引導(dǎo)語(yǔ)對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題提出表現(xiàn)的影響——以平均數(shù)為例

陳 婷，孫琪琪，蔡金法

引導(dǎo)語(yǔ)對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題提出表現(xiàn)的影響——以平均數(shù)為例

陳 婷1，2，孫琪琪2，蔡金法3

（1．西南大學(xué) 基礎(chǔ)教育研究中心，重慶 400715；2．西南大學(xué) 教育學(xué)部，重慶 400715；3．特拉華大學(xué) 數(shù)學(xué)系，特拉華 紐瓦克 19716）

問(wèn)題提出可以作為一種診斷學(xué)生數(shù)學(xué)概念理解的評(píng)估工具，問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)又關(guān)乎問(wèn)題提出的診斷結(jié)果．為考察引導(dǎo)語(yǔ)對(duì)小學(xué)生問(wèn)題提出表現(xiàn)的影響，以平均數(shù)為例，設(shè)計(jì)3套不同引導(dǎo)語(yǔ)的平均數(shù)問(wèn)題提出測(cè)試卷，隨機(jī)選取某公立小學(xué)262名六年級(jí)學(xué)生為測(cè)試對(duì)象，從問(wèn)題得分、類型、難度和概念理解程度4方面分析引導(dǎo)語(yǔ)對(duì)學(xué)生問(wèn)題提出表現(xiàn)的影響．研究發(fā)現(xiàn)：小學(xué)生在平均數(shù)上具有較好的問(wèn)題提出表現(xiàn)；不同問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)顯著影響學(xué)生問(wèn)題提出的類型和難度；在較復(fù)雜的問(wèn)題情境中，問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)顯著影響學(xué)生的平均數(shù)理解程度．

問(wèn)題提出；問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)；平均數(shù)

1 問(wèn)題提出

近年來(lái)，問(wèn)題提出在改善教學(xué)、促進(jìn)學(xué)生概念理解等方面的作用日益受到關(guān)注．對(duì)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)問(wèn)題提出指：

（1）學(xué)生能夠根據(jù)已有情境提出包括數(shù)學(xué)表達(dá)式和數(shù)學(xué)圖表的數(shù)學(xué)問(wèn)題；（2）學(xué)生能添加合理信息重構(gòu)原有問(wèn)題[1]．對(duì)教師而言，問(wèn)題提出是一種教學(xué)手段，也是一種教學(xué)目標(biāo)[2]．目前關(guān)于問(wèn)題提出的研究主要是將問(wèn)題提出作為一種教學(xué)手段[3]，考察其在課堂教學(xué)中對(duì)學(xué)生的概念理解以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的促進(jìn)作用[4]，許多研究將問(wèn)題提出作為一種評(píng)估手段[5]，通過(guò)學(xué)生提出問(wèn)題的類型有效評(píng)估其概念理解情況[6]．他們認(rèn)為學(xué)生提出問(wèn)題必須基于對(duì)情境中信息的分析與提取和對(duì)相關(guān)概念和知識(shí)的理解，因此，教師能夠通過(guò)學(xué)生提出的問(wèn)題更加全面地觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，從而有效評(píng)估學(xué)生的數(shù)學(xué)理解．已有數(shù)學(xué)問(wèn)題提出的研究主要圍繞師生所經(jīng)歷的問(wèn)題提出過(guò)程展開(kāi)[7]，也有學(xué)者探究了影響學(xué)生問(wèn)題提出的變量，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題提出與數(shù)學(xué)情境、引導(dǎo)語(yǔ)密切相關(guān)[8]．問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)即教師在進(jìn)行問(wèn)題提出教學(xué)時(shí)采用的提示性話語(yǔ)，能引導(dǎo)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而有效落實(shí)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)學(xué)生提出問(wèn)題能力的目標(biāo)要求．引導(dǎo)語(yǔ)主要分為兩大類：一類是基本信息引導(dǎo)語(yǔ)，包含情境引導(dǎo)、數(shù)目引導(dǎo)、交流引導(dǎo)、知識(shí)或策略引導(dǎo)、學(xué)科引導(dǎo)、解答引導(dǎo)6種，另一類是疑問(wèn)式引導(dǎo)語(yǔ)，引導(dǎo)學(xué)生提出疑惑式數(shù)學(xué)問(wèn)題[9]．面對(duì)不同類型的問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)，學(xué)生有不同的思維過(guò)程，他們問(wèn)題提出表現(xiàn)也不盡相同．關(guān)注學(xué)生的問(wèn)題提出表現(xiàn)，從認(rèn)知層面分析學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解程度，從而培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和思維能力[10]．為了幫助教師深入了解學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知過(guò)程，研究選擇“平均數(shù)”概念進(jìn)行分析，為提升數(shù)學(xué)教師的問(wèn)題提出教學(xué)提供參考．

平均數(shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中的一個(gè)基本統(tǒng)計(jì)概念，也是日常生活和統(tǒng)計(jì)分析中不可或缺的存在．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出要“重視平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義的理解”[11]，平均數(shù)的教學(xué)要從“算法理解、概念理解、統(tǒng)計(jì)理解”3個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生理解平均數(shù)．也就是說(shuō)，在小學(xué)階段，平均數(shù)涉及算術(shù)程序性理解、算術(shù)概念性理解以及統(tǒng)計(jì)概念性理解3種類型[12]，包括“平均分配”的計(jì)算過(guò)程、靈活使用算法解決復(fù)雜的平均數(shù)任務(wù)情境以及作為統(tǒng)計(jì)量刻畫(huà)數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，并利用平均數(shù)進(jìn)行不同組別數(shù)據(jù)的比較等方面．關(guān)于平均數(shù)概念的理解及其發(fā)展過(guò)程，部分研究多以國(guó)外學(xué)生作為研究對(duì)象，涉及內(nèi)容包括其對(duì)于平均數(shù)各種概念類型的探究[13-15]．如Strauss和Bichler的一項(xiàng)研究表明，不同年齡階段的學(xué)生學(xué)習(xí)平均數(shù)的難易程度不同，在理解平均數(shù)性質(zhì)方面也存在顯著差異[16]．關(guān)于學(xué)生對(duì)平均數(shù)的算術(shù)概念理解情況，蔡金法等人的研究結(jié)果表明，中美兩國(guó)六年級(jí)學(xué)生都能正確計(jì)算簡(jiǎn)單的平均數(shù)問(wèn)題，且中國(guó)學(xué)生的總體表現(xiàn)好于美國(guó)學(xué)生，但對(duì)于某些復(fù)雜問(wèn)題，兩國(guó)學(xué)生均缺乏對(duì)平均數(shù)算法的概念性理解[17]．而對(duì)于平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)理解，Watson等通過(guò)訪談分析將“學(xué)生能夠運(yùn)用平均數(shù)比較圖表中的數(shù)據(jù)集”視作平均數(shù)概念理解的較高水平[18]．由于平均數(shù)概念的復(fù)雜性，學(xué)生并不能對(duì)其進(jìn)行完全的理解．特別是在統(tǒng)計(jì)理解方面，不少學(xué)生常常把所給數(shù)據(jù)作為一些離散的點(diǎn)，而不是作為一個(gè)整體看待，導(dǎo)致混淆了平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)這些統(tǒng)計(jì)概念[19]．然而，目前國(guó)內(nèi)關(guān)于學(xué)生平均數(shù)概念理解情況的研究較少，結(jié)合問(wèn)題提出手段考察學(xué)生平均數(shù)概念理解的研究較為欠缺，對(duì)于問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)與學(xué)生問(wèn)題提出表現(xiàn)的關(guān)系也缺乏在相同情境下的探討．因此，研究將采用平均數(shù)問(wèn)題提出測(cè)試卷，探究不同問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)下學(xué)生的問(wèn)題提出表現(xiàn)．具體的研究問(wèn)題為：不同問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)下學(xué)生提出問(wèn)題的得分有何差異？學(xué)生提出問(wèn)題的類型是否存在差異？問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)對(duì)學(xué)生提出問(wèn)題的難度有無(wú)影響？不同問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)下學(xué)生對(duì)平均數(shù)概念的理解程度是否存在差異？

2 研究方法

2.1 研究對(duì)象

通過(guò)方便取樣的辦法隨機(jī)選取某市一所普通公立小學(xué)六年級(jí)的6個(gè)班共計(jì)262名學(xué)生，其中男生137名，女生125名．根據(jù)問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)的不同，將其按學(xué)號(hào)隨機(jī)分為3組，第一類引導(dǎo)語(yǔ)對(duì)應(yīng)的學(xué)生作為第一組，第二類引導(dǎo)語(yǔ)對(duì)應(yīng)的學(xué)生作為第二組；第三類引導(dǎo)語(yǔ)對(duì)應(yīng)的學(xué)生作為第三組．3類引導(dǎo)語(yǔ)下文詳細(xì)陳述．調(diào)查時(shí)間安排在六年級(jí)的第一學(xué)期．

2.2 研究工具

研究采用測(cè)試的方法，測(cè)試時(shí)長(zhǎng)為40分鐘．平均數(shù)問(wèn)題提出測(cè)試卷包括4個(gè)問(wèn)題情境任務(wù)，分別簡(jiǎn)稱為“帽子問(wèn)題”“成績(jī)問(wèn)題”“書(shū)籍問(wèn)題”“幼崽問(wèn)題”，要求學(xué)生根據(jù)每個(gè)情境提出3個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題．該測(cè)試卷來(lái)自于已有研究成果，信效度已經(jīng)過(guò)驗(yàn)證[20]．問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)分為3類：第一類引導(dǎo)語(yǔ)要求學(xué)生“提出3個(gè)不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題，挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)老師來(lái)解答”；第二類引導(dǎo)語(yǔ)要求學(xué)生“提出3個(gè)難度不同（簡(jiǎn)單、中等、較難）的數(shù)學(xué)問(wèn)題”；第三類引導(dǎo)語(yǔ)要求學(xué)生“提出3個(gè)不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題，挑戰(zhàn)同班同學(xué)來(lái)解答”．3類問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)皆限定了提出問(wèn)題的數(shù)量，只在問(wèn)題的具體要求上存在差異．測(cè)試卷內(nèi)容與引導(dǎo)語(yǔ)見(jiàn)表1．

表1 平均數(shù)問(wèn)題提出測(cè)試題與3種類型問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)

2.3 數(shù)據(jù)回收及處理

研究共發(fā)放測(cè)試卷262份，回收測(cè)試卷262份，問(wèn)卷回收率和有效率均為100%．對(duì)于學(xué)生問(wèn)題提出的表現(xiàn)，參考胡睿[20]和蔡金法[21]等人的編碼框架，被試所提出的每一個(gè)問(wèn)題都包含4個(gè)方面的編碼：?jiǎn)栴}得分、類型、難度和概念理解程度（見(jiàn)表2）．“問(wèn)題得分”部分，從合理性、拓展性和創(chuàng)新性3方面對(duì)平均數(shù)問(wèn)題提出測(cè)試卷中學(xué)生所提問(wèn)題進(jìn)行評(píng)價(jià)，當(dāng)學(xué)生3個(gè)問(wèn)題均為錯(cuò)誤問(wèn)題時(shí)，只記最高得分，當(dāng)學(xué)生3個(gè)問(wèn)題中包含至少一個(gè)可解的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，只累加正確問(wèn)題的得分．“類型”部分，將問(wèn)題劃分為7種類型．前3個(gè)類型“求和”“比較”“分配”不屬于平均數(shù)范疇；“平均”“表征”“最值”“判斷”這4個(gè)類型屬于平均數(shù)范疇，其中“平均”類型問(wèn)題涉及平均數(shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算，“表征”“最值”“判斷”3類問(wèn)題涉及平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)性概念理解．為了與引導(dǎo)語(yǔ)2的任務(wù)要求保持一致，“難度”部分將解題步驟為1～2步的問(wèn)題確定為簡(jiǎn)單難度，步驟為3步的問(wèn)題為中等難度，4步及以上的問(wèn)題確定為較難難度．通過(guò)這一方式對(duì)所有問(wèn)題的難度進(jìn)行編碼，統(tǒng)計(jì)形成各測(cè)試題難度分布情況．“概念理解程度”主要分為：（1）“平均數(shù)的算術(shù)程序性理解”，即學(xué)生知道“平均分配”，能夠求出平均數(shù)和總數(shù)；（2）“平均數(shù)的算術(shù)概念性理解”，即學(xué)生能靈活使用算法解決復(fù)雜的平均數(shù)任務(wù)情境；（3）“平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)性概念理解”，具體而言就是學(xué)生知道平均數(shù)作為統(tǒng)計(jì)量可以刻畫(huà)數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，還能利用平均數(shù)比較不同組別的數(shù)據(jù)．為保證研究的信度，另請(qǐng)一位熟悉問(wèn)題提出的數(shù)學(xué)教育研究人員進(jìn)行核查，在每個(gè)班級(jí)的樣本中各隨機(jī)抽取30%樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行獨(dú)立編碼分析，兩位研究者在“平均數(shù)問(wèn)題提出測(cè)試卷”的編碼一致性程度超過(guò)90%，具有良好的信度．

3 研究結(jié)果與分析

3.1 3組學(xué)生的問(wèn)題得分情況

通過(guò)對(duì)3組學(xué)生4個(gè)任務(wù)情境所提問(wèn)題的得分進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析（見(jiàn)表3），發(fā)現(xiàn)除“帽子問(wèn)題”外，3組學(xué)生最低分均存在低于3分的情況，也就是學(xué)生所提的3個(gè)問(wèn)題均為錯(cuò)誤問(wèn)題．通過(guò)對(duì)具體任務(wù)進(jìn)行分析，在4個(gè)任務(wù)情境中，第一組學(xué)生在“帽子問(wèn)題”的得分為8.7分，表現(xiàn)最好，在“書(shū)籍問(wèn)題”和“幼崽問(wèn)題”的表現(xiàn)最差．第三組學(xué)生在“成績(jī)問(wèn)題”和“書(shū)籍問(wèn)題”的表現(xiàn)優(yōu)于其他兩組，第二組學(xué)生在“幼崽問(wèn)題”的表現(xiàn)更好．就差異性而言，不同問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)下3組學(xué)生提出合理性問(wèn)題的數(shù)量不存在顯著差異．

表2 平均數(shù)數(shù)據(jù)分析框架

表3 3組學(xué)生在4個(gè)任務(wù)上的問(wèn)題得分的描述統(tǒng)計(jì)

關(guān)于“帽子問(wèn)題”和“幼崽問(wèn)題”，3組學(xué)生的平均得分均在7.5分以上，表明越是題干信息豐富的任務(wù)情境，學(xué)生越容易提出可解的數(shù)學(xué)問(wèn)題．而“成績(jī)問(wèn)題”和“書(shū)籍問(wèn)題”的信息較少，特別是“書(shū)籍問(wèn)題”，需要學(xué)生自己提取信息或者補(bǔ)充條件，對(duì)學(xué)生的挑戰(zhàn)更大，導(dǎo)致“書(shū)籍問(wèn)題”的得分最低，3組學(xué)生的表現(xiàn)最差．其原因在于“書(shū)籍問(wèn)題”只有一個(gè)數(shù)學(xué)信息，需要學(xué)生自己添加合理信息提出問(wèn)題，題目背景信息與給定條件的多寡對(duì)學(xué)生提出問(wèn)題的準(zhǔn)確性產(chǎn)生了影響．

3.2 3組學(xué)生所提問(wèn)題類型的差異

根據(jù)數(shù)據(jù)分析框架對(duì)合理問(wèn)題進(jìn)行編碼（見(jiàn)表4），研究發(fā)現(xiàn)，不同測(cè)試題學(xué)生所提問(wèn)題的類型分布情況各有不同，卡方分析發(fā)現(xiàn)，在“成績(jī)問(wèn)題”和“書(shū)籍問(wèn)題”的第一個(gè)問(wèn)題中，3組學(xué)生所提問(wèn)題的類型與引導(dǎo)語(yǔ)顯著相關(guān)（2=19.13，=0.039<0.05；2=19.64，=0.033<0.05），且在任務(wù)情境只涉及兩個(gè)數(shù)學(xué)信息情況下，不同問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)下學(xué)生提出問(wèn)題的類型不同，相比于第一種和第二種引導(dǎo)語(yǔ)，第三種引導(dǎo)語(yǔ)更能引導(dǎo)學(xué)生提出多樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，更能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性．

表4 3組學(xué)生問(wèn)題提出類型占比

總體來(lái)看，學(xué)生更傾向于提出“求和”類型和“比較”類型的問(wèn)題．除“帽子問(wèn)題”外，其余3個(gè)任務(wù)情境涉及“分配”類問(wèn)題占比較少，通過(guò)對(duì)分配類問(wèn)題進(jìn)行歸類，學(xué)生提出的多為“加入新數(shù)，把平均數(shù)提升至目標(biāo)數(shù)”的問(wèn)題．根據(jù)分析框架，計(jì)算出4個(gè)情境中屬于平均數(shù)范疇的類型占比，3組學(xué)生在“成績(jī)問(wèn)題”和“幼崽問(wèn)題”提出直接涉及平均數(shù)的問(wèn)題占比均高于30%，表明大多數(shù)學(xué)生能夠理解平均數(shù)的實(shí)際意義．其原因在于，兩個(gè)題在題干信息提示了“老師將其中的最高分和最低分去掉”“想知道貓和倉(cāng)鼠哪一種一次生的幼崽更多”，學(xué)生不用補(bǔ)充條件也可以提出例如“去掉最高分和最低分，小明剩下8項(xiàng)測(cè)試的平均分為多少分”，“貓平均一次生崽多少只”這一“平均”類型問(wèn)題．在“成績(jī)問(wèn)題”中，第三組的學(xué)生未能和其余兩組一樣提出“表征”和“最值”類問(wèn)題．在“帽子問(wèn)題”中，第一組和第三組的少數(shù)學(xué)生能夠添加合理信息，提出蘊(yùn)含統(tǒng)計(jì)思想的“判斷”類問(wèn)題．而在“書(shū)籍問(wèn)題”中，第一組的學(xué)生未能和其余兩組一樣，提出蘊(yùn)含統(tǒng)計(jì)思想的“判斷”類問(wèn)題．值得注意的是，在“書(shū)籍問(wèn)題”中，學(xué)生所提問(wèn)題的類型最豐富，特別是第三組的學(xué)生，在原有任務(wù)情境基礎(chǔ)上，開(kāi)辟新的視角，提出了涉及平均數(shù)概念理解和統(tǒng)計(jì)理解范疇的問(wèn)題．如根據(jù)題目給出的信息，學(xué)生提出求書(shū)籍的最高價(jià)，最低價(jià)等可能性問(wèn)題，蘊(yùn)含平均數(shù)沒(méi)有必要等于某個(gè)數(shù)據(jù)的“最值”類型問(wèn)題．

3.3 3組學(xué)生提出問(wèn)題的難度分布

研究以學(xué)生所提問(wèn)題解答所需的常規(guī)步驟作為題目難度的表征，學(xué)生所提問(wèn)題在各個(gè)難度值上均有不同程度的分布（見(jiàn)表5），簡(jiǎn)單和中等難度的問(wèn)題占到總體的70%以上．由此可見(jiàn)，雖然大多數(shù)學(xué)生能夠提出可解答的、恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問(wèn)題，但是難度值較高，思維挑戰(zhàn)度較大的問(wèn)題占比較少．除“成績(jī)問(wèn)題”外，各難度的占比依次遞減．這與已有研究結(jié)果一致，當(dāng)學(xué)生被要求提出3個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，他們更傾向于提出相關(guān)的平行問(wèn)題或鏈?zhǔn)絾?wèn)題．在“書(shū)籍問(wèn)題”中，明確要求提出3種類型問(wèn)題的第二組學(xué)生合理問(wèn)題的占比最高，其所提的較難問(wèn)題占比也高于其他兩組，表現(xiàn)較好．關(guān)于“成績(jī)問(wèn)題”，3組學(xué)生較難問(wèn)題的占比都超過(guò)25%，其原因可能在于“成績(jī)問(wèn)題”涉及信息的復(fù)雜性足以使學(xué)生不用補(bǔ)充條件就可以提出較難的問(wèn)題．

在“成績(jī)問(wèn)題”的第一個(gè)和第三個(gè)問(wèn)題上，3組學(xué)生所提問(wèn)題的難度與其對(duì)應(yīng)的引導(dǎo)語(yǔ)存在顯著相關(guān)關(guān)系（2=13.47，=0.036；2=22.4，=0.001），即針對(duì)不同的問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)，學(xué)生提出問(wèn)題的難度是不同的，第二種引導(dǎo)語(yǔ)的學(xué)生則問(wèn)題難度呈依次遞增趨勢(shì)，與引導(dǎo)語(yǔ)要求一致，第一種引導(dǎo)語(yǔ)和第三種引導(dǎo)語(yǔ)的學(xué)生傾向于提出簡(jiǎn)單難度的問(wèn)題，中等難度和較難難度的問(wèn)題占比比較均衡，但第一組學(xué)生較難問(wèn)題的占比高于第二組．在“書(shū)籍問(wèn)題”的第一個(gè)問(wèn)題上，第一種和第二種引導(dǎo)語(yǔ)的學(xué)生更傾向于提出簡(jiǎn)單難度的問(wèn)題（2=14.82，=0.022）；在第三個(gè)問(wèn)題上，第二種引導(dǎo)語(yǔ)的學(xué)生更傾向于提出簡(jiǎn)單和較難難度的問(wèn)題，第三種引導(dǎo)語(yǔ)的學(xué)生更傾向于提出簡(jiǎn)單和中等難度的問(wèn)題（2=13.23，=0.04）．

3.4 不同問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)下學(xué)生的平均數(shù)理解程度情況

研究對(duì)3組問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)下學(xué)生的平均數(shù)理解程度做了統(tǒng)計(jì)（見(jiàn)表6），分析不同問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)對(duì)他們概念理解程度的影響．卡方分析表明，在“成績(jī)問(wèn)題”和“書(shū)籍問(wèn)題”，不同問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)下學(xué)生的平均數(shù)理解程度存在顯著差異（2=13.68，=0.008；2=18.52，=0.001）．在“成績(jī)問(wèn)題”中，第三種引導(dǎo)語(yǔ)的學(xué)生處于平均數(shù)統(tǒng)計(jì)性概念理解階段的人數(shù)多于前兩種引導(dǎo)語(yǔ)的學(xué)生．在“書(shū)籍問(wèn)題”中，第一種引導(dǎo)語(yǔ)的學(xué)生處于平均數(shù)的算術(shù)程序性和概念性理解階段，第三種引導(dǎo)語(yǔ)的學(xué)生更注重平均數(shù)統(tǒng)計(jì)性概念理解．其原因可能為：在提出問(wèn)題過(guò)程中，學(xué)生要涉及編輯信息—選擇信息—理解信息—轉(zhuǎn)換信息4個(gè)部分[22]，“成績(jī)問(wèn)題”和“書(shū)籍問(wèn)題”更側(cè)重考察學(xué)生對(duì)信息的理解與轉(zhuǎn)換，對(duì)學(xué)生認(rèn)知要求高，最終導(dǎo)致3組學(xué)生在這兩個(gè)平均數(shù)任務(wù)情境中的理解程度存在顯著差異．此外，第三種引導(dǎo)語(yǔ)的挑戰(zhàn)對(duì)象是同學(xué)，學(xué)生更愿意提出多樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題．

表6 學(xué)生的平均數(shù)理解程度占比情況

總體而言，3組學(xué)生在平均數(shù)算術(shù)程序性理解和算術(shù)概念性理解上的表現(xiàn)優(yōu)于在平均數(shù)統(tǒng)計(jì)性概念理解上的表現(xiàn)．大部分學(xué)生掌握了平均數(shù)的算術(shù)程序性理解和平均數(shù)的算術(shù)概念性理解，熟悉“相加并除”這樣類似平均分的算法，也可以靈活使用平均數(shù)算法解決復(fù)雜的平均數(shù)任務(wù)情境，但其發(fā)展水平并不同步[23]．如“書(shū)籍問(wèn)題”著重考查學(xué)生對(duì)平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)性概念理解，需要學(xué)生理解10本書(shū)的平均價(jià)格是代表這10本書(shū)的一個(gè)數(shù)據(jù)，不一定每一本書(shū)的價(jià)格都是平均價(jià)格．對(duì)于大部分學(xué)生而言，基于已有條件，僅能提出“10本書(shū)的總價(jià)是多少”這類涉及平均數(shù)的算術(shù)程序性理解的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這也說(shuō)明學(xué)生對(duì)于平均數(shù)的算術(shù)概念性理解和統(tǒng)計(jì)性概念理解程度不深．但也有學(xué)生提出“買10冊(cè)書(shū)需要多少元”這樣的問(wèn)題，他們用平均數(shù)代表數(shù)組（10本書(shū)），而非作為數(shù)組中的一個(gè)數(shù)（書(shū)的單價(jià)）．“幼崽問(wèn)題”中，部分學(xué)生掌握了平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，知道平均數(shù)具有一組數(shù)據(jù)集的代表性，可以作為典型值對(duì)幾組數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)．

4 研究結(jié)論及討論

4.1 小學(xué)生在平均數(shù)上具有較好的問(wèn)題提出表現(xiàn)

以262名六年級(jí)學(xué)生作為測(cè)試對(duì)象，初步調(diào)查六年級(jí)學(xué)生在不同引導(dǎo)語(yǔ)下的問(wèn)題提出現(xiàn)狀，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生在平均數(shù)方面的問(wèn)題提出表現(xiàn)較好，能夠提出貼合情境可解的數(shù)學(xué)問(wèn)題．在問(wèn)題得分維度，3組學(xué)生在圖文信息不夠豐富的“書(shū)籍問(wèn)題”上的表現(xiàn)均弱于另外3道測(cè)試題．第二種和第三種問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)的學(xué)生在“帽子問(wèn)題”情境至少能提出一個(gè)以上的正確的、可解答的數(shù)學(xué)問(wèn)題，甚至少數(shù)學(xué)生還能進(jìn)行拓展和創(chuàng)新．其原因可能是第二類和第三類引導(dǎo)語(yǔ)鼓勵(lì)學(xué)生提出簡(jiǎn)單、合理的問(wèn)題，且“帽子問(wèn)題”的信息更加豐富，對(duì)于不常接觸問(wèn)題提出的學(xué)生也容易入手．這與已有的同類研究結(jié)果一致，大多數(shù)小學(xué)生具有較高水平的問(wèn)題提出表現(xiàn)，說(shuō)明數(shù)學(xué)問(wèn)題提出在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、創(chuàng)新能力方面的作用越發(fā)得到重視，問(wèn)題提出也為學(xué)生問(wèn)題提出過(guò)程中發(fā)散思維、求異思維的運(yùn)用提供學(xué)習(xí)支撐[24]．

4.2 不同問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)顯著影響提出問(wèn)題的類型和難度

研究結(jié)果表明，問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)對(duì)學(xué)生提出問(wèn)題的類型和難度都存在顯著相關(guān)．根據(jù)平均數(shù)問(wèn)題提出表現(xiàn)的測(cè)試情況，結(jié)果表明，大多數(shù)學(xué)生能夠提出五花八門的問(wèn)題，但其問(wèn)題提出表現(xiàn)仍需進(jìn)一步提升．從類型來(lái)看，有超過(guò)40%的學(xué)生的思維停留在簡(jiǎn)單的運(yùn)算上，且他們提出的問(wèn)題類型多為“求和”“比較”“分配”，而“最值”和“表征”類問(wèn)題最少，說(shuō)明部分學(xué)生未能完全掌握平均數(shù)的意義，不太清楚可以用平均數(shù)描述和表征一組數(shù)據(jù)．在“成績(jī)問(wèn)題”和“書(shū)籍問(wèn)題”情境的第一個(gè)問(wèn)題，不同組的學(xué)生提出問(wèn)題的類型也不同，特別是第三組學(xué)生在“書(shū)籍問(wèn)題”所提問(wèn)題的類型比其他兩組學(xué)生的更豐富．原因可能是第三類引導(dǎo)語(yǔ)是挑戰(zhàn)同班同學(xué)回答，學(xué)生的積極性增強(qiáng)，更愿意對(duì)問(wèn)題進(jìn)行拓展，提出更加新穎的問(wèn)題．也可能是大多數(shù)學(xué)生只是通過(guò)改變某個(gè)條件提出了不同的問(wèn)題，部分同學(xué)甚至所提的問(wèn)題在難度或類型上完全沒(méi)有變化，導(dǎo)致學(xué)生所提問(wèn)題的類型在第一個(gè)問(wèn)題上差異明顯．

從所提問(wèn)題的難度來(lái)看，第一類引導(dǎo)語(yǔ)是以教師為提問(wèn)對(duì)象，旨在引導(dǎo)學(xué)生提出更高難度的數(shù)學(xué)問(wèn)題，第二類引導(dǎo)語(yǔ)直接規(guī)定問(wèn)題難度，將其劃分為簡(jiǎn)單、中等和較難3組難度，最后一類引導(dǎo)語(yǔ)則是以同班同學(xué)為對(duì)象，偏重引導(dǎo)學(xué)生提出更多合理的數(shù)學(xué)問(wèn)題．3類引導(dǎo)語(yǔ)的學(xué)生提出較難問(wèn)題的比例并不高，部分學(xué)生為了提問(wèn)而提問(wèn)，出現(xiàn)低水平的重復(fù)；另一方面，雖然學(xué)生都積極參與問(wèn)題提出，注重問(wèn)題的新穎性，但是部分問(wèn)題欠缺信息，屬于不可解的問(wèn)題．通過(guò)3組比較，分析問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)對(duì)不同學(xué)生所提問(wèn)題的影響程度．研究發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)在“成績(jī)問(wèn)題”“書(shū)籍問(wèn)題”的第一個(gè)和第三個(gè)問(wèn)題上對(duì)學(xué)生所提問(wèn)題難度的影響更為顯著．可能的原因主要有兩個(gè)方面：一是引導(dǎo)語(yǔ)涉及對(duì)象不同，學(xué)生預(yù)設(shè)的問(wèn)題難度也不同；二是難度較大的問(wèn)題需要更多的思考時(shí)間，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知要求更高，差異也就更為明顯；三是問(wèn)題情境本身具有一定的難度，且這些難度具有差異性和特定性．其中，“成績(jī)問(wèn)題”和“書(shū)籍問(wèn)題”不僅需要學(xué)生理解信息，還需要合理編輯與選擇信息，對(duì)他們來(lái)說(shuō)難度較大．研究結(jié)果表明，盡管3組問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)都有利于引導(dǎo)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，但更具體的要求可以促使學(xué)生更多地思考問(wèn)題提出的情況，從而使他們進(jìn)行更深入的數(shù)學(xué)思考．

4.3 較復(fù)雜問(wèn)題情境中問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)顯著影響學(xué)生的平均數(shù)理解程度

在4個(gè)任務(wù)情境中，部分學(xué)生提出了錯(cuò)誤問(wèn)題，但可以通過(guò)其余的數(shù)學(xué)問(wèn)題評(píng)估其對(duì)于平均數(shù)的理解．卡方分析表明，在“成績(jī)問(wèn)題”和“書(shū)籍問(wèn)題”，不同問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)下學(xué)生的平均數(shù)理解程度存在顯著差異．第三種引導(dǎo)語(yǔ)的學(xué)生對(duì)平均數(shù)統(tǒng)計(jì)性概念理解程度優(yōu)于其他兩種引導(dǎo)語(yǔ)的學(xué)生．整體來(lái)看，3組學(xué)生所表現(xiàn)出的對(duì)平均數(shù)的算術(shù)程序性和概念性理解優(yōu)于對(duì)平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)性概念理解，但有很大比例的學(xué)生只停留在平均數(shù)的直接應(yīng)用上，主要集中在計(jì)算平均數(shù)或利用平均數(shù)求和．具體而言，第一組的學(xué)生多處于平均數(shù)的算術(shù)程序性理解和統(tǒng)計(jì)性概念理解階段，第二組的學(xué)生多處于平均數(shù)的算術(shù)程序性和算術(shù)概念性理解階段，第三組的學(xué)生多處于平均數(shù)的算術(shù)概念性理解和統(tǒng)計(jì)性概念理解階段．

5 結(jié)束語(yǔ)

問(wèn)題提出能夠幫助教師了解學(xué)生在平均數(shù)概念理解的思維過(guò)程，結(jié)合研究結(jié)論及已有文獻(xiàn)[25-28]，得到以下啟示．第一，教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，應(yīng)注重設(shè)計(jì)多樣的問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)，創(chuàng)設(shè)“真實(shí)”情境，引導(dǎo)學(xué)生利用已有數(shù)學(xué)信息進(jìn)行提問(wèn)，在課堂中培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題提出能力．第二，學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)重視對(duì)概念的意義的理解而非僅僅會(huì)計(jì)算．第三，不同問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)的作用不同，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生具體情況選擇合適的問(wèn)題提出引導(dǎo)語(yǔ)，對(duì)于基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生，可以側(cè)重于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)事實(shí)或提出預(yù)答式數(shù)學(xué)問(wèn)題或引導(dǎo)學(xué)生提出疑惑式數(shù)學(xué)問(wèn)題．對(duì)于中等學(xué)生或?qū)W優(yōu)生，則引導(dǎo)他們提出各種各樣難度不同的問(wèn)題，提升信息提取能力和創(chuàng)新能力．此外，引導(dǎo)學(xué)生之間互相進(jìn)行問(wèn)題提出，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維以及提高學(xué)生的問(wèn)題提出能力．

研究定量分析六年級(jí)學(xué)生在不同引導(dǎo)語(yǔ)下的平均數(shù)問(wèn)題提出表現(xiàn)，彌補(bǔ)了當(dāng)前問(wèn)題提出實(shí)踐研究的些許不足，為一線教師開(kāi)展問(wèn)題提出教學(xué)、評(píng)估學(xué)生概念理解提供了參考，但仍然存在一定的局限性．第一，由于研究者將測(cè)試時(shí)間限定為40分鐘，出現(xiàn)了部分學(xué)生尚未提出問(wèn)題的情況，不能完全確定學(xué)生缺乏對(duì)平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)性概念理解．第二，樣本選取有一定局限性，因而所得結(jié)論可能并非對(duì)所有學(xué)生都適用．第三，樣本來(lái)自6個(gè)班級(jí)，其任課教師不同，可能會(huì)影響學(xué)生的問(wèn)題提出表現(xiàn)．為彌補(bǔ)以上研究的不足，未來(lái)還可在原來(lái)測(cè)試卷的基礎(chǔ)上對(duì)問(wèn)題數(shù)量或者測(cè)試時(shí)間進(jìn)行完善和改進(jìn)．例如，當(dāng)減少任務(wù)情境數(shù)量或者延長(zhǎng)測(cè)試時(shí)間時(shí)，掌握平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義的人數(shù)是否會(huì)增加．此外，在今后的研究中，也會(huì)直接對(duì)不同地區(qū)、不同學(xué)校的教師和學(xué)生進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)，以檢驗(yàn)引導(dǎo)語(yǔ)在問(wèn)題提出教學(xué)中對(duì)學(xué)生平均數(shù)理解的影響效果．

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[28] ZHANG L, CAI J, SONG N, et al. Mathematical problem posing of elementary school students: The impact of task format and its relationship to problem solving [J]. ZDM, 2022, 54 (3): 497-512.

Impact of Prompts on the Performance of Elementary School Students’ Mathematical Problem Posing Involving Arithmetic Average

CHEN Ting1, 2, SUN Qi-qi2, CAI Jin-fa3

(1. Center for Basic Education, Southwest University, Chongqing 400715, China;2. Faculty of Education, Southwest University, Chongqing 400715, China;3. The Department of Mathematics, University of Delaware, Delaware Newark 19716, USA)

Problem posing can be used as an assessment tool to diagnose students’ understanding of mathematical concepts, with problem-posing prompts also related to the diagnostic results of problem posing. To investigate the impact of prompts on elementary school students’ problem-posing performance, using average as an example, three sets of problem-posing tasks with different prompts were designed, and 262 sixth-grade students from a public elementary school were randomly selected as test subjects. The impact of the prompts on the students’ problem-posing performance was analyzed according to four aspects: quantitative scoring on posed problems, types of problems posed, difficult levels, and degree of conceptual understanding. It was found that the most of students are able to pose problems related to arithmetic averages, and the problem-posing prompts significantly affected on the content nature and difficulty of the students’ posed problems. In the more complex problem situations, the problem-posing prompts significantly affected students’ understanding of arithmetic averages.

problem posing; problem-posing prompts; arithmetic average

G623.5

A

1004–9894（2023）05–0028–07

陳婷，孫琪琪，蔡金法．引導(dǎo)語(yǔ)對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題提出表現(xiàn)的影響——以平均數(shù)為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2023，32（5）：28-34．

2023–08–21

國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金“十四五”規(guī)劃2022年度教育學(xué)一般課題——藏族學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為投入測(cè)評(píng)模型構(gòu)建及應(yīng)用研究（BMA220221）

陳婷（1974—），女，甘肅莊浪人，教授，博士，博士生導(dǎo)師，主要從事民族教育、數(shù)學(xué)教育研究．蔡金法為本文通訊作者．

[責(zé)任編校：張楠、陳雋]