脆性各向同性材料的強度準則數學形式研究

孔 洋，汪璋淳，張桂榮，張 賢，梅聚福，劉中儀

(南京水利科學研究院巖土工程研究所，江蘇 南京 210024)

0 引 言

在巖石強度準則研究中，線性摩爾-庫倫(M-C)準則適用于較低應力水平情形，較高圍壓工況下其描述的巖石強度隨圍壓線性增大的特征與實際巖石力學試驗結果不符[1]；胡克-布朗(H-B)準則能反映巖石強度隨圍壓非線性增長的特征，但存在一定程度的高應力條件下過高估計巖石強度的問題[2-3]。除經典M-C準則與H-B準則外，常用的巖石強度準則還有指數型強度準則[4]與冪函數形式強度準則(如Bieniawski準則[5]、Balmer準則[6-7]等)，各強度準則數學表達形式不一，其適用性應根據巖石類型、節理裂隙發育情況、圍壓工況以及是否考慮抗拉強度指標等具體分析。

國內外學者基于巖石臨界狀態或巖石臨界圍壓概念，對經典M-C準則與H-B準則進行了改進研究[8-9]，認為巖石進入臨界狀態后其剪切應力及對應的偏應力不再隨圍壓發生變化，巖石進入臨界狀態所對應的圍壓即臨界圍壓[1]。針對不同類型的巖石，雖然臨界狀態圍壓取值差異性較大，但既有研究成果均依據圍壓增大到一定量值時偏應力趨近于常數概念進行狀態判定。

筆者采用1stOpt軟件并基于共軛梯度法CGM+全局優化算法研究發現，修正M-C準則[10]與修正H-B準則[11]在數據擬合過程中參數極易出現負數項，表明利用臨界圍壓狀態概念改進后的強度準則參數穩定性較低，在脆性類巖石材料方面的適用性存在一定不足之處。為此，本文針對一種用于研究完整玄武巖塊體力學行為的典型脆性各向同性材料[12-14]，探究了H-B準則、Power Curve準則與單參數Bieniawski準則等3類巖石經典非線性強度準則與Singh拋物線型強度準則的適用性，基于臨界圍壓概念引入參數n，對Singh拋物線型強度準則數學形式進行了修正。

1 脆性類巖石水泥砂漿材料

制備一種脆性各向同性質量比為水泥∶河砂∶水∶減水劑=1∶0.5∶0.4∶0.002的試樣[12-14]，試樣制備與試驗方案參照GB/T 50266—2013《工程巖體試驗方法標準》，采用MTS311.31S型電液伺服試驗機開展單軸壓縮與巴西劈裂試驗，采用Hoek三軸試驗裝置開展不同圍壓工況下的三軸壓縮試驗。試驗預設9組圍壓工況，分別為0、1.5、3.0、4.5、6.0、6.4、7.5、10.5 MPa和14.0 MPa。實測水泥砂漿材料的平均單軸抗壓強度為70.40 MPa，平均抗拉強度為4.43 MPa，基于前3組圍壓工況計算得到內摩擦角為31.26°，材料壓拉比為15.89。

基于脆性類巖石水泥砂漿材料三軸試驗結果，可將強度指標整理成如圖1所示的3級圍壓段摩爾圓及其切線簇。圖1中，圍壓段1為0～3.0 MPa，圍壓段2為4.5～6.4 MPa，圍壓段3為7.5～14.0MPa。相似模型材料平均單軸抗壓強度為70.4 MPa，其中3.0～4.5 MPa圍壓區間內包含5%峰值抗壓強度點3.52 MPa，6.4～7.5 MPa圍壓區間內包含10%峰值抗壓強度點7.04 MPa。從圖1可以看出，不同圍壓段內近似線性的強度包絡線差異較大，表明脆性類巖石水泥砂漿材料不同圍壓下，強度包絡線切點斜率是連續變化的曲線，即表現出典型強度演化非線性特征。

圖1 摩爾圓及其切線簇

2 經典巖石強度準則適用性研究

根據國內外研究成果，選取H-B準則、Power Curve準則與單參數Bieniawski準則等3類經典巖石強度準則，探究其對脆性類巖石水泥砂漿材料的適用性，利用非線性最小二乘優化方法確定強度準則參數，以擬合值與試驗值的殘差平方和RSS[15]最小作為定量評價依據，強度準則參數通過RocData軟件計算或1stOpt軟件非線性回歸分析得到。

為克服H-B準則在工程應用中的不足與局限性，Hoek與Brown多次對強度準則進行了補充與修正，得到廣義H-B準則的表達式，即

σ1=σ3+σc(mbσ3/σc+s)κ

(1)

式中，σ1為最大主應力；σ3為最小主應力；σc為巖石類材料單軸抗壓強度；mb為描述巖體強度特征的折減材料參數；s為經驗參數，對于完整巖石材料取1；κ為材料常數。

大量試驗結果表明黏土、堆石料與節理巖體等巖土材料失效包絡線是非線性的，特別是在較低法向應力應力狀態下，非線性特征比較顯著，該類型強度包絡線對應的剪應力τ與法向應力σn的關系符合Power Curve模型形式，即

τ=a(σn+d)b

(2)

式中，a、b與d為試驗參數。

1974年Bieniawski提出了冪函數形式強度準則，用以評估巖石的強度參數，即

(3)

式中，e為試驗參數。

3類經典非線性巖石強度準則對9組圍壓工況試驗數據擬合結果見圖2。從圖2可知，3類強度準則擬合結果中，單參數Bienianski準則RSS值僅為0.019，為最優擬合模型，可較好反映脆性類巖石材料非線性強度特征，但單參數Bienianski準則無拉應力象限，故無法考慮抗拉強度對強度指標的影響；H-B準則與Power Curve準則均能反映抗壓強度指標的非線性特征，但兩者均過高估計了抗拉強度值，即基于H-B準則的抗拉強度擬合值為9.39 MPa，基于Power Curve準則的抗拉強度擬合值為6.09 MPa，實測值為4.43 MPa。

圖2 經典非線性巖石強度準則試驗數據擬合結果

3 Singh拋物線型強度準則修正研究

3.1 Singh拋物線型強度準則基本形式

對于各向同性的干燥巖石材料，M. Singh與B. Singh于2005年提出了一種形式簡單、非線性的拋物線型強度準則[16]，即

(4)

式中，(σ1-σ3)為偏應力；A0、B0與C0為試驗參數，可由下述邊界條件計算得到，即

假定當σ3=σc時巖石進入臨界狀態，即臨界狀態圍壓值σcrt=σc，則Singh拋物線型強度準則的具體形式可表示為

式中，B0=-2A0σc，C0=σc，此時σc為試驗已知值，僅有的未知項A0可由下式推算

(7)

3.2 Singh拋物線型強度準則適用性研究

本文選用的脆性類巖石水泥砂漿材料屬于標準的各向同性材料，同時在試樣制備階段進行了充分干燥，故基于Hoek三軸試驗結果式(4)中C0項應取為試驗值70.40 MPa，A0項由式(7)計算，為-0.106，則B0項應為14.883，則依據本文試驗結果，式(4)應表述為

(8)

Singh拋物線型強度準則試驗數據擬合結果見圖3。從圖3可知，式(8)所述曲線與試驗值偏差明顯，B0=-2A0σc項是導致曲線數值偏大的主要原因，故M. Singh與B. Singh給出的拋物線型強度準則假定巖石材料進入臨界狀態的圍壓σ3=σc的設想是值得商榷的，應對強度準則進行修正。

圖3 Singh拋物線型強度準則試驗數據擬合結果

3.3 Singh拋物線型強度準則的修正形式

式(4)在數據處理時，可等效為因變量(σ1-σ3)與自變量σ3的二次多項式數據擬合，筆者得到脆性類巖石水泥砂漿材料的修正Singh拋物線型強度準則試驗數據擬合結果見圖4。圖4中，σ3i為試驗材料進入臨界狀態的圍壓值；σcrti為臨界狀態圍壓計算值。從圖4可以看出：

圖4 修正Singh拋物線型強度準則試驗數據擬合結果

(1)式(4)中，C0項本應取為試驗值70.40 MPa，但二次多項式擬合預估值約為69.95 MPa，與試驗值相對誤差絕對值僅為0.64%，偏差較小，故將Singh拋物線型強度準則等效為二次多項式擬合，并取擬合值C0項進行研究是合理的。

(2)將Singh拋物線型強度準則數學形式等效為因變量(σ1-σ3)與自變量σ3的二次多項式，數據擬合相關系數R2=0.976 1、殘差平方和RSS=55.47，擬合效果較好；僅在1.5 MPa與3.0 MPa低圍壓數據點存在一定偏差。

M. Singh與B. Singh給出的拋物線型強度準則假定巖石材料進入臨界狀態的圍壓σ3=σc，實際臨界圍壓值遠比σc值小；可引入參數n表征巖石進入臨界狀態時圍壓σcrt=nσc，對Singh拋物線型強度準則數學形式進行了改進，將式(5)修正為

將式(4)代入式(9)，可得修正的Singh拋物線型強度準則具體數學表達式為

式中，B0=-2A0nσc，C0=σc，此時σc可取試驗已知值或強度準則公式數據擬合值，A0與n可由試驗數據進行二次多項式擬合得到。

4 結 語

本文針對可模擬完整玄武巖塊體力學行為的脆性各向同性材料，探究了胡克-布朗(H-B)準則、Power Curve準則與單參數Bieniawski準則等3類巖石經典非線性強度準則與Singh拋物線型強度準則的適用性，并對Singh拋物線型強度準則數學形式進行了修正，得到以下結論：

(1)單參數Bienianski準則可較好反映脆性類巖石水泥砂漿材料非線性強度特征，數學形式擬合值與試驗值的殘差平方和(RSS)最小，但Bienianski準則無拉應力象限；H-B準則與Power Curve準則均能反映抗壓強度指標的非線性特征，但兩者均過高估計抗拉強度值。

(2)將Singh拋物線型強度準則數學形式等效為因變量(σ1-σ3)與自變量σ3的二次多項式，數據擬合效果較好，得到脆性類巖石水泥砂漿材料進入臨界狀態的圍壓σcrt=0.314σc。

(3)M. Singh與B. Singh給出的拋物線型強度準則假定巖石材料進入臨界狀態的圍壓σ3=σc，實際臨界圍壓值遠比σc值小；通過引入參數n表征巖石進入臨界狀態時圍壓σcrt=nσc，得到了改進的Singh拋物線型強度準則數學形式。