理解·感悟·升華

武素云

【摘 要】“鴿巢問題”是六下數學廣角的內容，教師應為學生該部分的學習鋪路搭橋，從而發展學生的抽象思維、推理意識和應用能力。

【關鍵詞】鴿巢問題 數學思想 模型意識

數學學習的一個重要內容是通過一定的自身經驗積累，在理解、感悟的過程中逐漸升華，并形成特定的數學模型來解決實際問題。教材將鴿巢問題引入數學廣角，其編排意圖和價值取向是讓學生經歷將具體問題“數學化”的過程，使學生形成初步的模型意識，體會和理解數學源于生活、用于生活的功用，培養學生的抽象思維、邏輯推理和應用意識。但鴿巢問題對小學生來說是一類比較抽象和艱澀的數學問題，理解起來是有一定困難的，那么，如何讓學生較好地掌握鴿巢問題并發展學生的思維能力呢？

一、沉入式理解

學生理解問題的深度和廣度受限于知識儲備、經驗和思維品質等。教師不能用自己想當然的方式去衡量學生的認知水平，而應站在學生的角度試著去思考問題，發現其薄弱點，努力架起學生思維和知識之間的橋梁，降低學生學習的難度。在鴿巢問題中，對“總有”和“至少”的理解是理解該問題的關鍵，也是教學的難點。沉入式理解就是讓學生的理解不浮于表面，而是沉入具體情境，借助具體情境深入理解抽象的內容，以達到教學的目標。

在教材例1中呈現了其基本的結構：“4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。”單從題目上理解“總有”和“至少”，學生都能知道“總有”就是“一定有”，“至少”就是“最少”，也就是說“一定有1個筆筒里最少放入了2支鉛筆”，然而，鴿巢問題只理解到這個層面是遠遠不夠的。教學中通過引導學生對題目進行初步理解后，教師可進行這樣的追問：“至少2支，能不能多于2支？能不能等于2支？能不能少于2支？”從而讓學生理解最差或最不好的情況是必須達到2支，為后面引出“最不利”做好鋪墊。引導學生通過實踐操作得出4支筆放進3個筆筒中一共有4種情況：（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1），讓學生說說每種情況為什么都符合“總有一個筆筒里至少有2支鉛筆”，再次理解“總有一個筆筒”就是看每種情況中鉛筆最多的那個筆筒，而“至少”就是在這些“最多”的情況中找“最少”，并形成板書（如右圖）。讓學生對“總有”和“至少”的理解沉入到具體情境中，依托具體情境內化為對知識的理解。

二、思辨式感悟

鼓勵學生大膽提出問題，為學生創造良好的思辨情境和思辨氛圍，讓學生在思辨中感悟是理解鴿巢問題的有效途徑。鴿巢問題在教材中呈現了兩種解決方案，即枚舉法和假設法，枚舉法有其局限性，假設法更為通用。如何讓學生深刻感悟這一方法，并能正確運用此法解釋鴿巢問題呢？教師應引導學生抓住該問題的關鍵點，逐層遞進，讓學生在關鍵處思辨，在思辨中感悟，在感悟中深刻。

以下是教師帶領學生感悟假設法的三次關鍵處思辨。第一次，感悟“最不利”。“枚舉法列舉出的4種情況中，哪種情況是最差、最不好的情況？”拋出這樣的問題引發學生思辨，最后明確（2，2，0）和（2，1，1）兩種情況中，鉛筆支數最多的那個筆筒里都只有2支，但后者僅僅一個筆筒里有2支鉛筆，是剛剛達到要求而已，因此（2，1，1）是4種情況中最差、最不好的情況，為假設法的引入和理解埋下伏筆。第二次，感悟“平均分”。學生將3支鉛筆平均放入3個筆筒中，剩下1支無論放在哪個筆筒中，那個筆筒中都有2支鉛筆。這時教師追問：“為什么先要平均分？”讓學生思辨后明確平均分是為了不讓任何一個筆筒空著，就能達到讓所有筆筒中的鉛筆數量最少的目的，也就是最不利的情況。在最不利的情況下如果都能達到“總有一個筆筒中至少有2支鉛筆”，那其他情況肯定都能達到要求了。第三次，感悟“商+1”。教師提出進階性問題：“8支鉛筆隨意放入3個筆筒中，總有一個筆筒中至少放入了幾支鉛筆？”學生列式8÷3=2（支）……2（支），2+2=4（支）或2+1=3（支），結合實踐操作讓學生思辨：余下的2支鉛筆是放入同一個筆筒中，還是分別放在兩個筆筒中？明確要想找到“至少數”就要從最不利的情況出發，引導學生理解“平均分”就是最不利的情況，并且余數也要盡量平均分。通過這樣的思辨，學生對假設法才會有更深層次的感悟，而不是停留在只會列算式卻不理解其深層次意義的簡單表達上。

三、螺旋式升華

學生掌握知識的方式都是由易到難、由淺入深的，重要的數學概念與數學思想方法宜體現螺旋式上升的原則。這就要求教師要全盤考慮知識結構和教學思路，在進行教學設計時應盡可能地適應學生的思維能力，遵循學生對事物的認知規律，在教學實踐中逐步對知識進行加深和拓寬，進而使學生對知識的掌握呈螺旋式的升華。鴿巢問題的難點主要在模型的建立和具體的運用上，不是所有的問題都一眼就能看出“鴿子”和“鴿巢”在其問題中指代的事物分別是什么。在一些變式的情況下，怎樣才能把現實問題和鴿巢問題的模型結合起來呢？教學過程中，教師要從學生的角度出發，充分考慮學生的知識基礎、生活經驗和思維方式，找準知識的連接點，促使學生螺旋式地升華對鴿巢問題的認識。

借助鉛筆和筆筒，讓學生在親身經歷中深刻感知分的過程和分的結果，清晰地建立鉛筆和筆筒之間的表象，積累對鴿巢問題的感性認識。接著，引入假設法，讓學生在直觀操作的基礎上感受平均分的思路，既然是平均分就可以用算式表達，與學生已有的知識基礎相連接，將口頭表達推理的過程提升到用算式表達推理的過程，并逐漸增多鉛筆的根數，以加深和拓寬學生對知識的理解。再提出如果將鉛筆換成蘋果、鴿子、糖果、書本，同時將筆筒換成抽屜、鴿舍、罐子、學生，仍然可以得到相同的結論嗎？即推理得出“物品數÷抽屜數=商……余數，至少數=商+1”的公式，讓學生經歷將具體問題數學化的過程，初步形成模型意識。最后，指導學生應用模型解決生活中的實際問題，由基礎問題“張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績41環，張叔叔至少有一鏢不低于9環，為什么？”進階到“隨意找20名學生，至少有2名學生屬相相同。為什么？”再出示變式問題“出示一副撲克牌，取出大小王，還剩52張，共有13人，每人隨意抽1張，至少有3張牌是相同花色的，為什么？”將鴿巢問題逐層進階，設計由基礎到變式的相關問題，在這個過程中體會什么是“待分物品”、什么是“抽屜”，并構建數學與生活世界的緊密聯系，螺旋式地經歷從錯綜復雜的真實材料中尋找鴿巢問題的數學模型，使學生的模型意識得到升華，進而發展學生的抽象思維、推理意識和應用能力。

因此，數學廣角的教學模式更加注重在活動中使學生感悟數學的思想方法，并嘗試運用這一思想方法解決實際問題，從而建構某類問題的通用模型。學生的數學思想并不能像數學知識一樣一步到位，而是要經歷一個由淺入深、循序漸進的過程，這個過程是一個從個別到一般，從具體到抽象，從感性到理性，從低級到高級的螺旋上升的過程。在這一過程中，教師要作為引導者，促使學生在一次次的思維碰撞中不斷理解、感悟、升華，也只有這樣才能將書本的知識轉變為學生自身的能力。