何與中學數學的關聯性等內容。[6]

混沌(Chaos)概念產生于20世紀初,龐加萊在研究n體問題時發現了對初始條件敏感的現象,龐加萊指出:由于長期的不可預測性,隨機性和決定論變得可以互相兼容,在確定性系統中有類隨機性現象。[7]洛倫茲(Lorenz)于1972年參加一場氣象會議時報告了著名的論文:“可預測性:巴西蝴蝶翅膀的扇動會在德克薩斯州引發龍卷風嗎?”[8]洛倫茲發現了一個非線性系統的混沌行為,即天氣的混沌行為。數學家Li-Yorke在“周期三意味著混沌”論文中才首次提出混沌的概念。[9]混沌的主要特征是初值敏感依賴性、系統的有界性、拓撲傳遞性、遍歷性、周期軌的稠密性、具有奇怪吸引子等。

分形與混沌聯系緊密,時常同時出現,如:一維Logistic映射通過倍周期分岔走向混沌,對混沌區的軌道進行放大,則仍有倍周期分岔現象,是分岔的無窮嵌套,具有分形的重要特征即自相似性。分形幾何中也可能蘊含混沌,如:Mandelbrot分形集中具有混沌吸引子現象。目前,分形與混沌具有廣泛的應用,如:分形圖像壓縮、混沌圖像加密、混沌保密通訊、分形插值擬合振蕩數據、分形在植物學中的應用等。[1]5-30

本科院校數學專業,有開設分形與混沌選修課程的必要性。在學完數學分析、實變函數與泛函分析等課程之后,我校高年級本科生開設了此專業選修課。本文將重點闡述分形幾何內容的教學探索,針對混沌相關的內容留給以后再闡述。

1 課程基本內容

“分形與混沌”課程在我校開設十多年,作為高年級的數學拓展選修課程,該課程共分三大部分:理論課、實驗課與課程設計。[10]這也是響應教育部的課程設置改革要求,提升實踐實驗教學課的占重比例,實驗課與課程設計也正當其時,切實把理論與實踐相結合。該課程中理論課32學時,16學時/個學分,合計2個學分。內容大致覆蓋了分形與混沌的歷史起源、分形圖形的生成方法、分形空間與迭代函數系統、測度與維數、分形插值、混沌的基本概念與分析方法、分形混沌動力系統、隨機分形與分形圖像壓縮等。同時,配套的實驗課16學時,計0.5個學分,共8次實驗,以實驗報告的形式完成。主要基于Matlab軟件與Python軟件,上機完成8個編程實驗。例如:如何編程實現生成各種分形集、如何實現隨機迭代函數系統、如何計算盒維數、分形插值、分形圖像壓縮、混沌圖像加密等。要求學生寫出相應的程序代碼及運行結果。另附加課程設計1個學分,分散在整個學期的平時完成,無須教室或機房,根據老師給出的課程設計題目在期末提交一份報告,類似于文獻綜述,提倡創新。通常老師布置一些問題,同學們三五人分組合作完成撰寫課程設計。例如:課程設計題目:分形插值與傳統插值的比較分析及其應用、分形圖像壓縮的Python實現等。課程考核情況,理論課在期末組織閉卷考試,實驗與課程設計則只需要提交報告,分別給出成績。最后,對這些教學過程的材料進行歸檔建檔。同時,隨著網絡技術的發展,特別是疫情防控期間,線上課程占了主流。因此,順應課程的開放性趨勢,可建設分形與混沌的網絡課程,把上課的視頻材料上傳到網站,更多的分享出去,讓更多的同學了解這門課程,學習相關知識。

2 開設此課程的必要性

高中數學已經融入了分形的內容。[5]36-41教育部制定了《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》,其中:D類課程包括美與數學,共1個學分。美與數學的簡潔指出:“數學可以刻畫現實世界中的簡潔美。例如:雪花、云彩、群山、海岸線、某些現代設計等美的共性與分形相關。”[11]這里明確指出了分形幾何與現實生活及自然界緊密相連,分形幾何要融入高中數學教學,除了平面與立體幾何,都是非常規則的幾何體,現實世界的幾何是更復雜的。如何準確高質量地實現高中數學課程標準中對分形幾何的教學要求?對中學教師提出新的挑戰。因此,要培養具有這方面專業素養的數學教師,大學的數學本科專業很有必要開設分形幾何的課程,對大學生進行分形幾何方面的教學,進行這方面的培養。當這些大學生走進中學課堂,才有能力勝任新標準下的高中數學教學工作。

圖1 Sierpinski三角形

同時,不少大學也開設了分形與混沌的本科生課程。如:北京大學素質教育通選課開設了自然科學中的混沌和分形,華中科技大學物理教學過程中也有交叉結合分形理論,對非線性物理教學進行改革。也有其他學科融入了分形的內容,如:地球科學、高等教育、經濟學、計算機科學與化學等,都有成功地把分形應用到這些學科,促進了交叉學科的發展。“分形與混沌”課程需要做相應的系列數值模擬實驗,從而促進程序語言的應用,例如:C語言、Matlab語言與Python語言等,相應提升大學生的計算機能力。其中:課程設計促進學生的思維能力、文字能力、查找文獻與創新能力,撰寫論文與畢業設計的能力等。本科階段開設“分形與混沌”課程拓展了本科生的視野,也促進其他學科的發展。畢業生也有些會攻讀研究生,從事分形與混沌及非線性動力學的研究,這也為將來打下一定的研究基礎。由此開設此選修課十分必要。

3 存在的困難與解決方案

缺少合適的與時俱進的新教材,包括理論課教材與實驗課教材,以及配套的習題集。“分形”是一本經典分形幾何本科生教材。[3]1-20但現在已經停止發行,且側重分形知識的介紹,對混沌的內容介紹相對較少。應減少分形圖形的生成章節,增加迭代函數系統、測度與維數、分形插值與混沌相關的理論知識,以及分形與混沌的典型應用的介紹,如:分形圖像壓縮、混沌圖像加密等,擬做到理論與應用相結合,本科階段突出應用,而不是純理論的講解。同時,配套習題集與詳細解答,以及配套的基于某種程序的實驗教材,如:基于Python或Matlab的分形與混沌實驗教材。這樣才是較完整的一個課程體系。

“分形與混沌”課程教學的師資力量相對較弱,不像微分方程、復變函數或實變函數、概率統計等傳統學科有較強的師資。在碩士和博士研究生階段做這方面研究的教師并不多,因此,能直接勝任這門課程教學的老師較少。此課程需要掌握分形幾何與非線性動力學中的分岔混沌等理論知識,同時需要會寫應用程序,如:Matlab或Python等。我們需要引進或培養一些擅長分形與混沌方面的師資。可以組建三人以上的教學團隊,以傳幫帶的方式培養我們自己的任課老師,以免出現斷層斷代現象,使得這門課程可持續發展,這也是倒逼老師與時俱進,教學相長,及時更新自己的知識儲備,以適應時代的發展,適應學科的發展。

課時數與教學大綱等需要修訂,此課程是選修課,涉及的教學內容較多,教學大綱涉及了分形幾何與混沌兩大塊,但理論學時只有32學時,對每個知識點的講解只是略作介紹,很少有深入分析,更少有證明與推導過程,因此,有必要增加學時數以應對教學內容的增加,建議增至48學時,這樣才基本夠用。

4 分形教學理論課案例——分形維數

5 分形教學實驗課案例——基于Python的沙漏花實驗

分形與混沌的教學可設計大量的實驗,這些實驗可以更好地理解理論知識,也能更好地將理論應用到一些具體問題,同時,促進計算機程序語言的學習,促使同學們掌握一門新的計算機語言。[14]根據電腦的操作系統windows版本不同,在以下網站下載相應的Python版本https://www.python.org/downloads/,否則無法安裝成功。然后,在Python中打開代碼開發工具IDLE可以撰寫并運行程序了。

圖2 沙漏花生成元

圖3 沙漏花(4次迭代)

#沙漏花的Python程序

import turtle #導入Python自帶的庫實現海龜運動作圖

def flower(distance,m): #定義函數flower,括號中為形參,調用時是實參

if(m==0):

turtle.fd(distance) #向前畫distance個單位像素的距離

else: #與if配套的判斷語句

for angle in[0,60,-120,0,120,-60]: #把序列中的每一個對象分配給angle角度

turtle.left(angle) #更改turtle的方向,左轉angle角度

flower(distance/4,m-1) #調用函數flower

turtle.shape('turtle')

wn=turtle.Screen() #畫筆形狀與新建作圖窗口

wn.setup(width=100,height=500) #作圖窗口的大小設置

turtle.pensize(3) #畫筆粗細,數字越大越粗

turtle.penup() #提起筆

turtle.goto(-300,-100) #移動筆但不畫線

turtle.pendown() #放下筆

turtle.speed(0) #畫圖速度,0代表最快

flower(300,4) #調用函數

turtle.hideturtle() #關閉畫筆

#Python使用縮進表示上下級關系,注意縮進空格數規范,否則會報錯

Fig=turtle.getscreen()

Fig.getcanvas().postscript(file="flower.eps") #輸出eps格式圖形課程設計方面,也可布置一些問題并用Python實現,如:分形插值、經典分形集、分形圖像壓縮等的Python程序實現,通過分形的學習,促進Python的學習,反之,通過寫程序代碼也加深分形幾何的概念方法等的理解與應用,二者相互促進。

6 結論

從“分形與混沌”選修課的課程大綱、學分學時數、實驗課設置、課程設計等方面進行了闡述,并對開設此課程的必要性與困難、分形維數的教學案例、基于Python語言的分形實驗等進行了分析。開設“分形與混沌”選修課可拓寬學生的視野,增加學生的數學知識貯備,無論是繼續深造數學專業的研究生,還是走上中學數學教師崗位,或升學轉專業至其他學科深造,了解并掌握一定的分形與混沌知識是必要且有益的。但目前設置“分形與混沌”選修課的高校并不多,這是多種原因導致的現狀,特別是師資力量的缺失。通過以上分析,對該門課程的建設與教學進行了一定探索,希望有更多的高校開設此課程,并得到更好的發展,為理工類特別是數學系的大學生提供更多的優質課程選項。