基于序列二次規劃算法的超小尺寸微納波長分束器的逆向設計*

李家祥 王慧琴 徐和慶 張華 馮艷 董美彤

1) (上海工程技術大學數理與統計學院,上海 201620)

2) (上海工程技術大學機器人研究所,上海 201620)

3) (上海展訊通信公司集成技術資源部,上海 201203)

1 引言

波長分束器(波分器)是用于將不同波長的復合光按波長進行分離的器件,分束器作為片上集成的一個重要組成部分,在光信號處理[1]、光通信[2]、量子計算[3]、量子通信[4]等領域均有廣泛的應用.波分器主要實現方式有基于光子晶體[5,6]、表面等離激元微腔型[7]、陳列波導光柵[8]、馬赫曾德干涉[9]、多模干涉耦合器[10]和定向耦合器[11]等.其中,表面等離激元微腔型結構的尺寸小,分束效果較好,適合片上集成,被關注度高,但表面等離激元的傳輸損耗問題仍有待解決;基于光子晶體諧振腔型器件尺寸較小,分束效果好,但加工容錯度低,在設計中對光場模擬計算的硬件要求高、耗時長[12,13];陣列波導光柵型器件已商用化,但尺寸大;基于其他類型的光干涉、普通型諧振腔或耦合原理的結構同樣尺寸大,不適合片上集成.

智能逆設計可突破傳統結構的局限,設計出前所未有的緊湊的、調控能力強的一些新型結構,因而得到了人們的廣泛推崇,如二元搜索法[14]、最速下降法[15]、伴隨法[16]、遺傳算法[17]、移動漸近線法[18,19]、目標優先法[20]以及梯度下降算法[21]等智能算法越來越多地應用于微納光學器件的逆設計中,包括微納波分器的設計[22?27].例如在2018 年,Su[24]最早使用交替乘子法設計了波長范圍在1500—1580 nm,間隔為40 nm 的三通道波分器,其尺寸為5.50 μm × 4.50 μm.2020 年,Han 等[25]利用目標優先算法設計了波長間隔在65 nm 左右尺寸為2.80 μm × 2.80 μm 的四通道波分器.2020 年,Yilmaz 等[26]利用目標優先法設計了波長間隔在100 nm 左右的雙通道、四通道和六通道的T型結構的波分器,尺寸分別為2.80 μm × 2.80 μm,4.60 μm × 2.80 μm,6.95 μm × 2.80 μm.2021 年,Yuan 等[27]利用二元搜索法設計了波長間隔100 nm,尺寸為3.60 μm × 2.40 μm 不對稱結構雙通道多模波分器.綜上,微納波分器設計智能化已有成效,如何進一步尋找更好的算法、提高器件密集度、提升設計效率是人們當下關注的問題.

序列二次規劃算法(sequence quadratic program,SQP)[28?30]常應用于機械拓撲和形狀優化的工業設計和鋼構框架設計[29].本文將用于求解非線性約束問題的SQP 首次引進到微納光子器件的設計中,具體而言是選擇了SQP 算法家族中的稀疏非線性優化算法(sparse nonlinear optimization,SNOPT)[31]進行設計,該算法多用于力學特性與幾何形狀問題的求解.本次是用SNOPT 聯合有限元法進行光場監控來執行幾何形狀的優化,對片上集成微納波分器進行設計,設計了尺寸為1.5 μm × 1.5 μm 的多個超小型的波分器,其中Y 型雙通道波分器可同時實現TE/TM 模式的分束,模式適應度良好;T 型雙通道波分器實現了雙波長大角度分束,傳輸效率均達到88%;同時還設計了小波長間隔的十字型和非對稱型兩種三通道波分器,兩者相比,十字型波分器不僅分束角度更大,且傳輸效率更高,非對稱三通道波長分束器的波長間隔更小僅為20 nm.所設計的波分器在尺寸、分束角等性能參數上均優于或達到現有方法的設計結果[32,33],且本方法的設計周期短、設計效率高,適用于微納光學器件的設計.與前期遺傳算法和移動漸近線法等智能設計法[17?19]相比,SQP 逆設計法所設計的結構更為簡潔、加工工藝要求更低.本方法將為光子器件的設計提供了一種新思路和借鑒,為器件結構的多樣性和靈活性提供了更大的可能.

2 設計原理與方法

SQP 算法是目前公認求解約束非線性優化問題的最有效方法之一,優點是收斂性好、計算效率高、邊界搜索能力強,其基本思想是將復雜的約束非線性優化問題轉化為簡單的二次規劃(QP)子問題,然后在每次迭代中求解一個或多個QP 子問題.所謂QP 子問題,就是利用泰勒展開,將非線性約束問題的目標函數在迭代點處簡化成二次函數,將約束條件簡化成線性函數,得到QP 子問題,然后求解QP 子問題,將其最優解作為原問題的下一次迭代的起點繼續迭代計算.

該算法首先要設置好全局變量,例如擬設計一雙通道波分器,待分波長分別為λ1和λ2,則全局變量設為

式中,A和B為雙通道的調節系數,其目的是為了能根據設計要求對各輸出端信號進行調節,使各端口之間達到一定的平衡.W1,λ1和W2,λ2表示對應波長的傳輸效率.

為全局變量設定目標函數和約束條件:

(2)式為約束條件,其中x(k)為目標函數,μ是根據需求定義的最小損耗適應度函數,λ為光波長,ε為各點的介電常數,用來作為懲罰因子,定義ε為

其中,r為襯底坐標,η為控制變量中的自由度,p為階躍系數,本文中εsi和εair分別為硅和空氣的介電常數εsi=3.48,εair=1.

SQP 算法會生成一個迭代序列,這個迭代序列是基于拉格朗日函數的二次模型和非線性約束線性化定義的QP 子問題的近似解,先設定一個變量S:

其中c(k)為目標函數x(k)的值,S=x-x(k),H為約束矩陣.(4)式的最優可行性條件為

迭代后目標函數升級為

其中參數α(k)由迭代搜索過程中確定,海森矩陣?2c(k)可用近似值表示.不斷重復上述過程,就可以得到原問題x(k)的最優解.

以Y 型雙通道波分器的設計為例,器件的設計大體分成3 個階段: 第1 階段是器件的初始化設置,本文選擇1.5 μm×1.5 μm 尺寸的硅基片進行設計,輸入端(IN)位于基片的左側中間位置;輸出端分別位于基底右部上側(O1)和下側(O2),分別對應著1140 nm 和1200 nm 的波長輸出;輸入輸出端的連接波導寬度為0.3 μm,如圖1(a)所示.第2階段是目標函數和約束條件的設定及器件結構優化,本次雙通道波分器的設計期望是兩波長的透過率能達到70%.在運用SNOPT 算法進行器件結構逆設計的過程中,每一次迭代,程序都會調用有限元法對當下結構的分光能力進行評估,若沒達到設計期望將進入下一次結構迭代,直到達到設計預期,確定最優結構,如圖1(b)所示,其中黑色部分為介質硅,白色部分為空氣,即擬蝕刻掉的部分,灰色部分介于硅與空氣之間的介質.第3 階段是二值化和整形,初始結構中硅與空氣的邊界處存在少量灰色區域,即存在少量中間介質,過濾掉中間過度介質,并對形成的新邊界進行平滑整形,再重新填充硅和空氣兩種介質,輸出最終結構,如圖1(c)所示.

3 光波分器的設計

3.1 雙通道波分器

3.1.1 Y 型結構雙通道波分器的性能

首先設計了Y 型雙通道波分器,擬實現在TE 模式下1140 nm 和1200 nm 雙波長分束,得到的結構如圖2(a)所示.圖2(b)和圖2(c)是該結構在1140 nm 和1200 nm 波長下TE 模的光場圖,可見該兩波長的光分別被輸送到了O1和O2端,較好地實現了分光功能.同時分析了該結構在TM模式的分束情況,如圖2(f)和圖2(g)是TM 模兩波長的光場圖,結果表明該結構對TM 光仍然有良好的分束效果.

圖2 Y 型雙通道波分器 (a) 結構圖;(b) TE 模1140 nm 的光場分布;(c) TE 模1200 nm 的光場分布;(d) TE 模傳輸效率圖;(e) TE模的消光比圖;(f) TM 模1140 nm 的光場分布;(g) TM 模1200 nm 的光場分布;(h) TM 模傳輸效率圖;(i) TM 模消光比圖Fig.2.Y-type dual-channel wavelength beam splitter: (a) Structure;(b) optical field distribution at 1140 nm in TE mode;(c) optical field distribution at 1200 nm in TE mode;(d) transmission efficiency in TE mode;(e) extinction ratio in TE mode;(f) optical field distribution at 1140 nm in TM mode;(g) optical field distribution at 1200 nm in TM mode;(h) transmission efficiency in TM mode;(i) extinction ratio in TM mode.

定義輸出輸入端的功率之比為傳輸效率,定義某波長λk對應的目標端口k的輸出功率與該波長串擾到其他端口的功率的比值為波長λk對應端口的消光比(extinction ratio,ER),則傳輸效率和消光比分別可表示為

圖2(d)和圖2(h)分別為TE 和TM 模式下兩輸出端在1000—1400 nm 波長范圍內的光譜圖.從圖中可見,TE 模式下兩波長的傳輸效率分別為80%和81%,半高寬分別為34 和47 nm;TM 模該兩波長的傳輸效率分別為70%和67%,半高寬分別為49 和106 nm.比較兩模式的譜圖可以發現,兩模式的峰值位置基本不變,TM 模較TE模的傳輸效率略有下降.說明該結構在TE 和TM模式下均可實現該兩波長的分束,且輸出峰值沒有漂移.

圖2(e)和圖2(i)分別為TE 和TM 模式下的消光比圖,在TE 模式下兩端口的消光比分別為64 (18.1 dB)和43 (16.3 dB),在TM 模式下它們的消光比分別為67 (18.3 dB)和39 (15.9 dB),消光效果非常接近,可見該結構偏振模式的適應性良好,既能在TE 模式下工作,也能在TM 模式下工作,在混模環境下同樣能工作良好,實現了不同模式環境下工作的兼容.

接下來進一步對器件結構與輸入輸出波導的匹配情況進行了分析,波導寬度分別被設為0.30,0.35 和0.40 μm,計算它們的傳輸效率,結果如圖3所示.從圖3 可見,兩端口的傳輸效率峰值波長位置不變,峰值有微小上漲,波導寬度適度增大時傳輸效率略有提高.可見設計的器件核心部分與連接波導匹配度良好,即便在加工過程出現了一定的誤差,對分束效果影響較小,結構具有較好的容錯度.

圖3 波導寬度對傳輸效率的影響Fig.3.Influence of the waveguide width on transmission efficiency.

3.1.2 T 型雙通道波分器

同樣設計的T 型波分器擬實現TE 模式下1100 nm 和1170 nm 波長分束,波導寬度為0.4 μm,圖4(a)為其設計結構圖.圖4(b)和圖4(c)分別為1100 和1170 nm 的光場圖,圖4(d)為其光譜圖,圖4(e)為其消光比圖.由圖可知,兩波長的傳輸效率達到了88%,半高寬分別為334 和115 nm,在1100 和1170 nm 處的消光比分別為46 (16.6 dB)和31 (15.0 dB).

圖4 T 型雙通道波分器 (a) 結構圖;(b) 1100 nm 的光場分布;(c) 1170 nm 的光場分布;(d) 傳輸效率圖;(e) 消光比圖Fig.4.T-type dual-channel wave beam splitter: (a) Structure;(b) optical field distribution at 1100 nm;(c) optical field distribution at 1170 nm;(d) transmission efficiency;(e) extinction ratio.

一般情況下尺寸越小,分束難度越大;光束偏轉角度越大,分束難度越大.該結構不僅在1.5 μm×1.5 μm 的尺寸內實現了波長分束,而且將兩波長的光90°偏轉后180°相向分離,傳輸效率達到了88%,分束效果極好,而結構又并不復雜難加工,充分體現該算法的優越性.

3.2 三通道波分器

同時設計了小波長間隔的十字型和不對稱型兩種三通道波分器.圖5(a)為十字型波分器的結構,波導寬度為0.4 μm,擬實現波長間隔為50 nm 的分束,在1100,1150 和1200 nm 三波長的分束.圖5(b)—(d)是該結構在對應三波長的光場分布圖,可見實現了良好的分束效果.圖5(e)為三輸出端在900—1400 nm 范圍內的光譜圖,三波長的傳輸效率分別達到73%,66%和 70%,半高寬分別為43,28 和42 nm.圖5(f)為其消光比圖,三輸出端的消光比分別為53 (17.2 dB),24 (13.8 dB)和24 (13.8 dB).

圖5 十字型三通道波分器 (a) 結構圖;(b) 1100 nm 的光場分布;(c) 1150 nm 的光場分布;(d) 1200 nm 的光場分布;(e) 傳輸效率圖;(f) 消光比Fig.5.Cross-type three-channel wavelength beam splitter: (a) Structure;(b) optical field distribution at 1100 nm;(c) optical field distribution at 1150 nm;(d) optical field distribution at 1200 nm;(e) transmission efficiency;(f) extinction ratio.

圖6(a)為非對稱型三通道波分器的結構圖,波導寬度為0.4 μm,擬實現波長間隔為20 nm,在1200,1220 和1240 nm 的分束.圖6(b)—(d)為對應三波長的光場分布圖,同樣實現了良好的分束效果.圖6(e)為三輸出端的光譜圖,三波長的傳輸效率分別為61%,56%和57%,半高寬分別為28,21和158 nm.圖6(f)所示的不對稱結構波分器的消光比分別為12 (10.8 dB),6 (7.9 dB)和9 (8.9 dB),相比于上述十字型波分器,傳輸效率略低些,串擾略大些.

圖6 不對稱型結構三通道波分器 (a) 結構圖;(b) 1200 nm 的光場分布;(c) 1220 nm 的光場分布;(d) 1240 nm 的光場分布;(e) 傳輸效率圖;(f) 消光比圖Fig.6.Asymmetric structure three-channel wave splitter: (a) Structure;(b) optical field distribution at 1200 nm;(c) optical field distribution at 1220 nm;(d) optical field distribution at 1240 nm;(e) transmission efficiency;(f) extinction ratio.

4 結論

本文將SQP 算法引用到微納光學器件的智能逆設計中,設計了以Si 為基底的尺寸為1.5 μm ×1.5 μm 的多個超小型波分器.其中Y 型雙通道波分器同時實現了TE/TM 模式下1140 和1200 nm兩波長良好分束;T 型雙通道波分器兩波長的光180°相向分離,1100 和1170 nm 兩波長的傳輸效率均達到了88%;同時設計了小波長間隔的十字型和非對稱型兩種三通道波分器,其中十字型波分器實現了波長間隔50 nm,在1100,1150 和1200 nm三波長分束,傳輸效率分別達到了73%,66%和70%;非對稱型波分器實現了波長間隔20 nm,在1200,1220 和1240 nm 三波長分束,傳輸效率分別達到61%,56%和57%.以上所有波分器的消光比均在20 dB 附近,且器件性能穩定、與輸入輸出波導適配性良好.設計結果充分表明該方法在片上集成波分器的設計中適用性良好,所得器件結構均簡潔、易加工,且優化時間短、硬件需求低.該反向智能設計方法可打破傳統結構的壁壘,為微納光子器件提供更多的可能和更靈活的結構,為光子芯片提供了更大的實現空間.