一個具有共存吸引子的四階混沌系統動力學分析及FPGA 實現*

全旭 邱達 孫智鵬 張貴重 劉嵩

(湖北民族大學智能科學與工程學院,恩施 445000)

1 引言

混沌是一種自然界中普遍存在的物理現象,Lorenz 在研究天氣預報系統時發現了該現象并提出了著名的Lorenz 混沌系統[1].學者們以此系統為基礎,相繼提出了Chen 系統[2]、Lü系統[3]、Bao系統[4]等,極大地促進了混沌系統的研究和發展.混沌系統因其復雜無序的性質被廣泛應用于保密通信[5,6]、圖像加密[7,8]、同步控制[9,10]等領域.1971年,蔡少棠[11]首次提出憶阻器的概念,Strukov 等[12]于2008 年制造出了第一個憶阻器的實物,驗證了蔡少棠教授的猜想.學者們利用憶阻器優良的非線性特性,構建出了具有更加復雜動力學行為的四階,五階和更高階的混沌系統,并發現了多翼混沌吸引子[13,14]、隱藏吸引子[15,16]和共存吸引子[17,18]等不同種類的吸引子.其中,共存吸引子是由不同的狀態變量初值將系統引向不同的吸引子,形成多吸引子共存的多穩態現象.共存吸引子可分為對稱共存吸引子和非對稱共存吸引子,它使得系統運行軌跡變得不可預測,從而更適用于信息安全領域,因此對共存吸引子的研究具有重要的意義.

目前,從構建混沌系統的角度來說,構建具有共存吸引子的混沌系統主要有3 種方法.第1 種是在三維系統中加入狀態反饋控制器.鮮永菊等[19]將反饋控制器引入至三維混沌系統的第3 個方程中,構建了一個只有一個平衡點的四維超混沌系統,該系統具有至少12 種吸引子共存類型.李木子等[20]提出了一個含有兩個反饋項的新五維超混沌系統,該系統不存在任何平衡點,即可以產生隱藏共存吸引子.第2 種是利用憶阻器替代混沌電路中的元器件或直接引入到混沌電路.閔富紅等[21]利用兩個雙曲函數型憶阻器分別替代蔡氏電路的蔡氏二極管和電阻,構建了一個具有多穩態特性的混沌電路.Ma 等[22]設計了一個含有兩個憶阻器的混沌電路,該電路具有無窮多個平衡點,并且可產生7 種不同類型的吸引子.第3 種是將憶阻器引入到現有的混沌系統.Bao 等[23]提出了一個具有4 個線平衡點的憶阻混沌系統,該系統可表現出無窮多個吸引子共存的超級多穩態現象.Yu 等[24]將一個二次非線性磁控憶阻器作為反饋項,提出了一種具有不同類型共存吸引子的五階混沌系統.李曉霞等[25]將一個磁控憶阻器引入到四維Lü混沌系統,構建了一個具有超級多穩定性的五維超混沌系統.秦銘宏等[26]將三次型磁控憶阻器引入三維混沌,構建了一個具有無窮多共存吸引子的新四維混沌系統,驗證了系統狀態變量的震蕩幅度與初始值密切相關.

盡管具有共存吸引子的混沌系統已有文獻報道,但呈現旋轉共存吸引子的混沌系統目前研究尚少.本文結合之前學者的研究思路,在三維混沌系統的基礎上引入狀態反饋控制器和磁控憶阻器,構建了一個新四階混沌系統.該系統可以產生四種類型共存吸引子,并且能夠產生兩種情況的旋轉共存吸引子.最后基于SOPC (System-on-a-Programmable-Chip)技術建立硬件實現平臺,物理實現了該系統,驗證了新系統的可行性.

2 新四階混沌系統的構建

2.1 系統模型

憶阻器是一種無源兩端元器件,描述了磁通量φ和電荷q的關系,本文選取文獻[27]提出的磁控憶阻器模型:

其中,φ為磁通量,u為施加在憶阻器兩端的電壓,i為流過憶阻器兩端的電流,W(φ) 為磁通控制憶阻器的憶導函數,正實數a1,b1為憶阻內部參數.當a1=1,b1=0.02 時,對模型(1)施加正弦激勵電壓v(t)=Vmsin(2πt),憶阻器的磁滯回線如圖1 所示.當輸入電壓Vm=2V時,輸入頻率f分別為0.01,0.02 和0.03 Hz 時憶阻器的磁滯回線見圖1(a);當輸入頻率f=0.01V時,輸入電壓Vm分 別為1.5,2.0 和2.5 V 時憶阻器的磁滯回線見圖1(b).

圖1 憶阻器的磁滯回線Fig.1.Hysteresis loop of memristor.

Chen 等[28]提出了一個特殊的三維自治二次類Lorenz 混沌系統,該系統具有兩個穩定的結焦點,其狀態方程為

其中x,y,z為狀態變量,a,b,c表示系統參數.當系統參數固定為a=10,b=100,c=11.2,且初始條件為 (0.98,-1.82,-0.49) 時,系統(2)可以顯示一個類Lorenz 混沌吸引子.

通過在系統(2)第2 個方程的右側添加一個反饋控制器w,同時增加磁控型憶導W(φ) 與y的乘積作為非線性項,構建了一個新的四階混沌系統,其狀態方程為

式中,x,y,z為系統狀態變量,a,b,c,d,e,h為系統參數.當系統參數固定為a=6,b=41,c=1,d=0.5,e=10,h=1.1,初始值為 (2,2,0.01,0.01) 時,系統(3)呈現雙渦卷混沌吸引子,如圖2 所示.計算系統的4 個Lyapunov 指數分別為LE1=0.595,LE2=-0.155,LE3=-6.685和LE4=-12.240,其Kaplan-Yorke 分數維DL=3.99,顯然系統(3)有1 個正的Lyapunov 指數,且4 個指數之和小于0,說明新構建的系統是混沌的.同時,發現新系統關于y軸對稱,其對稱性可從(x,y,z,w)→(-x,y,-z,-w)的不變性證實.

圖2 混沌吸引子各平面相圖(a) x-y 平面;(b) x-z 平面;(c) y-z 平面;(d) y-w 平面Fig.2.Phase portraits of chaotic attractor: (a) x-y plane;(b) x-z plane;(c) y-z plane;(d) y-w plane.

2.2 平衡點和穩定性分析

令(3)式的右側等于0,計算其平衡點:

為了便于討論,取a=6,b=41,c=1,d=0.5,e=10,h=1.1,求解出系統具有4 個平衡點,分別為

由于增加了系統的平衡點,也為產生多共存吸引子提供了可能.非零平衡點P1,P3對稱的分布在z軸的兩側,平衡點P2,P4的情況相同.因為兩組平衡點均關于z軸對稱且都是方程的解,具有相同的性質,因此只需分別討論平衡點P1和P2.

在平衡點P1處,系統對應的雅可比矩陣J為

求解其特征方程 det(λI -J)=0,得到相應的特征根為

因為λ1和λ2是一對含正實部的共軛復根,λ3和λ4都是負實數,因此平衡點P1是一個不穩定的鞍焦點.同理,可求得系統在平衡點P2處的4 個特征根分別為λ1=-104.808,λ2,3=-4.651±9.635i,λ4=0.372.其中,λ1是負實數,λ2和λ3是一對具有負實部的共軛復根,λ4為正實數,因此平衡點P2和P4均為三維空間的一個鞍點.綜上,系統(3)的4 個平衡點均為不穩定平衡點.

系統(3)的耗散度?V計算如下:

當取參數a=6,b=41,c=1,e=10,h=1.1,滿足?V ＜0,表明系統(3)是耗散的.

2.3 時域波形圖和龐加萊截面圖

取參數a=6,b=41,c=1,d=0.5,e=10,h=1.1,初始值為 (2,2,0.01,0.01),采用四階龍格-庫塔(ODE45)算法對系統(3)求解,可得系統狀態變量x,y,z,w的時域波形如圖3(a)所示,可以看出新系統為非周期系統.系統(3)在z=0 上的龐加萊映射如圖3(b)所示,圖3(b)存在無數個具有分形結構的密集點,表明系統具有復雜的動力學行為.

圖3 系統的時域波形圖和龐加萊截面 (a)時域波形圖;(b)在 z=0 截面上的Poincaré截面Fig.3.Time domain waveforms and Poincaré cross section of the system: (a) Time domain waveforms;(b) Poincaré map on z=0 plane.

3 系統動力學分析

3.1 依賴系統參數變化的動力學行為

本節利用相軌跡圖、Lyapunov 指數譜、分岔圖、動力學地圖等分析方法研究系統(3)的動力學行為.

首先選擇a作為變化參數,設置b=41,c=1,d=0.5,e=10,h=1.1,初始值為Y1=(2,2,0.01,0.01) 和Y2=(-2,-2,0.01,-0.01),狀態變量y隨參數a在區間 (0,50) 變化的分岔圖和Lyapunov 指數譜如圖4 所示,其中藍色軌線對應初始值Y1,紅色軌線對應初始值Y2.當a ∈(0,2.4)時,4 個李氏指數均小于0,此時系統呈現點吸引子共存.在a=2.7 處,系統進入周期狀態,隨后經正向倍周期分岔進入窄共存混沌區域帶.在該混沌區域中存在若干大小不一的周期窗口,系統表現出2 個周期1 吸引子共存,2 個周期2 吸引子共存的現象,如圖5(a)和圖5(b)所示.在a=11.86 附近,系統由混沌危機狀態進入周期狀態.而在a ∈(34.6,35)時,計算系統的4 個李氏指數分別為LE1=0.105,LE2=-0.322,LE3=-8.735,LE4=-38.460,其中有1 個指數大于0,系統表現出單渦卷混沌吸引子共存的現象,如圖5(c)所示.當a ＞35 時,LE1在0 值上下波動,系統的吸引子在共存混沌和共存周期1 之間頻繁切換.當a=50時,LE1=0,LE2,3,4＜0,此時系統呈現另一種類型的周期1 吸引子共存,如圖5(d)所示.

圖4 隨系統參數 a 變化的混沌動力學 (a)分岔圖;(b) Lyapunov 指數譜Fig.4.Chaotic dynamics varying with system parameters a : (a) Bifurcation diagram;(b) Lyapunov exponential spectra.

圖5 取 a 的不同值在x-y 平面的相位圖(a)周期1 吸引子共存(a=3);(b)周期2 吸引子共存(a=3.2);(c)單渦卷混沌吸引子共存(a=34.93);(d)周期1 吸引子共存 (a=50)Fig.5.The phase diagram of different values in x-y plane: (a) Coexistence period 1 attractor coexistence (a=3);(b) coexistence period 2 attractor coexistence (a=3.2);(c) coexisting single scroll chaotic attractor (a=34.93);(d) coexistence period 1 attractor coexistence (a=50).

選取b ∈(10,80),初始條件為Y1=(2,2,0.01,0.01) 和Y2=(-2,-2,0.01,-0.01),繪制出系統狀態變量y隨參數b變化的分岔圖和Lyapunov指數譜如圖6 所示,其中藍色軌線對應初始值Y1,紅色軌線對應初始值Y2.由圖6(a)可以看出: 隨著參數b的不斷增大,系統(3)呈現出了不同運動狀態的吸引子共存行為.系統以共存周期行為開始,先后經歷了倍周期分岔、切分岔和逆倍周期分岔等方式,在周期狀態和混沌狀態中切換,并最終穩定在周期狀態.

圖6 隨系統參數 b 變化的混沌動力學 (a)分岔圖;(b) Lyapunov 指數譜Fig.6.Chaotic dynamics varying with system parameters b : (a) Bifurcation diagram;(b) Lyapunov exponential spectrum.

在這里選取了4 個典型的b值來模擬系統的動力學行為,其中包括周期1 吸引子共存、周期2 吸引子共存、雙渦卷混沌吸引子共存以及單渦卷混沌吸引子共存的現象,分別如圖7(a)—(d)所示.綜合上述分析,可以看出: 相較于系統(2),由于憶阻非線性項和反饋項的引入,新構建的系統(3)確實表現出更復雜的動力學行為.

圖7 取 b 的不同值在x-y 平面的相位圖(a) 周期1 吸引子共存(b=10);(b) 周期2 吸引子共存(b=20.5);(c) 雙渦卷混沌吸引子共存(b=62);(d) 單渦卷吸引子共存(b=70)Fig.7.Phase diagram of different values of parameter b on x-y plane: (a) Coexisting period 1 attractor coexistence (b=10);(b) coexisting period 2 attractor coexistence (b=20.5);(c) coexisting double scroll chaotic attractor coexistence (b=62);(d) coexisting single-scroll attractors coexistence (b=70).

圖8 描繪了參數a和參數b變化時系統(3)的動力學特征,紅色區域表示周期狀態,藍色區域表示混沌狀態.從a=0 開始,縱向觀察動力學地圖的顏色變化,系統(3)一開始處于周期狀態.當a=2.2時,從紅色(周期)變為藍色(混沌),在a ∈(2.3,35.3)區間中,有成片的藍色區域包含細長紅色(周期)小區域,說明系統(3)存在混沌與周期共存的狀態.特別地,在紅色區域內還存在幾個線狀和點狀的藍色區域,說明系統(3)在混沌和周期之間多次轉換.

圖8 參數a 和b 的動力學地圖Fig.8.Dynamic map of parameters a and b.

3.2 依賴憶阻參數變化的動力學行為

分別選取初始值為Y1=(2,2,0.01,0.01) 和Y2=(-2,-2,0.01,-0.01),系統狀態變量y隨參數a1變化的分岔圖和Lyapunov 指數譜如圖9所示,其中藍色軌線對應初始值Y1,紅色軌線對應初始值Y2.由圖9 可以看出,隨著參數a1的增大,系統先經倍周期分岔由周期態進入混沌態,然后經逆倍周期分岔又由混沌態回到周期,在周期區間也夾雜著窄的混沌區間.而且系統還存在著周期吸引子共存、單渦卷混沌吸引子共存以及點吸引子共存等多穩態現象(詳見表1 和圖10).

表1 不同 a1 值下的共存吸引子類型及圖形編號Table 1.Types and figure numbers of coexisting attractors under different a1 values.

圖9 隨系統參數 a1變化的混沌動力學 (a) 分岔圖;(b) Lyapunov 指數譜Fig.9.Chaotic dynamics varying with system parameters a1: (a) Bifurcation diagram;(b) Lyapunov exponential spectrum.

圖10 不同 a1 值在x-y 平面的相位圖Fig.10.Phase diagram of different values of parameter a1 on x-y plane.

特別地,從圖10(b)—(e)可見,隨著a1的增大,出現了兩種情況的共存吸引子旋轉現象,一對單渦卷混沌吸引子旋轉,一對周期1 吸引子旋轉.旋轉是指對吸引子進行翻轉或對折,從而改變吸引子原來的位置.在吸引子發生旋轉的現象中,不僅出現由于系統參數改變引起的旋轉,也存在由于系統初值改變引起的旋轉.這一現象在以往的文獻中并不常見,可見引入憶阻作為非線性項后豐富了系統的動力學行為.

4 系統的非線性反饋控制設計

4.1 理論分析

隨著混沌控制的研究發展,學者們嘗試采用不同的混沌控制方法如: 線性和非線性反饋控制法[29,30]、自適應控制法[31]和脈沖控制法[32]等去實現混沌系統的同步.本文采用非線性反饋控制法,研究具有不同初值,相同參數的兩個新四階混沌系統之間的同步問題,具體實現思路是: 首先將(3)式的混沌系統作為驅動系統,(3)式的復制系統作為響應系統,然后將非線性反饋控制器μ=[μ1,μ2,μ3,μ4]T施加在響應系統上,通過非線性反饋控制器消除驅動系統和響應系統的誤差,以達到混沌同步的目的.

驅動系統方程:

響應系統方程:

為了獲得實現驅動系統和響應系統同步的控制器,定義兩個系統的狀態誤差變量為

將(9)式與(8)式作差,可得誤差系統方程為

由上可得,可通過設置適當的控制向量μ使誤差系統(11)在原點處穩定,從而實現驅動系統(8)式與響應系統(9)式的混沌同步.選擇控制器為

其中,k表示反饋控制增益,將(12)式控制函數代入誤差系統(11)可得

為了求解反饋增益k的取值范圍,構建Lyapunov 函數如下:

式中,V(e) 為正定函數.結合(13)式,對(14)式沿誤差e求導可得:

式中,a,c,e均為正值,故當k ＞0 時,必有(e)＜0,即(e) 為負定函數.根據Lyapunov 穩定性定理,誤差系統(11)以指數速率收斂到平衡點處,即對于任意給定初值,均存在,使驅動系統(8)式與響應系統(9)式達到同步.

4.2 數值模擬

本節通過在Matlab 上進行數值仿真,驗證驅動系統(8)式與響應系統(9)式在非線性反饋控制器下是否達到同步.首先,選取系統參數為a=6,b=41,c=1,d=0.5,e=10,h=1.1,k=1,a1=1,b1=0.01,驅動系統(8)式的初始值為x1(0)=2,y1(0)=2,z1(0)=0.01,w1(0)=0.01,響應系統(9)式的初始值為x2(0)=3,y2(0)=3,z2(0)=1.01,w2(0)=1.01,步長設為0.02,仿真的同步誤差收斂曲線如圖11 所示,可以看出兩個初值不同的系統在控制器作用下,誤差e1,e2,e3,e4在1 s 前均已穩定在零點,即驅動系統(8)式與響應系統(9)式實現了混沌同步.

圖11 混沌同步的誤差收斂曲線 (a) e1 ;(b) e2 ;(c) e3 ;(d) e4Fig.11.Error convergence curve of chaotic synchronization: (a) e1 ;(b) e2 ;(c) e3 ;(d) e4.

5 FPGA 硬件實現

SOPC 是一種基于FPGA 的實現方案,系統的實現以AC620 FPGA 開發板為核心,如圖12所示.選用的FPGA 為ED4 CE10 F17,SDRAM為W9812 g6 KH-6,大小為128 M,DAC 為雙通道14 位AD9767.系統利用QuartusⅡ 17.1 軟件定制開發,搭建SOPC 系統完成硬件設計.

圖12 FPGA 實現設備Fig.12.FPGA implementation equipment.

選取系統參數:a=6,b=41,c=1,d=0.5,e=10,h=1.1,迭代步長 Δt=0.001,采用Euler法對系統(3)進行離散化處理,得到的差分方程如下:

利用C 語言編程,將量化后的數據經DAC 轉換后輸出到示波器,結果如圖13 所示.可以看出硬件實現結果與數值仿真相圖基本一致,驗證了系統(3)的可實現性.

圖13 FPGA 硬件實現系統相圖(a) x-y 平面;(b) x-z 平面;(c) y-z 平面;(d) y-w 平面Fig.13.Realization of memristive chaotic attractor by FPGA hardware: (a) x-y plane;(b) x-z plane;(c) y-z plane;(d) y-w plane.

6 結論

將憶阻非線性項和狀態反饋控制器引入三維自治二次類Lorenz 混沌系統,構建了一個新四階混沌系統.通過數值分析發現該系統隨著參數變化具有兩個周期吸引子共存、兩個單渦卷混沌吸引子共存、兩個雙渦卷混沌吸引子共存等多穩態現象,同時還發現了共存的旋轉吸引子.其次,設計了一個非線性反饋控制器,實現了混沌系統的自同步.最后,通過FPGA 硬件平臺實現該系統,實驗結果與數值仿真結果保持一致,驗證了系統的可行性,下一步將研究該系統在信息安全中的應用.