費曼路徑積分強場動力學計算方法*

劉希望 張宏丹 賁帥 楊士棟 任鑫 宋曉紅? 楊瑋楓3)?

1) (海南大學物理與光電工程學院,海口 570228)

2) (汕頭大學理學院,汕頭 515063)

3) (海南大學理論物理研究中心,海口 570228)

1 引言

現代量子力學始于2 個不同的數學公式,薛定諤的微分方程[1]和海森伯的矩陣力學[2].1948 年,費曼將最小作用量原理應用到量子力學中,提出了一種完全嶄新的量子力學表述-費曼路徑積分方法[3].不同于薛定諤方程從微分波動方程的角度,費曼從路徑積分和經典作用量的角度來處理問題,將時間分割為許多小時間段,以經典拉格朗日量作為相位的傳播算子,將所有到達 (x,t) 的路徑貢獻疊加便能得到波函數φ(x,t),這已被證明滿足薛定諤方程.雖然看待問題的角度不同,但是2 個方程在數學上是等價的,量子力學中的概率概念沒有改變[4].該方法不僅為經典力學和量子力學架起了一座新的橋梁,同時還為量子力學、場論和統計模式提供了一個統一的觀點.

1960 年,世界上第一臺紅寶石激光器問世[5],激光飛速發展.激光具有很高的光強,與物質相互作用會產生各種非線性的物理現象.這些非線性的物理現象與微觀粒子結構性質具有很強的依賴性,通過研究這些現象可以探索微觀世界動力學過程,同時也能得到微觀粒子的結構信息.但是這些非線性的物理現象也為理論研究提出了巨大的挑戰[6?8].顯然,經典動力學模型在微觀世界已經不再適用,量子力學的出現為研究微觀世界提供了有力工具.強場動力學的理論研究最早可以追溯到由Keldysh[9],Faisal[10]和Reiss[11]提出的KFR 理論,該理論被廣泛用于解釋強激光場下的實驗現象.在KFR 理論的基礎上,研究者又考慮各種效應并發展了不同的理論模型,這些模型統稱為強場近似(strong field approximation,SFA)方法.1966 年,Perelomov,Popov 和Terent’ev[12]推導出電子任意束縛態的電離率—PPT 理論.1986 年,Ammosov,Delone 和Krainov[13]簡化了PPT 理論得到準靜態絕熱近似下的電子電離率—ADK 理論.1994 年,Lewenstein 等[14]提出了基于費曼路徑積分方法與拉格朗日最小作用量原理的全量子SFA 理論,且使用該理論研究了低頻激光產生高次諧波.這些開創性的理論為各種強場全量子動力學、半經典動力學與經典動力學計算方法提供了指導性意義.

求解全量子含時薛定諤方程(time-dependent Schr?dinger equation,TDSE)[15,16]可以獲得精確的電子波包演化,進而根據每個時刻的波函數求得電子的速度分布或能量分布,但是由于其沒有解析解,只能借助計算機在每一時刻演化多維的微分方程得到數值解.基于費曼路徑積分的強場動力學方法將波函數用不同狀態的粒子描述,通過將不同粒子的貢獻相干疊加來描述電子動力學過程.SFA模型用平面波戈登-沃爾科夫態 (plane-wave Gordon-Volkov states) 來描述電子在連續態中的運動,忽略了束縛勢的影響.正是由于SFA 方法忽略了庫侖勢的作用,其結果與實驗和數值求解TDSE的結果很難在定量上完全一致.為了克服SFA方法的局限,研究了各種改進方案.例如,庫侖沃爾科夫近似 (Coulomb-Volkov approximation,CVA)[17,18]用庫侖扭曲波替代了平面波,該方法經常被用來研究光電子譜[19,20].庫侖修正強場近似(Coulomb-corrected strong field approximation,CCSFA)[21,22]在SFA 的作用量中引入微擾的庫侖效應對相位進行了修正,其電子軌跡并沒有受到庫侖勢的影響.基于軌跡的庫侖修正強場近似 (trajectory-based Coulomb corrected strong field approximation,TCSFA)[23,24],將庫侖勢的影響引入作用量與電子連續態運動過程中.庫侖量子軌跡強場近似 (Coulomb quantum-orbit strong field approximation,CQSFA)[25,26]是從費曼路徑積分公式中使用時間演化算子的函數積分表示的方法,求解連續態中完整的庫侖運動方程,忽略了隧穿過程中軌跡的庫侖效應.

相較于TDSE,費曼路徑積分強場動力學計算方法模型簡單計算效率更高,同時由于電子被看作具有不同初始狀態的粒子,從而可以根據經典牛頓方程追溯每個粒子的運動軌跡,通過解析粒子的運動狀態便能發現各種物理現象的產生來源,已在強場動力學計算中被廣泛使用,并用于分析強場物理中的各種新奇的實驗現象[27,28].Salières 等[29]利用費曼路徑積分方法復現了高次諧波譜(high-order harmonic generation,HHG)和閾上電離譜(abovethreshold ionization,ATI).Huismans 等[30]通過精確求解TDSE 與CCSFA 在亞激光周期時間尺度上觀察到電子動力學的全息結構,并且通過分析軌跡發現不同干涉結構源自不同軌道的相干.Li 等[31]基于費曼路徑積分思想在經典軌道蒙特卡羅(classical trajectory Monte Carlo,CTMC)方法[32]基礎上采用ADK 理論,并且賦予每條軌道相位信息發展出量子軌跡蒙特卡羅(quantumtrajectory Monte Carlo,QTMC)方法,并研究了光電子譜中的閾上電離結構.Shvetsov-Shilovski 等[33]修正了QTMC方法的相位提出了半經典兩步模型(semiclassical two-step model,SCTS),通過相位修正使得低能部分的計算更加精確.Song 等[34]在QTMC 的基礎上采用非絕熱電離率發展了推廣的量子軌跡蒙特卡洛方法(improved quantumtrajectory Monte Carlo,IQTMC).Liu 等[35,36]采用分子ADK 理論發展了分子量子軌跡蒙特卡羅方法,提取了分子隧穿波包的相結構,證明了隧道出口處的隧道波包的初始相位與初始橫動量分布和分子核間距有關.Gong 等[37]通過實驗與非絕熱QTMC 方法觀測到氬原子從4f 態與5p 態的光電子發射存在大約1.4×10?16s 的費曼共振時間延遲.Song 等[38]通過相位-相位 (phase of phase) 技術結合非絕熱QTMC方法證明了電子可能從連續態被捕獲到束縛態并在該束縛態上停留一段時間再電離出去,且該停留的時間大概是幾百阿秒.同年Porat 等[39]通過實驗結合CCSFA 方法以阿秒精度重建了形成光電子全息圖中光電子的電離時間,通過將全息圖兩個臂的貢獻解耦發現其電離時間差僅為幾十阿秒.Trabert 等[40]在實驗上觀測到了氫分子隧穿電離中的Wigner 時間延遲隨電子發射與分子軸夾角的關系,并且通過求解TDSE,SCTS 與SFA 模型驗證了該結果的可靠性.Torlina等[41]將勢壘下的庫侖勢引入鞍點方程發展了解析的R 矩陣(analytical R-matrix,ARM)理論,并且利用該方法重新定標了阿秒鐘,證明了隧穿過程是瞬時的.Tong 等[42]在TCSFA 的基礎上修正了鞍點方程提出自參照分子阿秒鐘的新思路,成功測量了電子在二聚體分子共振態上的停留時間.Yan和Bauer[24]在連續態充分考慮庫侖勢的作用,同時在勢壘下的作用量也考慮了庫侖勢作用發現TCSFA 和TDSE 結果能定量符合.

可見費曼路徑積分強場動力學計算方法已在強場物理中被廣泛使用,很好地重復并解釋實驗現象,彌補了TDSE 無法給出清晰物理圖像的缺點,同時簡化了計算模型使得計算的可行性大大提高.但是費曼路徑積分強場動力學計算方法也存在一定的局限性與不足,費曼路徑積分完全等同于薛定諤方程需要考慮所有的可能軌跡(不僅僅是經典軌跡,也包括量子軌跡).受限于計算能力,往往采用大量軌道模擬,由于軌道計算不夠導致與真實結果可能存在一定偏差.同時,不同模型對于初始條件的選取也存在差異,導致不同模型對于相同的問題結果也會有所差別.例如,在SFA 模型中不考慮庫侖勢的作用導致結果很難在定量上與實驗符合,一般用于定性驗證.在求解電子連續態的運動軌跡時,往往采用龍格-庫塔法求解,但是在靠近核附近容易產生奇點,使得該軌跡無法求解.所以針對不同的問題需要選擇合適的理論模型與計算方法.

本文將系統地介紹基于KFR 理論的SFA 計算方法.首先簡要介紹SFA 的基本理論,如偶極近似和鞍點近似等.然后重點介紹電子躍遷振幅的推導,詳細介紹CCSFA,TCSFA 和CQSFA 方法的推導及應用.最后對費曼路徑積分強場動力學計算方法的發展趨勢進行展望.除特殊說明外,本文均使用原子單位,即 ?=e=me=1 a.u.

2 基本理論

2.1 偶極近似

在SFA 模型中通常會考慮偶極近似,當激光場的波長λ遠大于模型系統的距離和電子的漂移距離d時(λ ?d=E0/ω2,E0與ω分別為激光的振幅和頻率),矢勢A(r,t) 中的空間分量可以被忽略.即有A(r,t)→A(t),這種近似可以使哈密頓函數更容易求解,同時在合理參數范圍內對人們所感興趣的物理現象沒有明顯的影響.磁場表示為B=?×A(r,t),由于忽略了矢勢的空間分量,那么該磁場的值將為0,也就是說該近似導致模型同時也忽略了磁場的作用.

2.2 長度規范與速度規范

考慮偶極近似下的激光與原子分子相互作用,通常用到兩種規范[43]: 長度規范與速度規范.在數值求解TDSE 時規范不變性已被證實,但是求解TDSE 不能夠分析這些物理現象.為了分析這些物理現象,研究者通常會采取不同的近似模型,其中最常用的就是SFA 模型.但是看似非常合理的近似之后缺乏規范不變性,在SFA 模型中一般情況下兩種規范下會得到不同的結果,其中Bauer 等[44]詳細討論了SFA 模型中的規范問題.

在單電子近似下,對于一個固定的原子核,除其中一個價電子外的所有電子作用都被當成一個有效的束縛勢.此時這個電子與電場的耦合可以用哈密頓量來表示:

其中,下標 (x=L,V) 代表不同的規范;H0=表示無場下的哈密頓量(me為電子質量),束縛勢V(r) 與選擇何種規范無關.在偶極近似下,認為電場在空間中是均勻的,忽略了電場E(r,t) 的空間依賴,因此E(r,t)→E(t),A(r,t)→A(t).電場的相互作用項在不同規范下可以表示為

其中,r與p分別為電子的空間位置與速度.當電子運動到足夠遠且電場強度足夠大時,此時電子所感受到的束縛勢的作用遠小于電場的作用,電子將被近似地看作在電場中運動的自由粒子,自由電子哈密頓量表示為

(1)式哈密頓量的含時演化算子Ux(t,t′) 滿足Dyson 公式:

式中,Ux(t,τ) 為中間態演化算子,U0(t,t′) 為無場哈密頓量H0的演化算子.電子從電離能為Ip的束縛態|ψ0(t)〉=|0〉exp(iIpt) 到連續態|ψp(t)〉的電離振幅寫為

將(1)式代入(5)式,由于初態和末態的正交性第一項為0,可以得到以下結果:

由于考慮SFA,即認為電子電離后將不受到束縛勢的影響,此時電離的電子可以用沃爾科夫態來表示.那么在任意時刻〈ψp(τ)|Ux(t,τ)=,(6)式可以寫為

這樣即得到電子從初態電離到連續態的幾率振幅,其中連續態電子可以用沃爾科夫態表示為

2.3 鞍點近似

鞍點近似方法也被稱為最速下降法[45],是一種積分近似的方法,在數學及物理等領域有廣泛應用.例如求解非線性方程組[46]、X 射線結構分析[47]、機器學習[48]和量子力學[49]等.求解類似如下復平面內的積分:

式中,C為復z平面的固定曲線,而g(z) 和w(z)是包含C的某個區域D中的解析函數.只要I(λ)是收斂的,積分在路徑C的端點是允許存在奇點的.對曲線C做一個變形使其通過w(z) 的鞍點z0,并且沿最速下降方向離開鞍點,將 exp[iλw(z)] 在該鞍點處展開,由于w′(z0)=0 那么其得到的剖面在保留二次項的條件下近似為高斯函數:

為了確定最速下降方向,可以利用復數的極坐標形式:

其中,α與θ為相角,ρ為徑向距離,可以得到

由(12)式可知w(z) 的實部在α+2θ=2nπ 時增長最快.反之,當α+2θ=(2n+1)π 時實部為最速下降.因此可以通過由以下條件確定最速下降方向:

g(z)通常是緩慢變化的函數,將(10)式代入(9)式可得:

根據高斯積分再將所有鞍點求和可得:

因此,這將會產生N個鞍點方程,其形式如下:

進行多變量泰勒展開和計算N個高斯積分可得

這里,w′′(z1s,z2s,···,zNs) 代表多變量作用量的海森矩陣.為了不失一般性,需要考慮無限維的情況,此時函數形式為

那么其鞍點方程寫作 δw[zs]=0,將作用量w[z] 泰勒展開到二階項可以得到:

這里,δzs(t)=z(t)-zs(t).將(19)式代入(18)式得到

同理對上式使用高斯積分可以得到

2.3.1 數值計算鞍點方程

對于簡單激光場,可以很容易得到鞍點ts的解析形式.例如線偏振激光場E(t) 形式為∫Ez(t)=E0sin(ωt),那么根據其矢勢A(t)=-E(t)dt可得

其中A0=E0/ω,E0為電場強度,ω為電場頻率.將(21)式代入鞍點方程可得

其中,px,py,pz分別為電子三個方向的漸進動量.將(22)式化簡可得ts有2 個解:

由于Im[ts]＞0,所以(23)式的±只取-.雖然(23)式很容易計算出其鞍點值,但當電場形式為更復雜情況時,例如矢勢形式如下:

將(24)式代入鞍點方程很難給出鞍點的解析表達式.由于無法給出鞍點的具體表達式,做數值計算時可以考慮在一定區域內均勻地給出試探解,記錄誤差在可接受范圍內的解.但是這將耗費大量時間,而且得到的解精度各不相同,需要更高精度就需要更加密集的試探解,同時將帶來更大的計算量.

2.3.2 遺傳算法計算鞍點方程

為了解決這個問題,一種基于遺傳算法的CCSFA 方法被提出[51].令目標函數

當函數f(t)=0 時,滿足鞍點方程.遺傳算法流程如圖1 所示,具體可分5 步來求解該方程.

圖1 遺傳算法流程圖Fig.1.Flowchart of genetic algorithm.

步驟1產生初始種群.這個過程開始于一組隨機生成的個體樣本,其中每個樣本都是問題的解決方案.樣本的特征是由一組基因決定的.基因通常用0 和1 組成的二進制編碼表示.由于鞍點方程的解為復數ts=tr+iti,所以為每個樣本采用2 個基因,分別代表ts的實部和虛部.種群規模應該盡可能大,因為初始個體越多,進化出最佳結果的可能性就越大.

步驟2重構一個適應度函數H=1/(|f(t)|+0.01),并計算每個個體的適應值,當函數f(t)=0時,其適應度最高Hmax=100.選出其適應度滿足給定條件的樣本,例如當H ＞99,此時|f(t)|＜10-4.適應度函數評估種群中每個個體樣本的適應度,該個體被選擇繁殖的概率是基于其適合度分數.

步驟3選擇.從當前的種群中,根據其適應度分數,提取作為父母的基因子集.每個樣本被選擇概率記為,其對應著在0—1 區間的長度.隨機生成0—1 的隨機數,當該隨機數落在該個體對應的區間時,則選擇該個體樣本.

步驟4交叉、變異.交叉就是對上一步所選擇的個體樣本兩兩配對,將對應兩個樣本的同一個基因選擇一段尾部編碼進行互換.這樣交叉后既保留了上一代的主要性狀,同時又產生了新的特性.變異是將產生的新個體在基因序列上隨機選擇一個二進制編碼改變.不需要每個個體都發生變異,只需要選擇很小一部分個體樣本進行變異.

步驟5至此就產生了新一代的樣本,如果適應度達到期望或迭代次數達到最大值,則停止產下一代,否則就從步驟2 開始重復整個過程.

遺傳算法在本質上是非遍歷性的,所以其搜索解的效率很高.但是變異概率、交叉概率和種群大小等參數對遺傳算法的性能有重要影響.非常小的突變率可能導致某些解的遺漏,過高的突變率可能會導致好的解丟失并且算法很難收斂.通常情況下能得到多于目標個數的解,這時需要排除多余的解.所以需要在一定范圍內挑選一個適應度最大的解作為目標解.

2.3.3 牛頓迭代法計算鞍點方程

牛頓迭代法是一種在實數域或復數域上為方程找到近似解的方法,常用來求方程根,其最大優點是在方程f(x)=0 的單根附近具有平方收斂性.設x*為f(x)=0 的根,在空間內選擇任意x0作為x*的試探解,過 (x0,f(x0)) 點作曲線y=f(x) 的切線L:y=f(x0)+f′(x0)(x-x0),則L與x軸交點x1=x0-f(x0)/f′(x0),那么x1為x*的一次近似值.如圖2 所示,根據新得到的橫坐標重復以上過程不斷求切線與x軸的交點,可以得到xn+1=xn-f(xn)/f′(xn) 為xr的n+1 次近似值.通過不斷迭代xn+1,將會越來越接近方程的根x*.

圖2 牛頓迭代法圖示.藍色曲線為方程 f(x) 的解,紅色直線為藍色曲線在自變量 x 處的切 線,x* 為方程f(x)=0時需尋找的解Fig.2.Illustration of Newton’s method.Blue curve represents value of function f(x),and red lines represent tangent to blue curve at independent variable x,which is solution x* when f(x)=0.

下面介紹用牛頓迭代法求解鞍點,同理將鞍點方程以函數表示:

對(25)式求導可得

在復平面時間內均勻采點作為迭代的起始點,通常一個時間周期T只需采樣很少的點(為了不漏解,在實軸方向 0→T采樣5個點,虛軸方向0→100 a.u.采樣2 個點).因為f(t) 是連續的,那么在零點周圍存在一個區域,只要初始值位于這個鄰近區域內,那么牛頓法必定收斂.以采樣點t(0)為例,那么ts的一次近似值為

以此類推,可以得到

以實例來說明該過程,隨機采樣3 個方向的速度為

矢勢形式如下

根據E(t)=-?A(t)/?t得

選擇4個初始試探解分別為 (tr=20.1,ti=80.1),(tr=40.1,ti=80.1),(tr=60.1,ti=80.1),(tr=120.1,ti=80.1).計算結果如圖3 所示,其收斂性呈指數型增長,可以看到僅僅需要迭代不到10 次,其計算精度就達到了 10-15.

圖3 4 個樣本的 |f| 隨迭代次數的變化.藍線、橙線、黃線和紫線分別代表初始試探解為 (tr=20.1,ti=80.1)、(tr=40.1,ti=80.1),(tr=60.1,ti=80.1) 和(tr=120.1,ti=80.1) 時,隨迭代次數增加函數值 |f| 的變化.Fig.3.Variation of |f| with the number of iterations n for four samples.The blue,orange,yellow,and purple lines represent the changes in function values |f| with increasing iteration times when the initial trial solutions are(tr=20.1,ti=80.1),(tr=40.1,ti=80.1),(tr=60.1,ti=80.1) and (tr=120.1,ti=80.1),respectively.

同樣地,由于采樣數一般會多于實際目標解的個數,所以會有一些重復的解,需要排除多余的相同解.對比于遺傳算法,牛頓迭代法更適用于求解鞍點方程的近似解,因為其不依賴于設置參數,而且迭代是基于上次計算結果有方向的搜解,通常情況下只需要迭代不到10 次便能達到很高的精度.

2.3.4 鞍點方程修正

在SFA 中,作用量S通常忽略庫侖勢的影響,考慮庫侖勢的情況下作用量為[41]

其中鞍點方程的解ts=tr+i·ti為一個復時間,這樣積分路徑可以分為兩項:

這里,第1 項為勢壘下沿著虛時間軸的隧穿動力學過程 (ts→tr);第2 項為沿著實時間軸的連續態傳播 (tr→∞).在鞍點近似方法中,SV(p,t) 的被積函數在復數域為一個解析函數,其積分與路徑無關:

然而,當r靠近0 時,V[r(p,τ)]=z/r(p,τ) 不是一個解析函數,其積分與路徑有關,所以(30)式的第2 項不能像(32)式一樣直接得到.為了解決這個問題需要將積分路徑分為兩部分[42]:

這里等式右邊第1 項代表在復平面內勢壘下的隧穿動力學 (ts→tr),第2 項代表隧穿后在連續態中的傳播 (tr→∞)(圖4).這樣(30)式中的庫侖作用項可以寫作

圖4 復平面的路徑積分.I1 描述了沿虛時間軸的積分,步長為 iΔτ .I2 描述了沿實 時間軸的積分,步長為ΔτFig.4.Path integral on complex plane.I1 describes integration along imaginary time axis with a step size of iΔτ,and I2 describes the integration along real time axis with a step size of Δτ.

在復平面內,積分路徑I1是沿平行于虛時間軸的方向從ti到0,因此tr是一個常數.此時(34)式中的第1 項可以寫為

積分路徑I2是沿ti=0 的實時間軸,所以(34)式的第2 項寫為

將(32)式—(36)式代入(31)式,可得鞍點方程變為

即在鞍點方程中考慮了勢壘下庫侖勢的作用.

3 躍遷振幅

費曼路徑積分思想是將波函數的貢獻看作所有可能路徑(攜帶與路徑相關的作用量)的疊加,使用鞍點近似的SFA,CCSFA,TCSFA 與CQSFA均是以帶作用量的軌跡來描述電子波函數.費曼認為可以將有限時間分成無限多趨近于零的小時間段,此時粒子在有限時間內傳播可以看作粒子在每個時間段內傳播的貢獻總和.如圖5(a)所示,粒子從A點到B點其中間存在一個雙縫擋板時,在t0時刻粒子處于A點,t1時刻粒子到達擋板處,t2時刻粒子到達B點.如果t2-t1與t1-t0均無窮小,那么粒子從A點到達B點的概率為兩條路徑貢獻總和.當擋板數與狹縫數增多時路徑也同時對應增多(圖5(b)),當擋板與狹縫無限多時可認為沒有擋板存在,此時粒子從A點到B點的概率為無限多不同位置到達B點的路徑貢獻總和.當粒子從A點到達B點的時間為有限時,可以將時間分為很多個小時間段.推廣到無數條狹縫且該時間段內擋板數也無數個,那么此時每條路徑由折線變為了任意形狀的曲線,如圖5(c)所示,此時粒子從A點到B點的概率為空間中任意曲線路徑的貢獻總和.

圖5 費曼路徑積分思想示意圖.A 與B 分別為粒子的初始點與末點,綠色虛線為粒子的可能路徑 (a) 兩個位置之間存在一個擋板雙縫;(b) 兩個位置間存在兩個多縫擋板;(c) 兩個位置存在無數個狹縫,此時粒子可以從A 點經歷任意位置到達B 點Fig.5.Schematic diagram of Feynman’s path integral concept.A and B represent initial and final points of a particle,and the green dashed line represents the possible paths of particle: (a) There is a double-slit barrier between two positions;(b) there are multiple slit barriers between two positions;(c) there are infinite slits between two positions,and particle can reach point B from point A through any intermediate position.

從A點到B點的概率振幅來自于所有可能路徑的貢獻,每一條路徑的貢獻幅度一樣,只有相位不同.而其相位則與經典作用量(S/?)有關,? 為普朗克常數,(S/?)表明了對應于每條路徑作用量S是量子化的.對宏觀尺度,作用量子 ? 是個很小的量,因此對每條路徑作用量S都 比 ? 大很多,對該路徑的相鄰路徑而言,相位的變化非常巨大而使得這些路徑貢獻的幾率振幅相互疊加抵消.只有當這條路徑與其臨近路線的相位變化不大時(對相位的變分為0)才不會相互抵消,即經典粒子的路徑.可見路徑積分方法結合最小作用量原理將量子現象過渡到了經典運動軌跡中,在經典物理與量子物理之間架起了一座橋梁.

躍遷振幅描述了電子從一個狀態躍遷到另一個狀態的概率,激光誘導的電離過程描述了電子在激光作用下從初態|ψ0(t)〉躍遷到連續態|ψp(t)〉的過程.此時束縛勢與外加電場耦合下的哈密頓量可以寫為

式中,W(t) 為 電場作用算符,V(r)為 勢能算符,為動能算符.其對應的躍遷振幅為

其中,U(tf,ti) 為從時間ti到時間tf的時間演化算符.同時考慮外加電場與原子的束縛勢,這很難得到TDSE 的解析解,所以將哈密頓量拆分為兩項:

這里,H0(t) 為束縛電子 的哈密頓量,H(GV)(t) 為連續態自由電子的哈密頓量,對應的時間演化算符分別為U0(t,t′) 和U(GV)(t,t′).利用Dyson 方程[52],可將時間演化算符寫為如下積分形式:

將(42)式代入(39)式,考慮正交性〈ψp(tf)|ψ0(ti)〉,第1 項的結果為0,那么可以得到躍遷振幅的積分形式:

將(43)式代入(44)式可將躍遷振幅分為2 項:

其中,等式右邊第1 項為躍遷振幅的零階項,描述了直接電子從束縛態躍遷到連續態的概率.在SFA 中,電子躍遷到連續態后被看作是自由電子不受到束縛勢的影響.由于時間演化算子,又考慮到波函數的正交性,那么直接電子的躍遷振幅為

3.1 積分法計算躍遷振幅

從(46)式與(47)式可知直接電子與散射電子具有不同的躍遷振幅,光電子動量譜ω(p) 由躍遷振幅模的平方給出,通常不考慮電子返回再散射過程時,只需要計算躍遷振幅的零階項.而且在不考慮庫侖勢的情況下,連續態電子被看作自由電子,其在電場中的振蕩速度為p+A(t).對于給定的末動量p,考慮在長度規范下W(τ)=r·E(τ),同時將其與沃爾科夫平面波代入(46)式可得到電子末動量為p時的概率為

將(49)式代入(48)式可得

其中,F[F(r,τ)] 為F(r,τ) 的傅里葉變換,這樣將每個時間下的躍遷振幅求和平方,便能得到光電子動量譜[53].

3.2 微分法計算躍遷振幅

由(50)式可知F(r,τ) 是含時變化的,所以無法得到其解析形式,因此在每個時間步長都需要數值計算快速傅里葉變換.另一種方法是從動量波函數出發,通過對其動量波函數求微分便能得到每一時刻躍遷振幅的解析表達式[54],ω(p) 將變成一重積分,令q=p+A(t),那么(46)式可以重寫為

這里,ψ0(q) 是ψ0(r) 的傅里葉變換,表示自變量為q的動量空間波函數[55],其解析式為

對于其他量子態的動量空間波函數,可以將其對應的量子數代入(52)式得到其解析的波函數.實際計算時間的積分中,通常取電場開始時間0 與電場結束時間tf作為積分的上下限,將(53)式代入(51)式可得

3.3 利用鞍點近似方法計算躍遷振幅

躍遷振幅描述了電子從束縛態躍遷到連續態的概率,通過使用鞍點近似將其簡化為許多軌跡的相干疊加,這樣可以很清晰地分析不同時間窗口所出射電子的相干特性[56].作用量S(t) 作為一個指數,是關于時間t的高速振蕩函數,可以利用鞍點近似方法來計算該時間積分[57],從而用電子軌道的形式來描述時空動力學.這不僅使計算更加簡單,而且可以提供清晰的電子動力學過程物理圖像.(46) 式描述了直接電離電子的躍遷振幅,對其使用鞍點近似可得

將所有鞍點的貢獻求和便能計算出電子在漸進動量為p時的躍遷振幅,但是注意到其鞍點方程為

因此在滿足鞍點條件下等式q2+2Ip=0 成立.那么根據(54)式可知,〈p+A(ts)|r·E(ts)|ψ0(τ)〉在鞍點處是一個奇點,以至于鞍點近似方法此時不再不適用.為了解決這個問題使鞍點等式成立,考慮將做變形,實際計算中取外加電場結束時間tf作為積分上限,電場開始時間0 為積分的下限.將符號計算展開為積分形式那么有

(57)式用到了[r·E(τ)+i?/?τ]e-i[p+A(τ)]·r=0以及動量波函數ψ0(q),其為空間波函數的傅里葉變換

對(57)式分部積分可得

對于零程勢,基態空間波函數為

傅里葉變換形式 (動量波函數) 為

由(53)式可知,對于庫侖勢的動量波函數可以表示為

很顯然,當選擇零程勢時,將波函數代入(59)式,其分母上的S′可以被消掉.但選擇庫侖勢時,分母上的S′還保留著,這將導致奇異點的發生,將(62)式代入(59) 式得

其中

根據柯西積分定理,沿著實軸的積分 0 ≤t≤tf等于從0 到a+i∞的曲線積分,復數平面Cs的曲線積分,從b+i∞到tf曲線積分這三部分之和.這里a(b) 為連接曲線Cs的左端點(右端點)的實數.為了避免在ts發生奇點,曲線Cs通過點ts-iε,ε →0+.這時(64)式分裂成2 項:

對(65)式的第1 項使用分部積分可得

相對于第1 項,第2 項是關于S′的逆高階項,所以可以忽略不計,因此(66)式中的主要貢獻來自實軸上的2個點t=0與t=tf,發現該項可以與(63)式的第2 項抵消,所以躍遷振幅的貢獻可以記為曲線Cs的積分.由于S′=0 被積函數是奇異的,分別將S與S′在鞍點處展開可得

將其代入 Ls可得

結合(63)式—(69)式,可以得到對于當束縛勢為庫侖勢時,其躍遷振幅寫為

4 庫侖修正強場近似

眾所周知,SFA 可以對復軌跡進行有效的解釋,也稱為量子軌道[58,59].復軌跡法的實質是: 由于不考慮庫侖勢,對于每一個最終光電子動量p可以找到一個或幾個復電子軌跡r0(p,t) 滿足經典的激光場中電子運動方程:

初始與邊界條件有

(72)式前2 項為初始條件,表明電子處于原點(也就是原子的位置)其動能等于束縛能,第3 項為邊界條件表明電子以動量p的狀態打在探測器上.雖然這個軌道滿足經典運動方程,但是其軌道為復數,說明電子從基態發生隧穿或多光子電離是量子效應.因為初始電子能量為負,那么其初始時間ts也是復數.當時間t=t0=Re[ts] 時,表明電子處于經典作用區域,此時隧穿出口r0(p,t=t0) 為一個實數.根據之前的初始條件可得

由于r0(p,t=ts) 為一個純虛數,可得

根據之前的推導(70)式,SFA 電子的躍遷振幅為

另一個是由于軌跡修正r1導致的,記作

修正量r1由以下牛頓方程所決定:

其中,Zq為電荷量.如果選擇軌跡r0(p,t),并且在實時間t≥t0演化(78)式,那么將得到不同的末動量v(t →+∞)≠p,這將無法對應一個特定的末動量p修正其躍遷振幅.但是,如果假定一個其他沒有庫侖的軌跡,在實時間演化(78)式其末動量恰好等于需要的動量.那么可以在作用量中用替代p,令=,庫侖修r1的初始條件為.那么根據(76)式與(77)式可以計算出與這3個作用量.因此,修正后的電離振幅可以記作

5 基于軌跡的庫侖修正強場近似

SFA 是一種廣泛且成功地應用于處理強場電離過程的理論計算方法.在其最簡單的形式中,只考慮所謂的“直接”電子,這些電子在電離之前被束縛在原子上,由于激光場的強度遠大于庫侖勢的強度,電子在電離之后只在激光場的作用下運動,因此不存在散射電子.而TCSFA 是在SFA 的基礎上對電子軌跡進行了修正,其不僅僅是體現在電子的運動方程,在作用量上也進行了修正.由于在軌跡中考慮了庫侖勢,那么電子不僅有直接電子,同時也存在散射電子[24].根據鞍點方程?S(t)/?t=,可知電子開始時間ts為復數,所以其電子軌跡可分為2 部分: 一部分為ts→Re[ts]=tr描述了電子在勢壘下的過程;另一部分為tr →∞描述了電子在經典區域的過程.在勢壘下電子的軌跡不受庫侖勢的影響,在經典區域電子的軌跡會受到庫侖勢的擾動,在整個過程中作用量都引入了庫侖勢的修正.雖然勢壘下作用量考慮了庫侖勢的影響,但是鞍點方程并沒有考慮該修正,所以TCSFA 的鞍點方程與SFA 的鞍點方程一致.鞍點方程的每個解,稱為鞍點,對應著一個復電離時間.然而,對于大量的初始系綜,求解這些鞍點方程是非常耗時的.為了克服這一困難,Xiao等[60]提出了一種時間采樣的方法來解決這個問題.由鞍點方程可知通過時間上的采樣從而求解對應的動量p比在動量上的采樣求解時間容易很多.

通過給定的漸進動量求解鞍點方程得到電子開始時間ts,TCSFA 計算過程分為勢壘下與經典區2 部分.電子在勢壘下開始位置與電子到達經典區的初始位置分別記為rsub(ts) 與r(t0),由于勢壘下電子的軌跡不受庫侖勢的影響,所以勢壘下的運動方程為

但是勢壘下的作用量考慮庫侖勢作了修正,記作

雖然經典運動過程中考慮了庫侖勢的擾動,但是其初始條件與SFA 一樣,記作

其運動方程引入了庫侖力導致其發生了畸變,所以vre(t →tf)≠p,運動方程由下式描述:

相應的經典運動中其作用量表示為

電子的電離概率等于躍遷振幅的平方,根據(75)式可以得到

由于Sre(tf)為實數,但是Ssub(t0) 為復數,所以電離概率可以重寫為

其中電子的電離概率為

相位表示為

通過初始條件很容易計算出電子的電離概率w0,但是求解末態的動量與累積的作用量Sre(tf) 需要演化該動力學方程(83)式.這里使用了四階龍格-庫塔方法來求解該微分方程組[61].

電場在t=tf時關閉,自由電子的漸近動量p(∞)等于電場結束時的動量p(tf).但是在TCSFA 中,由于長程庫侖勢的作用,電子加速度不斷變化,因而產生了p(∞)≠p(tf).若能量小于零,這部分電子被認為束縛到了里德伯態而未被電離.在沒有電場的系統中,能量大于零的電子只受到中心庫侖力的作用,可以看作經典二體問題,可以用開普勒軌道處理.事實上,電場結束時電子的動量p(tf) 與其位置r(tf) 唯一地確定了其在母離子庫侖勢下的運動軌跡,經典力學的雙曲線運動標準公式可以解析求出電子漸近動量[62,63]:

這里,M=r(tf)×p(tf) 和A=p(tf)×M -r(tf)/r(tf)分別代表角動量守恒與龍格-楞次矢量.p(∞) 可由能量守恒定律得到:

最終,將大量隨機軌道在末速度空間下相干疊加便能得到如圖6 所示的動量圖,可以看出考慮勢壘下作用量的TCSFA 能定量地模擬TDSE 結果.

圖6 pz -px平面內光電子動量分布圖[24] (a) TDSE,(b) SFA,(c) TCSFA 不考慮勢壘下作用量;(d) TCSFA 考慮勢壘下作用量Fig.6.Logarithmically scaled photoelectron momentum distribution in pz -px plane[24]: (a) TDSE,(b) SFA and (c)TCSFA without sub-CC;(d) TCSFA with sub-CC.

6 庫侖量子軌跡強場近似

第5 節提到的TCSFA 是通過給定的漸進動量求解鞍點方程得到電子的初始動量,然后通過引入庫侖勢的動力學方程演化電子的狀態,最后統計電子的末態分布.CQSFA 則是選擇給定的末動量通過3 個鞍點等式去求解電子的不同初態,這不同的初態包括4 類軌跡通過引入庫侖勢的動力學演化最后都會達到給定的末態從而相干疊加[25,26].

SFA 與CCSFA 中鞍點方程如(56)式所示只有一個等式,給定漸進動量p從而計算復數電離時間ts,這里的p在強場近似中對應末動量.但是在CQSFA 中,不僅僅需要找到ts,同時需要根據電子末 動量p(tf) 來求得電子初始位置r(tr) 與 初始動量p(tr).所以其鞍點方程必須同時滿足3 個等式:

(92)式描述了隧穿過程能量守恒,(93)式與(94)式描述了電子在連續態的動力學過程τ ∈(tr,Tp).對于簡單的庫侖勢V(r)=-C/|r|,由(93)式可以得到

將(95)式代入(92)式可得

其中p(ts) 為勢壘下的漸進動量,通常近似值是固定 的,即p(t1)=p(t2),t1∈[ts,tr],t2∈[ts,tr].那么就有(ts)→0,將其代入(96)式得

設電場矢勢為Az(t)=A0cos(ωt),(97)式有兩個鞍點解,這里記作

其中p0//為平行于電場方向電子的初始速度,p0⊥為垂直于電場方向電子的初始速度.1,2,3,4 分別代表4 類不用初始條件的軌道,其中 (1,4) 與 (2,3)時間表達式一樣但是由于其初始速度不同導致時間也是不同的.將隧穿位置作為初始位置與末動量作為限制條件,求解(93)式與(94)式得到電子初始動量.其具體做法是求解一個反問題,運用迭代的方法不斷地增加庫侖耦合的作用.首先假設庫侖耦合作用為0,即C=0,用強場近似的解作為初始解,再令C=0.1 代入之前的解,顯然在動力學方程中引入的庫侖耦合作用發生改變之后,末動量的解不等于之前的限制條件,這時需要根據限制條件來修正之前的解從而改變初始動量.然后不斷增加庫侖耦合作用,直到C=1 時庫侖耦合作用完全引入之前的鞍點方程,這樣就得到了4 類初始條件不同但是末動量一致的軌道.這種方法沒有根據最終動量明確地參數化初始動量,但使每個軌道的初始動量能夠計算出任何給定的最終動量.使用鞍點近似,由(20)式可得躍遷振幅為

其中下標s 代表鞍點,ts,ps,rs是通過求解(92)式—(97)式得到,進而根據空間積分或者傅里葉變換求解〈p+A(ts)|r·E(ts)|Ψ0〉.?ps(tf)/?rs(ts) 為 穩定因子,前項因子為

相位分為兩項:

其中等式右邊第1 項與第2 項分別為延時間虛軸與時間實軸累計的作用量.沿虛軸時的軌跡沒有受庫侖勢的影響,作用量可表示為

其中

沿實軸的作用量表示為

將(95)式代入(104)式可得

其中

最后,將相同末動量的4 類軌道相干疊加可得到光電子角度分布(圖7).由圖7 可以看到,CQSFA 也能定量地復制TDSE 的結果.并且計算中只存在4 類軌跡,在解析物理圖像時能更加有效地辨識背后的產生機制.

圖7 氫原子二維光電子角度分布[26] (a) CQSFA;(b) SFA;(c) TDSEFig.7.Two-dimensional photoelectron angular distributions of hydrogen atom[26]: (a) CQSFA;(b) SFA;(c) TDSE.

7 結論與展望

費曼路徑積分方法提供了一種量子軌跡的強場動力學計算方法,使得人們可以從經典的視角去研究量子效應,為強場物理在研究微觀世界粒子動力學過程取得了突破性的進展.本文介紹了使用遺傳算法與牛頓迭代法優化復平面鞍點方程的計算模型,這兩種方法能夠有效減少計算所消耗的時間.詳細推導了幾種費曼路徑積分強場動力學計算方法,包括SFA,CCSFA,TCSFA 與CQSFA.由于SFA 忽略了庫侖勢的作用,不能在定量上與實驗結果相符合.CCSFA 在作用量里面考慮了庫侖勢的影響,同時將軌跡的修正以作用量的形式考慮在內.TCSFA 將軌跡的修正直接考慮在運動方程中,同時作用量也由每一時刻能量的積分得到.這2 種方法都需要大量的計算軌道,CQSFA 則是將每個末動量下分為4 類軌道,有效地減少了計算量同時保證了計算的質量.相比前兩種方法,該方法雖然簡化了計算,但是鞍點方程卻更為復雜,不易于尋找到合適的鞍點,通常需要不斷迭代才能尋找到合適的鞍點.由于這3 種方法都引入了庫侖勢的作用,其都能與實驗結果做定量比較.雖然現在費曼路徑積分強場動力學計算方法已經被廣泛應用,但是其局限性很明顯: 一是多原子、多電子等復雜波函數很難解析得到;二是軌道如何從經典軌跡解釋清楚量子效應.如何將費曼路徑積分強場動力學計算方法推廣至更復雜的系統,對量子效應提出更好的解釋模型,需要在此基礎上發展更加有效的理論方法.