機床切削顫振系統動力學特性研究

劉 陽

（吉林通用航空職業技術學院，吉林 吉林 132211）

機床切削顫振是一種常見的機械加工問題，會導致切削過程中的振動和不穩定性，嚴重影響加工質量和效率。同時，機床切削顫振系統是一個復雜的動力學系統，涉及切削力、切削過程、刀具和工件的相互作用等多個因素[1]。了解和分析機床切削顫振系統的動力學特性，可以揭示顫振產生的機理、預測和識別顫振的發生并制定有效的抑制和控制策略。據此，該文在了解機床切削顫振機理的基礎上，結合機床切削顫振系統動力學模型構建近似方程，通過計算、分析得出機床切削顫振系統動的力學特性，旨在為優化切削過程、提高加工效率提供理論依據和技術支持。

1 機床切削顫振機理

機床切削顫振是指在機床切削過程中刀具和工件之間發生的不穩定振動現象[2]。該現象由切削力和剛性之間的相互作用引起，會導致出現切削質量下降、刀具磨損加劇甚至刀具折斷等問題，嚴重影響機床切削加工效率和加工質量。機床切削顫振的形成機理較多，如切削參數選擇不當、刀具與工件不平衡等，具體如下。

第一，切削力與剛性之間的相互作用。在切削過程中，刀具對工件施加切削力，切削力通過刀具和工件傳遞到機床結構上[3]。機床結構的剛性決定了其對切削力的抵抗能力。當切削力超過機床結構的剛性限制時，機床結構會發生彎曲、撓曲和扭曲等變形情況，導致機床結構出現振動，甚至出現顫振。

第二，切削過程中的共振現象。當切削頻率與機床結構的固有頻率相接近時，能量會被傳遞到機床結構上，引發共振振動。而共振振動會增加機床結構的撓度和變形，使切削力增大，導致切削力不穩定，并引起顫振[4]。

第三，切削參數。切削參數的選擇對機床切削顫振的發生具有重要作用。不恰當的切削參數，包括切削速度、進給量和切削深度等，極有可能導致切削力的不穩定變化，進而引起機床顫振。

第四，刀具與工件不平衡。當刀具或工件存在不平衡時，切削力在刀具或工件上的分布就會不均勻，導致機床產生振動，進而影響加工質量和機床的壽命[5]。

2 機床切削顫振系統動力學模型

2.1 主振型的正交性

在連續系統振動中，不同的振動模態之間存在主振型的正交性特征，即每個主振型都是相互獨立的，但它們在時間和空間上存在正交。在振動分析中，通過求解振動模態和頻率，可以得到一系列主振型，每個主振型對應一個特定的頻率和振動形態。在彈性體振動（對象為刀具等）中，需要應用積分方式進行表達。

主振型的正交性特征應滿足公式（1）和公式（2）。

式中：Yi（x）為第i個主振型在位置x處的振幅；Yj（x）為第j個主振型在位置x處的振幅；wi為Yi（X）的固有頻率；wj為Yj（X）的固有頻率。

對公式（1）、公式（2）進行積分處理，可得公式（3）。

同理，工件子系統縱向振動時，主振型公式如公式（4）所示。

2.2 切削顫振系統振動方程

高次諧波的振幅通常較小，不足以引起系統的顫振振蕩。因此在系統穩定性分析中，通常會將高次諧波的作用視為小幅度的擾動，并對其進行線性化處理。通過線性化處理可以簡化系統的數學模型，使其更易于分析和計算。進行線性化處理后，可以將系統的動態行為描述為基波的振蕩和響應。由此，在系統抗顫振穩定性的分析中，可以忽略高次諧波的作用，轉而關注基波的穩定性。根據上述分析，該文對切削顫振系統采取的假設如下：基波是系統抗顫振穩定性的重要因素，高次諧波的作用可忽略[6]。

基于該假設，結合工件與刀具彈性子系統，根據非線性動態切削力耦合分析（考慮材料非線性特性、動態響應分析等）來確定工件與刀具彈性子系統的動力學方程，如公式（5）所示。

式中：V0為工件上與刀具接觸點的理論切向線速度；Fy為吃刀力；X11為工件與刀具相互接觸點固有頻率w11所對應的第一階正則模態值；Y11為工件與刀具相互接觸點固有頻率w22所對應的第一階正則模態值；asgn（V）-bV-cV3為刀具與工件在進刀方向上的摩擦系數與相對速度的非線性關系；x1為工件彈性子系統的縱向正則坐標；y1為工件彈性子系統的橫向正則坐標。

3 機床切削顫振系統動力學特性分析

3.1 Range-Kutta 分析法

Range-Kutta 法是一種常用的數值求解常微分方程的方法[7]。該方法的基本思想是將微分方程轉化為一系列差分方程，并通過迭代計算來逼近解。首先，根據微分方程的形式，將其離散化為一系列差分方程，并給定初始條件，即方程在某一初始點上的解[8]。其次，根據差分方程和初始條件，使用迭代計算的方法來逼近方程的解。需要指出的是，該方法下的每步計算均需要進行4 次計算，以求得更新解的逼近值[9]。最后，根據需要的精度和步長，重復進行迭代計算，直到達到所需的精度或滿足停止條件。Range-Kutta 法的計算如公式（6）～公式（10）所示。

式中：H為步長；K1、K2、K3、K4為迭代計算次數；yn為更新前數值；yn+1為更新后的數值。

3.2 主共振時系統動力學特性

在主共振頻率附近會出現系統增益較高的情況，即系統對輸入信號的響應變得更敏感，并放大輸入信號的幅度。同時，系統的輸出信號會滯后于輸入信號，并且滯后的程度隨著頻率接近主共振頻率而增加。另外，主共振時，系統會將輸入信號的能量聚集到主共振頻率附近的頻率分量上，并且系統對主共振頻率附近的頻率分量具有選擇性放大的特點。如果系統在主共振頻率附近存在過高的增益和相位延遲，可能會導致系統不穩定，進而產生劇烈振蕩或失控行為。

基于上述分析，結合Range-Kutta 法與公式（5），在公式（5）中引入新變量τ=w0t，將其轉化為無量綱形式。在該基礎上，考慮分段函數具有復雜性特征，需要替換原有符號函數，并對替換前、替換后的曲線情況進行對比和分析。通過替換得到近似方程，如公式（11）所示。

將V0設置為0.1，通過公式計算得到x方向上的位移時間歷程、相軌圖，具體如圖1所示。

圖1 V0 為0.1 時x 方向上的位移時間歷程、相軌圖

將V0設置為0.1，通過公式計算得到y方向上的位移時間歷程、相軌圖，具體如圖2所示。

圖2 V0 為0.1 時y 方向上的位移時間歷程、相軌圖

通過觀察圖1、圖2 可以得出如下結論：工件子系統、刀具子系統在1∶1 內共振情況下，振幅增加不明顯，其原因是振動能量得到了有效吸收與分散。在切削速度不斷增加的情況下，振幅會不斷增加，其原因是切削速度增加導致了切削力和切削過程的非線性特性增加，進而引起了振動的不穩定性。切削方向的相軌跡為圓形，其原因是切削過程中的切力和切削過程的非線性特性導致其出現周期性振動。在機床切削過程中，工件切削方向上的周期振動始終穩定，其原因是切削方向上的剛度和阻尼等因素的影響使振動得到了有效抑制和控制。

4 結語

綜上所述，機床切削顫振系統的動力學特性分析需要充分考慮切削過程中的切削力、切削過程的非線性特性和機床結構的剛度、阻尼等因素。該文在分析機床切削顫振機理的基礎上，結合主振型的正交性、切削顫振系統振動方程和Range-Kutta 分析法，建立了近似方程，對機床切削顫振系統進行了計算和分析。研究結果顯示，工件子系統、刀具子系統在1∶1 內共振情況下，振幅增加不明顯，但在切削速度不斷增加的情況下，振幅會不斷增加。切削方向的相軌跡為圓形，并且在機床切削過程中，工件切削方向上的周期振動始終穩定。