低橫動量 Υ(1S) 介子在強子氣體中的分布*

丁慧強 戴婷婷 程鸞? 張衛寧 王恩科

1) (大連理工大學物理學院,大連 116024)

2) (華南師范大學量子物質研究院,廣州 510631)

1 引言

在高能重離子碰撞中,利用末態強子分布來研究高能碰撞中的物理過程是高能物理研究的重要主題[1,2].而重夸克偶素由于產生的時間較早,并攜帶大量的物理信息,是末態強子分布研究的重要組成部分[3-6].在重夸克偶素的研究中,J/ψ粒子由于產額相對較大,且與夸克膠子等離子體(quarkgluon plasma,QGP)發生相互作用攜帶大量信息,是此前夸克偶素研究的焦點[7,8].而本文所研究的Υ(1S) 介子相較于J/ψ而言,重產生效應幾乎可忽略,因此反映QGP 的性質更為清晰,可作為一種干凈探針,其研究也具有重要意義[9,10].

Υ(1S)經歷的物理過程,可分為3 個階段—介子產生,QGP 熱環境中的離解,以及強子氣體中受到的影響[9,10].在此前的研究中,大量工作集中于Υ(1S) 介子的產生以及QGP 熱環境中的離解過程.例如,唯象勢模型[11-13]、格點規范理論[14-16]、開放量子系統[17,18]以及輸運方程[19]等.而研究強子氣體中Υ(1S) 所受到的影響相對較少,并且低橫動量介子由于無法考慮微擾過程,所以相關研究更少.但強子氣體對Υ(1S) 產生的影響直接改變其分布,這是十分重要的.目前低橫動量Υ(1S) 介子在強子氣體中受到的影響,經分析主要分為以下三點: 1)強子氣體膨脹過程中的集體流效應影響[20,21];2)Υ(1S) 介子與相鄰強子間存在量子關聯影響[10,22];3)Υ(1S) 介子與相鄰強子間存在強相互作用影響[23,24].近年來,有少數幾種模型可以描述低橫動量介子在強子氣體中的分布.例如Tsallis 沖擊波(Tsallis blast-wave,TBW)模型[25,26]與統計強子化模型(statistical hadronization model,SHM)[27,28]等.但他們只能描述其中的一到兩種效應,卻忽略了另外的效應.例如沖擊波模型只考慮了上述三點效應中的第1 點—集體流效應,但忽略了第2 點和第3 點—量子關聯效應與強相互作用[25,26]的影響.而強子化模型只考慮了第2 點和第3 點,忽略了第1 點[27,28]的影響.它們通過與實驗進行擬合,將未考慮的效應放入到可調參數中,達到與實驗可進行比較的效果[25-28].因此,如果能發展出一套直接從物理計算出發,而不是參數擬合的方法來分析Υ(1S)介子在強子氣體中的分布,研究意義便十分重大.

本文嘗試從新的視角利用物理計算而非參數擬合的方法來分析Υ(1S) 介子在強子氣體中的分布.根據Υ(1S) 介子在臨界點附近受到集體流、量子效應以及強相互作用的共同影響,且該影響隨著系統溫度降低效應減弱這一特點,建立了新的模型來進行描述.在臨界點附近,Υ(1S) 介子與相鄰的介子在以上三種效應的共同作用下形成介子-介子兩體結構.從介子的整體觀來看,Υ(1S) -π 介子為兩介子系統;從夸克的局部觀來看,Υ(1S),π 介子分別為兩夸克系統.本文提出這些不同層次的兩體結構具有自相似性[29],建立了兩體分形(twoparticle fractal,TPF)模型進行描述.引入環境影響因子qfqs來描述強子環境中,集體流、量子以及強相互作用的影響,并引入伴隨因子q2來表征Υ(1S)介子內部夸克之間的相互作用和以上三種環境因素造成的影響.通過求解概率與熵方程,求解出不同碰撞條件下qfqs與q2的數值,將qfqs的數值代入到Υ(1S) 的分布函數中,得到對應的橫動量譜并與實驗數據進行比較.

2 強子氣體中的 Υ(1S) 分布

在高能重離子碰撞中,Υ(1S) 介子相對于J/ψ而言質量較大,重產生過程的發生概率極低[9,10].因此,Υ(1S) 介子在完成離解后,位于強子氣體中的Υ(1S) 介子數目穩定.可以通過研究強子氣體中的Υ(1S) 介子數目來研究Υ(1S) 的分布.而在強子氣體中,介子之間的間距隨著系統的膨脹而增大,相互作用逐漸減小[30],因此臨界溫度附近強子氣體對Υ(1S) 的影響相對較大.此時,Υ(1S) 介子主要受到集體流[20,21]、量子效應[10,22]以及強相互作用[23,24]三個方面的影響.由于集體流效應,Υ(1S)介子與相鄰的π 介子共同運動.由臨界點附近π 介子的熱波長為3.2 fm[31],大于π 介子之間的平均間距[22]可知,此時低橫動量Υ(1S) 介子與鄰近的π 介子均存在量子關聯。由Υ(1S) 徑向波函數可知,在0.6 fm 范圍內b夸克有較大概率與其他夸克發生相互作用[10].因此,除了Υ(1S) 內部b夸克與反夸克發生相互作用,在0.6 fm 范圍內該b夸克還有可能與介子外部其余介子內的夸克發生相互作用.根據此時π 介子的粒子數密度為 0.5/fm3[22],在0.6 fm 為半徑的b夸克作用范圍內,最多可容納一個π 介子.因此,此時低橫動量Υ(1S) 介子與最近鄰的π 介子之間存在強相互作用.根據以上三種效應的共同影響,Υ(1S) -π 介子-介子可形成兩體結構,如圖1(b)所示.同時,從夸克的局部觀來看,如圖1(d)所示,Υ(1S) 與π 介子都是夸克-反夸克兩體系統.本文提出兩體分形模型(TPF model)來進行描述.模型認為在臨界溫度附近,Υ(1S) -π 兩介子系統,Υ(1S) 介子和π 介子兩夸克系統具有自相似兩體結構[29].隨著系統膨脹,自相似結構消失.而分形理論是一種用于描述自相似性以及自仿射特性的基本理論[29,32].本文運用分形理論來描述強子氣體中Υ(1S) 的概率與熵,進而來分析強子氣體中Υ(1S) 的分布.

圖1 強子氣體中b 夸克和 反夸克在不同層次的自相似結構 (a)真空中的自由 Υ(1S) 介子;(b)介子層次強子氣體中的 Υ(1S) 介子;(c)真空中的自由b 夸克和 反夸克;(d)夸克層次強子氣體中的b 夸克和 反夸克Fig.1.Self-similarity structure of b quark and anti-quark in hadron gas: (a) Free Υ(1S) in vacuum;(b)Υ(1S)in hadron gas from meson aspect;(c) free b and in vacuum;(d) Υ(1S) in hadron gas from quark aspect.

首先,從介子層次出發,研究臨界溫度附近的底夸克偶素,如圖1(a)所示.在質心系中,假設底夸克偶素自由地處在真空環境中,底夸克偶素處于Υ(1S)態的概率為

其中E0,E1,···,E13是實驗測量底夸克偶素ηb(1S),Υ(1S),ηb(2S),Υ(2S),h b(1P),χb0(1P),χb1(1P),χb2(1P),h b(2P),χb0(2P),χb1(2P),χb2(2P),Υ2(1D),Υ(3S) 對應的各能態能量[34].對于低能級底夸克偶素,將這14 個離散能級的概率進行求和.對于更高能態,由于能級間隔較小[34],為計算方便,這里直接進行積分.pmin是高能連續能級中重夸克偶素的夸克最小動量.由于高能級相鄰能級之間的動量差異較小[34],我們將離散能級中能量最高粒子Υ(3S) 態對應的夸克動量取為最小動量pmin.是底夸克偶素相對周圍π 介子的運動空間大小,其中r0為運動空間的半徑.運動空間半徑r0不是固定不變的,它隨著碰撞能量和碰撞對心度的變化而變化.在不同碰撞能量和碰撞對心度情況下,通過r0=(vτ+dΥ(1S)+dπ)/2 可以計算出對應情況的運動空間半徑.其中,v為周圍π 介子相對Υ(1S) 的平均運動速度,可由Υ(1S) 的平均橫動量以及系統的徑向流速得到.τ為臨界溫度時Υ(1S)的壽命,τ=1/Γ ≈1/0.017 GeV-1[35],Γ為衰變寬度.dΥ(1S)和dπ是Υ(1S) 和π的直徑,計算得到dΥ(1S)+dπ≈1.8 fm[10,36].

表1 Pb-Pb 在不同碰撞能量以及0—100%碰撞對心度下,中心快度區 |y|＜2.4 內的 Υ(1S) 介子運動空間半徑 r0 的值Table 1.In mid-rapidity region |y|＜2.4,radius r0 of Υ(1S)motion space under different collision energies and 0-100%centrality for Pb-Pb.

在上面的分析中,假設底夸克偶素處于真空中,不受環境影響.但實際上底夸克偶素是處于強子氣體中的,受到強子氣體的集體流效應,與相鄰π 介子的量子關聯以及強相互作用的影響.在這些影響下底夸克偶素和相鄰π 介子形成自相似的兩體結構,如圖1(b)所示.所以在強子氣體中,底夸克偶素受到以上三種效應的影響后,具有自相似性.根據分形理論,處于Υ(1S) 態的伴隨概率[39]為P11的冪次形式[40,41].我們引入環境影響因子qfqs來表示三種效應對底夸克偶素的影響.底夸克偶素處于Υ(1S) 態的概率為

在qfqs=1 時,(4)式與(1)式相同,說明此時底夸克偶素沒有受到強子氣體的影響.qfqs偏離1 越遠,強子氣體對底夸克偶素的影響越強.

本文考慮的b,之間的吸引相互作用以及Υ(1S)與環境中粒子的相互作用均為強相互作用力.強相互作用勢能正比于r-α(弱耦合區域α=1,強耦合區域α=-1)[33].對于d維空間(本文考慮的是三維空間,d=3)中具有V(r)≈r-α形式的兩體相互作用勢.根據長程相互作用定義,如果滿足α/d≤1,則該相互作用為長程相互作用[42].因此,無論是強耦合還是弱耦合情況,此處考慮的強相互作用是一種長程相互作用.Tsallis 熵可以有效描述長程相互作用系統[42,43].所以本文用Tsallis熵來描述底夸克偶素,其形式為

前面從介子層次研究了強子氣體對底夸克偶素的影響.現在從夸克層次再來研究強子氣體對底夸克偶素的影響.在質心系中,假設夸克和反夸克是自由的,如圖1(c)所示,該兩夸克系統處于能量為Υ(1S) 內夸克動能的概率為

其中?i為兩自由夸克系統的波函數,?1對應能量為Υ(1S) 內夸克動能的波函數.哈密頓量為.配分函數是對兩夸克系統所有可能微觀態概率的求和.與介子層次類似,本文對低能態進行求和,高能態進行連續積分.配分函數可以寫為

其中E k0,E k1,···,E k13為離散低能態b,的動能.是連續高能級的動量下限,取為Υ(3S) 介子內重夸克的動量.離散低能態粒子的動能可通過非相對論薛定諤方程得到:

在上面的分析中,假設了夸克和反夸克處于自由狀態.但是,強子氣體中的b夸克和反夸克并不是自由的,它們受到吸引相互作用從而形成束縛態,并且受到強子氣體的集體流效應,量子關聯以及強相互作用的影響.在這些影響的作用下,b夸克和反夸克形成了強子環境下的底夸克偶素,與相鄰π 介子形成兩介子結構,如圖1(d)所示.因此,這里引入伴隨參數q2表征b夸克和反夸克之間的相互作用、集體流、量子關聯效應以及強相互作用的影響.基于分形理論[42],(b,) 夸克反夸克對處于Υ(1S) 態的伴隨概率為[39-41]

當q2=1 時,(9)式與(6)式相同,說明重夸克未受到束縛勢與強子氣體的影響.q2偏離1 越遠,夸克反夸克對受到的影響越強.

與介子層次中的熵(5)式類似,由于夸克之間的強相互作用為長程力,夸克反夸克對的熵可以寫為[42,43]

本文分別從介子層次以及夸克層次出發,分析了 (b,) 夸克反夸克對的概率和熵.由系統等價性可知,從兩個不同層次所描述的同一個系統的性質相同,可得

將(4)式、(5)式、(9)式和(10)式代入(11)式和(12)式求解,即可得到環境影響因子qfqs以及伴隨因子q2.表2 列出了Pb-Pb 在5.02 TeV碰撞能量,且0—100%對心度的碰撞條件下解出的qfqs和q2.從表中可以看到,在同樣碰撞能量下,影響因子q2大于環境影響因子qfqs.這是由于與qfqs相比,因子q2還包含了b,之間的束縛能對b,的影響,因此q2偏離1 更遠.

表2 Pb-Pb 在不同碰撞能量以及0—100%碰撞對心度下,中心快度區 |y|＜2.4 內影響因子 qfqs 和q2的數值Table 2.In mid-rapidity region|y|＜2.4,values of qfqs and q2 for Pb-Pb in 0-100%centrality at different collision energies.

將強子氣體影響因子qfqs代入粒子橫動量分布函數,可以得到Υ(1S) 的橫動量譜.在中心快度區,Υ(1S)介子的橫動量分布為[44]

其中,Υ(1S) 介子的分布函數[45]為

圖2 Pb-Pb 在不同碰撞能量以及0—100%碰撞對心度下,低橫動量 Υ(1S) 介子在中心快度區間 |y|＜2.4 的橫動量譜.實驗數據來源于LHC[46,47]Fig.2.Transverse momentum spectrum of low-pTΥ(1S)in Pb-Pb at different collision energies for 0-100%centrality,in mid-rapidity region |y|＜2.4.The experimental data are taken from LHC[46,47].

進一步分析強子氣體影響因子qfqs隨溫度的演化關系.不同固定溫度下,qfqs的值隨溫度的變化關系如圖3 所示.其中運動空間半徑r0選取為2.92,3.20 fm,分別對應表2 中Pb-Pb 在2.76,5.02 TeV碰撞能量,0—100% 碰撞對心度下的值.從圖3 可以看到,qfqs的值都大于1.這是由于底夸克偶素在強子氣體的影響下與最相鄰的π 介子形成兩體結構,導致系統的微觀狀態數減小,此時熵也會同時減小.而由Tsallis 熵S(q) 的性質可 知,當q ＞1 時,S(q)＜SB-G.因 此qfqs大 于1.另外,當Υ(1S) 介子的運動空間大小固定時,qfqs隨溫度的降低而減小.這與臨界溫度附近,強子氣體中的Υ(1S) 介子隨著系統膨脹和溫度降低,受到的環境影響減弱的物理現象是一致的.從圖3 同樣可以看到,溫度一定時,qfqs隨著運動空間半徑r0的升高而增加.這是由于運動空間越大,Υ(1S) 受周圍粒子影響的概率也越高,形成兩體結構的可能性就越大,從而qfqs越大.

圖3 不同固定溫度T 下的強子氣體影響因子qfqsFig.3.Hadron gas influencing factor qfqs at different fixed temperature T.

3 結論

本文通過物理計算而非數據擬合的方法研究了低橫動量Υ(1S) 介子的橫動量分布.Υ(1S) 介子在QGP 中較高溫度下產生部分離解且重產生概率很低,因此,Υ(1S) 在上述物理過程結束后,在強子環境中粒子數分布趨于穩定.而在強子環境中,Υ(1S)受到強子氣體的集體流、量子關聯和強相互作用的影響.在這些影響的共同作用下,Υ(1S) 介子和最近鄰π 介子形成介子-介子兩體結構.隨著系統的演化,兩介子系統解體.本文構建兩體分形模型研究該兩介子系統.從介子整體觀來看,Υ(1S)介子和π 介子形成兩介子系統.從夸克的局部觀來看,Υ(1S) 介子和π 介子分別為兩夸克系統.本文提出在強子氣體的影響下,Υ(1S) -π 分子態,Υ(1S) 介子和π 介子形成了自相似結構.本文引入影響因子qfqs描述集體流、量子關聯和強相互作用的影響,引入伴隨因子q2表征Υ(1S) 內部夸克之間束縛勢和強子氣體的影響.通過求解概率與熵方程,得到不同碰撞能量下qfqs和q2的值.本文將qfqs代入分布函數,得到低橫動量區Υ(1S) 的橫動量分布,并與實驗結果進行比較.結果表明理論與實驗符合良好.最后,本文分析了qfqs隨系統溫度的演化關系.計算結果表明qfqs大于1,這是由于在集體流、量子以及強相互作用的影響下,Υ(1S)和π形成兩體結構,使得系統的微觀狀態數減少,從而使得qfqs＞1.計算結果同樣表明,qfqs隨著溫度的降低而減小.這與強子氣體中的Υ(1S) 介子隨著系統膨脹和溫度降低,受到的環境影響減弱這一物理現象是一致的.本文提出的兩體分形模型未來也可以用于研究其他介子或者共振態系統.