工程測量平面坐標系統分析

楊文文

（阜陽市測繪院有限責任公司，安徽 阜陽 236000）

一般情況下，工程建設項目會在各種地形中施工，例如水利工程項目會在山地與丘陵等高程大、測區跨度大的區域建設，如果不進行有效處理，工程建設將不符合測量規范的要求，對后續施工放樣工作帶來不利影響。因此，有必要建立平面坐標系統，及時解決工程測量控制中長度變形問題。

1 平面坐標系統

工程控制測量主要包括平面與高程測量2 個部分，在工程規劃設計階段，測量的關鍵在于對大比例尺地形進行精準測繪。施工環節中以設計圖紙為參考進行控制線的測量放樣。竣工后的工程控制測量需要以關注結構變形為重點，完成測圖、施工和變形控制網的有效控制。工程平面控制測量環節，地表水平距離投影到參考橢球面，或者在高斯平面中投影會出現長度變形問題。為合理控制長度變形問題且采取“分帶投影”措施，以滿足中小型比例尺測量圖的需求，但是長度變形控制的實際效果未達到預期且工程區域為高海拔地區或遠離中央子午線，此時變形問題將有可能持續擴大[1]。

以實際工程為例，某地防洪清淤疏浚工程全長15km，控制集水面積最大為27074km2，在洪水沖刷與水土流失等問題的影響下，部分河段存在淤積的情況，導致過流斷面縮小。在接下來的水利工程建設環節中，有必要應用平面坐標系統解決問題。按照項目所在位置，計算平均高程，測量子午線所在位置，找出投影基準面，然后可以確立坐標系統，從而達到控制點坐標反算邊長的長度控制，使邊長與實際測量距離在水平上能夠保持一致，進一步提高圖紙測繪精度，保證測量放樣工作的實效性，為接下來的水利工程施工放樣提供較好的技術條件與技術參考，發揮平面坐標系統的作用。

2 坐標系的建立方法與適用性分析

按照工程測量區域內的實際地理位置，計算平均高程與長度綜合變形值ΔS，工程測量中一般會使用地方坐標系、獨立坐標系以及工程坐標系，應用不同方法確立坐標系，具體情況如下。

2.1 應用3°帶高斯正形投影坐標系

當工程測區的高程處于158.28m 內，ym超過45.05km時，可應用3°高斯正形投影坐標系。如果該平面直角坐標系符合“長度變形值ΔS1≤25mm/km”的條件要求，那么可以繼續應用該平面坐標系，發揮坐標系對測量結果可用性強的優勢，達到一測多用的使用效果。結合工程具體建設環境，發現該項目主要位于山區和丘陵地帶，高程已經大于158.28m，同時測區跨度很大，變形值ΔS達到分米級，面對這一條件限制，平面坐標系在工程測量中應用頻率會偏低[2]。

2.2 采用抵償投影帶的高斯正形投影平面直角坐標系

以子午線為測量投影的中央子午線，通過投影改正抵償ΔS1，從而使變形值為0。如果高程投影基準面是橢球面，這時H0=0，如公式（1）所示。

式中：Hm為工程測量區域內的平均高程值。

確定平均高程值后，計算得到ym即抵償投影帶的值，然后高斯投影子午線應用ym抵償投影帶位置的大地經度Lm。在測量工作中，可以按照上述公式對具體內容進行簡化，并按照實際需求從工程控制測量區域內直接隨機選擇某條子午線，計算后只要能夠滿足“ΔS≤25mm/km”的要求即可。由此可見，通過抵償投影帶建立坐標系的方法較為方便，可用于后續坐標轉換[3]。

2.3 投影于抵償高程面

使用3°帶中央子午線作為高斯投影線，調整高程投影的基準面，選擇抵償高程面時一般會選定工程控制測量區域內的比平面高程稍微低一點的高程面。按照工程實際情況，在確定投影面的過程中，針對中央子午線可以考慮測區內所有中心線的某一條子午線，或者按照工程測量的真實情況選擇中心線周圍的某一條子午線完成測量，實現投影于抵償高程面。

3 建立工程測量平面坐標系統

3.1 兩項投影的長度變形

在城市化發展進程中，隨著科技的發展，用于工程控制測量的技術越來越先進，通過建立平面坐標系統可以掌握各種誤差情況。在工程控制測量計算的過程中，有2 種投影計算會造成長度變形問題：一種情況是地面水平距離投影到橢球面，導致距離縮短；另一種情況是橢球面與高斯平面之間的投影距離邊長。

3.1.1 地面水平距離投影到橢球面的長度變形

這一情況下的變形值計算如公式（2）所示。

式中：H為邊長兩端點之間的平均高程；R為橢球面的平均曲率半徑；d0為地面水平距離。

關于R的計算如公式（3）所示。

式中：a和b分別為參考橢球的長短半軸；e為第二偏心率；B為工程控制測量區域內的平均大地緯度。

經過研究發現，在投影與球面之間，地面邊長的距離縮小，此時投影變形和H之間存在正比的關系，H值增加，投影變形值增加，H=150m，平均每km 的長度變形數值接近2.5cm，此時測量的相對變形結果接近1/40000。如果投影面沒有參考橢球面，而是直接選用測區某一高層H0的投影面，那么公式可以變為以下情況，如公式（4）所示。

3.1.2 橢球面距離投影到高斯平面的長度變形

這一情況的變形值計算如公式（5）所示。

式中：S為參考橢球面的邊長數值；R為橢球面的曲率半徑；ym是投影邊兩端的y坐標常數，即取了500km 常數下的平均值。經過研究發現，投影變形的數值與ym平方值成正比，當投影變形與中央子午線的距離越遠，此時變形程度就會越大，大概在ym=45km的位置平均每千米產生2.5cm的變形，也就是上文提到的變形接近1/40000。

針對上述2 種變形情況，投影長度的變形計算如公式（6）所示。

簡化后的公式如公式（7）所示。

3.2 工程測量平面直角坐標系統方案

發揮工程控制網在工程測量中的作用，以工程建設放樣為參考依據，使放樣工作能夠順利進行。通過控制點坐標可測量得出邊長與實地測量邊長，二者在數值方面應相等。根據以上2 種情況投影改正得到的長度變形即ΔS=ΔS1+ΔS2應被控制在一定范圍內，按照地理位置情況，建立幾種不同坐標系統：首先，當長度變形值﹤2.5cm/km時，使用3°坐標系。其次，變形值﹥2.5cm/km 時，投影于抵償高程面處的任意帶坐標系統。最后，當工程測區面積﹤25km2時，可以不經過投影使用坐標系統進行計算[4]。

按照上文提到的水利工程測量，以清除淤泥為目標，提高河道行洪能力，保持行洪斷面銜接效果，改善當地通航條件。根據平面直角坐標系統進行河道疏挖斷面的優化設計。縱斷面設計環節，其疏挖深度需要在不改變河道走勢的情況下進行且治理段的斷面底部高程需要與河道相連接，并與主河槽最低點位置持平。如果部分地區底部高程無法達到通航水深段的要求，建議采用適當下切的方式，同時避免整個河段整體比降改變。橫斷面設計環節，應確保底部寬度合理，順勢擴挖即可，保留邊灘草地，維護河線的順直，根據河段區域水質情況與土質條件，要求疏挖邊坡坡度不能超過1∶10[5]。

3.3 變換投影基準面與中央子午線的地方坐標系

控制控制網變形，盡可能地降低變形值，如公式（8）所示。

對于該計算公式選用不同的處理方式，所導出的平面坐標系統方案也會有3 種情況，如下所述。

3.3.1 投影于參考橢球面上的高斯正形投影任意帶平面直角坐標系統

該方案是將觀測值同時歸算于橢球面的位置，但子午線不是3°帶的子午線，而是按照工程需求選擇的，可實現高斯投影與邊長高程投影的變形值相互抵消。選擇橢球，所以H0=0，此時，計算公式可以變化為以下形式，如公式（9）所示。

3.3.2 投影于抵償高程面上的高斯正形投影3°帶平面直角坐標系統

不改變3°帶中央子午線，同時也不再投影于橢球面，而是選擇在抵償高程面上進行投影，由此獲得地面邊長高斯投影長度改正值，同時歸算處基準面處高斯投影的改正值，最終實現2 個部分改正值的相互抵償。

為保證中央子午線不發生改變，也就是ym不發生變化，進行計算，如公式（10）所示。

如果將地面上的邊長投影到高程為上述公式的高程面處，而不是在橢球面上進行投影，高程投影與高斯投影之間形成的變形值可以成功抵消。

實際上工程控制測區只是一個大致的范圍，并不是明確的一個點，式中ym應當如何取值，如公式（11）所示。

應用該坐標系統時，需要先計算基準面為橢球面的3°標準控制網的坐標，然后使控制網被有效縮放于抵償高程面，形成2 套坐標，一套為國家提出的標準平面系統坐標，另一套是抵償高程面坐標。具體案例如下。

某個測區的橢球面高程H=1000m，3°帶跨越y坐標范圍是-80km～-50km，在不改變子午線的情況下，得到的可相互抵償投影變化的高程抵償面如公式（12）～公式（14）所示。

在高程為650m 的高程面進行投影可以達到最佳效果，此時，最小變形為-66.7km 位置，ΔS≈0。最大變形在-50km 和-80km 的位置，分別為-0.024m 與+0.024m。由此可見，如果選擇不變換中央子午線，而是選擇抵償高程面，那么最終得到的抵償范圍是有限制的，在該案例中的有效抵償帶寬只能達到30km 的數值[8]。

3.3.3 投影于抵償高程面上的高斯正形投影任意帶平面直角坐標系統

結合上述2 種方案的特征，將中央子午線移到工程控制測量區域的中間位置，隨后再變換高程投影面，測區東西向跨度如果比較大，即需要抵償的帶寬比較大，此時應達到以下條件，如公式（15）和公式（16）所示。

此時的H0可以為投影基準面位置的高程且H=H0，邊長高程投影的變形結果是0，如果H0選擇平均高程面即Hm，或者H0稍微低于平均高程面，那么此時各個邊長的高程投影也能接近為0，此時ym=0，這就說明工程測量區域處于中央子午線的周圍。

經過對比不同坐標系方法，該坐標系主要是將中央子午線確定為測量區域內或者周圍的一條子午線，高程投影面被看作平均高程面，所以坐標系變形很小。在實際應用過程中，可以選擇在合適的位置中央子午線L0，必須選擇1 條5'或10'子午線，例如某個城市地方坐標系的子午線為112°30'，縣城的城市地方坐標系的子午線為115°25'。計算已知點換帶情況，將基于國家控制網的已知點坐標采用高斯投影的計算方式，使其換算為L0的坐標系坐標。計算控制網中第一套地方坐標，將邊長在內的觀測值投影到橢球面和高斯平面處，隨后計算平差結果，得到的坐標就是第一套地方坐標，這種計算方法可以將國家與地方控制網緊密結合起來，并將二者看作是一個比較完整的測量控制系統。

4 結語

該文針對工程控制測量的實際情況提出3 種坐標系統方案，經過研究發現，針對城市坐標系統和范圍偏大的測量坐標系統，建議先以中央子午線確定為測區中部，所得到的測量誤差最小。再將控制網進行縮放處理，使其更接近平均高程面。該文提出的幾種平面坐標系統確立方法需要根據實際情況靈活選擇，以提高地形圖測繪精度。