用“問題提出”診斷和評估數學教師對百分數的概念性理解

孫 枚，李 欠，王 濤，王 欣，蔡金法

用“問題提出”診斷和評估數學教師對百分數的概念性理解

孫 枚1，李 欠2，王 濤3，王 欣4，蔡金法5

（1．天津市河西區教師發展中心，天津 300203；2．天津市河西區平山道小學，天津 300074；3．塔爾薩大學 教育系，俄克拉荷馬 塔爾薩 74104；4．天津市河西區上海道小學，天津 300204；5．特拉華大學 數學系，特拉華 紐瓦克 19716）

通過對99名不同背景的教師有關百分數問題提出和問題解決表現的分析，發現絕大部分教師能解答簡單的百分數問題．對于復雜的百分數問題，教師的問題解決明顯受他們背景的影響．雖然教師的問題提出和問題解決能力存在著高度相關，但是絕大部分教師無論他們的背景以及問題解決能力如何，都能提出難度不同的百分數數學問題，并顯示不同層次的百分數概念理解．相較于問題解決，問題提出更能全面地顯示教師對百分數概念理解的光譜．對教師所提問題的進一步分析顯示，絕大部分教師對百分數的理解還局限于比的概念維度．

問題提出；問題解決；百分數；教學評估；教師培訓

近年來，問題提出的重要性越來越受到世界各國的關注和重視[1]．過去30年的研究已經累積了相當多的證據支持問題提出不僅可以促進學生學習，還能培養創新能力[2]．《義務教育數學課程標準（2022年版）》將“發展運用數學知識與方法發現、提出、分析和解決問題的能力”作為核心素養導向的課程目標的一部分[3]，特別強調問題提出教學的重要性，并認為這會直接影響到學生數學素養的培養．而教師作為基礎教育改革中重要的有生力量，其“問題提出”能力及“問題提出”的教學經驗是培養學生“問題提出”能力的重要前提[4]．然而目前教材中含有的問題提出的教學活動并不多[5]，這導致教師在將“問題提出”教學融入課堂時會面臨巨大挑戰．因而在教師培訓中，更需要為教師提供感受問題提出過程的機會，讓他們看到問題提出的優勢，以幫助其設計實施有效的問題提出教學．基于這樣的需求，研究采用百分數問題來考察教師在問題提出和問題解決中的表現，以期了解不同背景的教師對百分數概念的理解以及他們問題提出和問題解決能力之間的關系．

1 理論基礎

為了讓學生在學習中順利理解數學概念，教師自己必須對數學概念有扎實的理解[6]．與此同時，教師還需要把握學生的知識水平和思維狀態，這樣他們才能更好地在課堂里為學生提供有效的學習機會．過去的研究已經明確指出問題提出對教師了解把握學生數學思維的獨特作用．例如，Cai和Hwang指出，問題提出是了解學生數學思維和理解的一扇窗戶[7]．Ticha和Hospesova發現教師的問題提出能力與其對數學概念的理解程度存在顯著相關性，問題提出既可以作為了解學生和教師對數學概念的理解類型和程度的手段，也可以促進他們對數學概念的理解[8]．

目前，有關用問題提出診斷學生和教師數學概念理解的研究還比較有限．宋乃慶等用問題提出測試了321名五年級學生對平均數概念的理解，發現：學生在平均數任務情境下能夠提出較多的合理數學問題，隨著要求難度的提升，學生所提數學問題更加新穎和復雜[9]．Yao，Huang和Cai（2021）的研究關注的是職前教師對分數除法的理解，研究發現：雖然幾乎所有的職前教師都能做對分數除法的數學問題，但是他們的問題提出卻顯示他們對分數除法的理解非常局限，這項研究體現出問題提出比問題解決在診斷評估教師的數學理解上存在一定的優勢[10]．姚一玲等（2019）用問題提出調查了在職教師對分數除法的理解，發現：在職教師對分數除法意義的概念性理解較為缺乏；職稱越高的教師對分數除法概念的理解越好，但是仍然有一半以上的教師對分數除法的概念是程序性理解[11]．總體而言，如何用問題提出來探究教師或學生對重要數學概念的理解這一重要課題尚需要更多的研究投入．

近年來，問題提出與問題解決之間的關系也是學界研究的熱點，第14屆國際數學教育大會（ICME-14）設置了“問題提出與問題解決”主題研究小組（TSG17），在強調問題解決研究重要性的同時凸顯問題提出的教育價值[12]．因此，對于教師問題提出與問題解決的表現以及兩者間內在聯系的研究，有助于深入考察教師的思維過程及其概念性理解．

眾所周知，百分數是小學數學的一個重要概念．《義務教育數學課程標準（2022年版）》中百分數有了新變化，從原來的“數與代數”領域移至“統計與概率”領域，百分數將作為表達統計量的一種形式，凸顯其統計意義[3]．在義務教育階段強調發展學生數據分析觀念，強化統計教育，合理進行統計教學成為各國課程改革關注的熱點課題[12]．百分數作為重要的統計概念，其內涵十分豐富，Parker和Leinhardt（1995）認為百分數至少有5個方面的含義：數、比、比率、統計量和算子，而教師對這5方面含義的理解會直接影響他們能否有效執教百分數[13]．同時，以往研究表明，教師的數學概念理解在問題提出中扮演極為重要的角色，Isik和Kar（2012）發現教師如果缺乏足夠的概念理解會直接有礙于他們的問題提出[14]．然而，有關用問題提出診斷學生和教師的數學概念理解的研究還有待進一步加強，目前并沒有研究采用問題提出這一特殊的研究手段來探究教師對百分數這一重要概念的理解．研究旨在通過對如下問題的考察，對現有文獻做出獨特的貢獻：（1）教師在百分數問題提出上的表現；（2）教師在百分數問題解決上的表現；（3）教師在百分數問題提出和問題解決上的表現呈現的關系；（4）教師背景與教師在百分數問題提出和問題解決表現之間的關系．

2 研究方法

2.1 研究對象

調研地區共有小學數學教師七百余名，研究者借助當地的教師研修活動，隨機抽取了其中的99名小學數學教師參加此次問卷調查．這99名教師的背景信息如表1所示，研究者分別從職稱、教齡、執教百分數的次數進行了統計．

表1 研究對象的背景信息

2.2 調查工具

此次調查共包含3道測試題，分成兩張問卷完成，且均為紙筆測試．研究者要求每位參與調查的教師現場完成兩份問卷．問卷一包含一道測試題[15]；問卷二包含兩道測試題．

【問卷一】

1．根據下面的兩個數和百分數的符號，提出4個難度不同的用百分數解決的數學問題．

40 50 %

a．簡單問題

b．中等問題

c．偏難問題

d．較難問題

注意：只需要提出數學問題，不用解答．

【問卷二】

1．在星期六售出的雪糕中，有40%是巧克力味．在星期天售出的雪糕中，有50%是巧克力味．于是淘氣說，雪糕店在星期天售出的巧克力雪糕比在星期六售出的巧克力雪糕多，因為50%比40%大．淘氣說得對嗎？請說明理由．

2．張華在2019年初因為工作表現出色，工資上漲8%；2020年初由于受到新冠疫情的影響，工資下降8%．

（1）張華2020年的工資與2018年的工資相比，哪一年的工資多？多多少個百分點？請詳細解釋你是怎么得到你的答案的．

（2）張華2020年的工資與2018年的工資相比，哪一年的工資少？少多少個百分點？請詳細解釋你是怎么得到你的答案的．

問卷一是圍繞“40、50、%”3個信息，提出4個難度逐漸提升的數學問題，即：簡單問題、中等問題、偏難問題、較難問題．問卷二是解決百分數相關問題．因問卷二的第1題涉及問卷一中的“40、50、%”3個信息，為避免問卷二對問卷一產生提示作用，研究者將兩份問卷分別下發，即：先下發問卷一，當全體教師完成問卷一后，將問卷一全部收回，再下發問卷二．另外，為保證測試結果的準確性，消除教師對問卷結果影響自身發展的顧慮，調查采取不記名的方式進行．

2.3 數據編碼及分析

問卷一是關于百分數“問題提出”的調查．圍繞“40、50、%”3個信息提出用百分數解決的數學問題將會覆蓋很多內容．因此，對調查結果進行細致編碼，圖1總結了研究中開發和使用的編碼方案．

圖1 提出問題數據編碼方案總結

首先，將教師們提出的問題分成“情境相關問題”和“情境無關問題”．所謂“情境相關問題”是指：在“40、50、%”3個信息中，使用“%”和至少一個數據（40或50）提出的問題．否則是“情境無關問題”．

接下來，將“情境相關問題”分成“能解答的問題”和“不能解答的問題”．不能解答的問題是指缺乏足夠信息，或者提出與給定信息不兼容的問題．如：“已知兩瓶鹽水的質量，含鹽量是40%和50%．求兩瓶鹽水中鹽的質量．”這道題，雖然教師指出“已知兩瓶鹽水的質量”，但兩瓶鹽水的質量具體是多少未呈現，由于題目信息的不完整導致問題不能解答．又如：“一班有40人參加興趣小組，比另一個班多50%．另一個班有多少人參加？”這道題，根據問題列出的算式是40÷(1+50%)，通過計算發現，計算結果不是整數，與“人數”情境不符．因此，類似這樣的題目被視為“不能解答的問題”．

將“情境無關問題”分成“一般性描述”和“不含相關信息的問題”．一般性描述是指教師描述了百分數知識的類別（如圖2）．不含相關信息的問題是指屬于百分數問題，但未使用“40、50”任意一個數據的問題（如圖3）．

圖2 一般性描述

圖3 不含相關信息的問題

最后，又將能解答的數學問題分成“需要運算解決的問題”和“不需要運算解決的問題”．不需要運算解決的問題指涉及百分數的讀法、意義、比大小等問題，如：“40%讀作什么？”“40%表示什么意思？”這些問題在解決的過程中不需要運算就可以解決．對于需要運算解決的問題按解決問題的步驟進行細分，編碼的典型類型及示例見表2．

在按步驟細分的過程中，為了實現最終計算步驟的一致性，制定以下3條原則．一是，采用算術解法計算步驟．如“一杯糖水重50g，糖占40%．再添多少克糖，使糖占50%？”解決此題通常會出現方程和算術的不同解法（如圖4），為體現統計的一致性，研究者按照算術解法計算步驟，最終計為5步．二是，采用解決問題的最簡方案計算步驟．如“一本書有100頁，已經讀了其中的40%．再讀剩下的50%．還剩多少頁沒讀？”解決這道題通常會有3種方法（如圖5）．方法一和方法二列出的都是綜合算式，但解題思路不同，方法一是先統一參照標準，再求剩余的頁數，需要5步完成；方法二是先求第一次讀完剩余頁數，再求第二次讀完剩余頁數，只需4步完成．方法三和方法一解題思路相同，都是先統一參照標準，再求剩余頁數，但方法三列出的是分步算式，4步即可完成．綜合以上3種方法，依據采用解決問題的最簡方案計算步驟，最終計為4步．三是，解決問題“不跳步”．如“有甲、乙兩桶油，甲桶油有40千克，如果乙桶倒給甲桶50千克，兩桶油就同樣多了．原來甲桶油比乙桶油少百分之幾？”解答這道題常會出現兩種方法（如圖6）．方法一，由題目信息“如果乙桶倒給甲桶50千克，兩桶油就同樣多了”，可以推斷出甲、乙兩桶油相差的是“50×2”千克，因此在求兩桶油的差時，舍去了用甲桶油的重量加上“50×2”，再減甲桶油的重量的過程，即跳過了“加40”和“減40”的步驟，此方法共計3步完成．方法二，則是將求兩桶油的差的過程完整表達出來，共計4步完成．因此，基于解決問題“不跳步”的原則，此題最終計為4步．

表2 按步驟編碼的類型及典型示例

綜上，基于小學階段四則混合運算原則不超過3步，因此，在實際教學中解決以上的題目也就通常采用綜合與分步算式相結合的方法解決問題．

圖4 方程和算術解法

圖5 3種解題方法

圖6 2種解題方法

問卷二是關于解決百分數問題能力的調查．第1題包含兩問，第一問是判斷題，只有對與錯兩種結果；第二問是基于第一問判斷的結果進行說理，只區分說明的理由合理與不合理．第2題包含兩道小題，每道小題均有連續性的3問，總計是6個小問題．兩道小題之間有較強的關聯性，都是將2020年工資與2018年工資進行比較，然后追問“誰多（少）？多（少）多少個百分點？詳細解釋你是怎么得到你的答案”．這道題共考查了解決百分數問題的兩個知識點．一是比較兩年工資的多少，是對被調查者轉化單位“1”的能力進行考查．因為要想比較2020年工資與2018年工資，就需借助“2019年上漲了8%”和“2020年下降了8%”這兩條信息，將2020年和2018年建立聯系，即：設定2018年為“1”，2020年就是1×(1+8%)×(1-8%)=99.36%，1>99.36%，所以2018年多，2020年少．另一個是求誰比誰多（少）幾個百分點，這是對被調查者解決“求一個數比另一個數多（少）百分之幾”問題的能力考查．研究將第2題的解答分為3類：第一類是完全正確（如圖7）；第二類是部分正確，被調查者僅能正確解釋2018年和2020年工資誰多誰少的問題，即兩道小題的第1問，未能解決多（少）多少個百分點的問題（如圖8）；第三類是完全錯誤（如圖9）．

圖7 完全正確舉例

圖8 部分正確舉例

最后，確定編碼方式后，99份試卷由兩位參與研究的教師分別進行編碼，兩份問卷的編碼一致性達到95%以上．

3 研究結果

3.1 教師在問題提出上的表現

3.1.1 教師提出問題的數量

在調查中，99位教師共提出364個問題，教師提出問題的數量是要求提出問題總量（每人4個問題，共計396個問題）的91.9%．全部教師都能至少提出2個問題，77.8%的教師能提出4個問題．說明大部分教師都能按照要求提出4個問題．

表3是教師在問題提出數量上的表現．教師提出的問題中，有88.2%是情境相關問題，11.8%是情境無關問題．在情境相關問題中，有80.2%是需要運算解決的問題，有6.9%是不需要運算解決的問題（即：百分數的讀法、意義、比大小等），不可解決的問題僅有1.1%．顯然，絕大部分教師提出的問題是需要運算解決的問題．相較于百分數的意義、讀法等基本概念性問題，他們更加關注百分數在數量關系層面的問題．在情境無關問題中，有10.4%屬于一般性描述，不含相關信息的問題僅有1.4%．這38個一般性描述問題來自13位教師，其中有9人未執教過百分數，而8人都是教齡低于5年的青年教師．由此可見，沒有執教百分數的經歷會導致教師對百分數概念本身產生困惑，他們往往只能從知識的類別這個角度提出一些問題，如定義、比大小、計算、解決問題等，而不能結合情境提出相應的、有意義的數學問題．

表3 教師提出問題數量的表現

3.1.2 教師提出問題的難度

從問題整體看，“情境相關問題”中“能解答的問題”共有317個，按照問卷一對問題提出的要求和運算步驟進行編碼并統計．為了實現對全部能解答的問題進行分析，將不需要運算的問題記作0步，最終形成表4．

表4 教師提出問題難度的表現

通過表4可以看出，一步運算解決的問題數量最多，幾乎是所有問題的一半；其余的問題隨著解決問題步驟的增加，數量在逐步減少．由此可以看出，教師在提出問題時有意識地區分問題的難度，努力達到自己心目中的簡單、中等、偏難、較難4個梯度．基于此，將教師提出問題的難度與解決問題的步驟進行綜合分析，按照問題難度（簡單、中等、偏難、較難），依次計算出每一類問題的平均步驟和方差．以簡單問題為例，教師提出15個不需要運算解決的問題，68個需要一步運算解決的問題，2個需要兩步運算解決的問題，在總共85個問題中，平均每個問題所需的步驟為0.85，即(15×0+68×1+2×2)÷85=0.85．而其它3類問題的平均步驟分別為1.53、1.71、2.38．方差分析檢驗顯示不同難度的問題其平均解題步數存在非常顯著的差異，(3, 302)=52.30，<0.001．也就是說難度越大，解題步數越多．由此可以看出，教師在提出4個難度不同的問題時，有意識將解決問題的步驟作為區分問題難度的一個標準．

3.1.3 教師提出問題類型和涉及百分數意義的表現

將“需要運算的問題”從問題類型、百分數的意義和百分數的應用看，主要涉及以下8種類型（如表5），其中91.4%的問題都是圍繞百分數的意義和應用展開．排在前三位的是“一個數是另一個數的百分之幾”“一個數比另一個數多（少）百分之幾”“求一個數的百分之幾是多少”，分別為30.9%、24.5%和19.8%．“已知一個數的百分之幾是多少，求這個數”和“已知比一個數多（少）百分之幾是多少，求這個數”，這兩類逆向問題占比較低，分別為5.0%和1.8%．由此可以看出，當教師們主動提出問題時，更偏向提出正向思考的題目，對逆向思考的題目關注較少．

表5 教師提出問題類型的表現

3.1.4 教師提出問題涉及百分數意義的表現

根據Parker和Leinhardt（1995）對百分數的內涵界定[13]，百分數至少有5個方面的含義：數、比、比率、統計量和算子5種不同的意義．用百分數5方面的意義，對317個“情境相關問題”中“能解答的問題”進一步分類，計算每種意義下問題提出數量在317個問題中所占百分比，形成表6．例如：1.6%是5除以317得到的．

表6 教師提出問題涉及百分數意義的表現

基于表6的數據可以發現：教師提出的問題涉及了數、比和統計量3種意義，其中90.9%的問題都體現了百分數作為比這一維度的意義；7.6%的問題體現了百分數作為數的意義，如：“40%轉化為小數是多少？”“40%和50%，誰大誰小？”“40%+50%=？”等；只有1.6%的問題將百分數作為統計量的意義展現出來，如：“一只股票9日價值100元，10日上漲40%，11日下降50%．11日價值幾元？”在這個問題中的40%和50%表示出兩個獨立量的相對大小關系，體現了百分數的統計量意義．而沒有問題涉及百分數作為比率和算子這兩個維度的意義．

3.2 教師在問題解決上的表現

數據表明，幾乎所有教師都能正確回答問卷二中的第1題，只有一位教師因為沒寫導致錯誤．其他教師都能進行正確判斷，并且可以說出錯誤原因，即：由于雪糕店周六、周日賣出的雪糕總量不知道，因此50%與40%是無法比較的．由此可以看出，教師們知道50%和40%是兩個“比”，不可以當成兩個數量進行比較，若要比較，必須還要考慮50%與40%的參照量，也就是雪糕店周六、周日賣出的雪糕總量．

表7為問卷二第2題的解答情況，全部正確率為26.3%，部分正確率為60.6%，全部錯誤率為13.1%．部分正確是指教師能正確比較2018年和2020年工資的多少，并給出合理的解釋．基于這組數據和前面編碼可以看出，86.9%的教師都具有轉化單位“1”的能力，知道信息中兩個8%表示的是兩個量的比，且知道兩個比的參照量是不同的，第一個8%是2019年工資增長額與2018年工資額的比，第二個8%是2020年減少的工資額與2019年工資額的比．因此，當兩個參照量不同時，兩個8%不能簡單地相互抵消．要想比較2018年和2020年的工資額，就需要把前面的兩個8%進行轉化參照量，轉化成2018年和2020年工資額的比，才可以依據“比”比較兩年工資額的多少．

表7 問卷二第2題解答情況

第2題中部分正確的教師均在比較多（少）幾個百分點時出現錯誤．其中27.3%的教師直接列出算式“1-99.36%=0.64%”，得到2018年比2020年多0.64個百分點．這部分教師簡單認為“1”和“99.36%”兩個數據單位“1”相同，可以直接相減，反而忽略了解決“一個數比另一個數多（少）百分之幾”問題時，要重新確立參照標準．其中13.1%的教師雖然意識到了要重新確立參照標準，但可能受到了語言的誤導，在追問“多多少個百分點？”時，列出的算式是(1-99.36%)÷1．這部分教師受到了“多多少個百分點”的誤導，于是就用“多的”作為了參照標準，導致了解決“多（少）幾個百分點”最終錯誤．

3.3 問題提出與解決問題之間的關系

基于表8中的數據，按照解決問題3類情況進行分析，能提出4個問題的依次為92.4%、86.6%和69.2%．對數據進行相關性分析，進一步印證教師在問題提出和問題解決表現上呈現顯著性相關（2=5.194，<0.001）．即解決問題能力越強的教師問題提出能力也越強，反之解決問題能力弱的教師問題提出的能力也比較弱．

卡方檢驗顯示教師提出問題的數量和解決問題的能力并沒有顯著關聯（2(4,=99)=5.19，=0.268）．也就是說教師問題提出的能力并不受限于他們的問題解決能力．無論教師的問題解決能力如何，他們中絕大部分教師都能提出4個問題（見表8）．即使在問題解決中完全錯誤的教師，仍有近70%的人能按要求提出4個難度不同的問題．

表8 教師問題提出數量與問題解決情況對比

注:表示解決問題的人數，表示問題提出的人數．

對問題解決全部錯誤的13名教師所提出的46個問題進行進一步的分析，發現有10位教師提出了30個與情境相關且能解答的數學問題．再次將這30個問題按步驟進行匯總，形成表9．表9中的數據顯示，按照問題難度的4個級別平均的步驟為0.63、1.3、1.5、2，也是符合隨著問題難度的增加，解決問題的平均步驟也在逐步增加這一特點．甚至有一名教師提出有一個需要4步才能解決的問題：“一只股票9日價值100元，10日上漲40%，11日下降50%．11日價值幾元？”這一問題不僅需要多步驟的運算，還需要解答者能理解百分數有時會對應不同的單位“1”這一復雜的概念．這一問題甚至涉及了絕大部分教師都沒有涉及的百分數統計量的含義（見表9）．由此可見，問題解決能力不足的教師仍有機會提出概念復雜的好問題．

表9 解決問題完全錯誤教師問題提出的表現

接下來，進一步對提出2個問題和3個問題的樣本進行分析．22位教師提出56個問題，其中96.4%的問題為能解答的數學問題，提出2個問題的10名教師全部是能解答的數學問題，且兩個問題的運算步驟上呈現明顯的梯度；提出3個問題的12位教師，提出的問題中只有一個是與信息相關但不可解答的問題，絕大部分教師能夠提出與情境相關且能解答的數學問題，提出的問題在運算步驟上呈現出良好的梯度．由此可見，即使有的教師不能按要求提出4個問題，但他們仍能提出有價值的數學問題．或許因為問題提出比問題解決能夠提供更大的思考空間，更能調動教師積極思考提出不同難度的數學問題．但是他們對百分數概念理解的局限性仍可能會影響到提出難度不同的4個問題．因此，較之問題解決，問題提出可以更加細致全面地揭示教師對百分數概念理解的光譜，并且可以更好地促進每一位被評價者的數學思考．

3.4 不同背景教師的問題提出與其解決問題之間的關系

通過對教齡和職稱的相關性分析發現，教師的教齡和職稱呈非常顯著的正相關（=0.731，<0.01），即教師的教齡越大，職稱也就相對越高，這與中國的教師評聘制度存在明顯的關系，也符合常規認識．由于教齡與職稱有顯著的相關關系，所以下面只討論不同職稱下教師的問題提出和問題解決情況，在必要情況下再追問教齡的相關性．

通過相關性分析發現：職稱無論是與問題提出還是問題解決都未呈現顯著性相關．針對問題解決，從教師職稱與其在問題解決上的表現可以發現，職稱越高的教師在解決百分數問題時全部錯誤率越低，也就意味著他們對百分數的理解越深刻．副高級教師解決問題能力最強，全部正確為41.7%，全部錯誤為0%；一級與二級及以下教師在解決問題上的表現可謂是旗鼓相當，但依然呈現出一級教師略遜色于二級及以下教師的現象．同時，還可以發現，不同職稱教師在問題提出和問題解決上的表現是一致的．副高級教師中能提出4個問題的百分比是3個群體中最高的（91.7%），這一群體教師在問題提出上呈現出了最好的水平；二級及以下教師（79.5%）在問題提出上的表現依然略優于一級教師（72.9%）．當下小學職稱結構中，能評上副高級的教師既有著豐富的教學經驗，更有著優秀的師德師風，他們是教師群體中的佼佼者，副高級教師在問題提出與問題解決中的優秀表現是情理之中．一級教師是小學教師群體中年齡跨度最大的，既有剛滿5年教齡的教師，又有教齡達到30年的教師；同時，在一級教師中還有一個現象，教齡越大原始學歷越低，教齡在25年以上的教師都是中師畢業，他們在數學專業知識的儲備方面呈現出了相對較弱水平．因此，從一定程度上可以說，教師問題提出或問題解決能力的表現是獨立于現有的教師職稱評級標準的．

鑒于一級教師年齡跨度比較大，從教齡的視角追問一級教師在問題提出和問題解決上的表現（見表10），研究發現一級教師隨著教齡的增長：在問題解決上，能力逐漸降低；在問題提出數量上，并未呈現明顯差異，其中教齡在10～25年的14位一級教師問題提出的平均數量（3.5）比其它教齡段的一級教師略少．但這14位教師提出的49個問題，均屬于需要運算的問題，每位教師的問題均呈現出了問題的梯度，說明大部分教師在提出問題時，不只是為了完成數量，更對問題的質量進行了考量．因此，在考察教師的問題提出能力時，不僅要關注問題提出的數量，還要關注問題提出的質量．

表10 不同教齡一級教師在問題提出與解決問題上的表現

4 討論

4.1 問題提出呈現出教師心中的百分數

百分數至少有數、比、比率、統計量和算子5種不同的意義（Parker，Leinhardt，1995）．通過對教師提出的問題進一步分析，發現教師心目中的百分數集中在數、比、統計量3種意義上，對比率和算子兩種百分數的意義沒有涉及．在全部問題中，只有極少數問題體現了百分數的數和統計量的意義，而絕大部分的問題都是作為兩個數的“比”來呈現的．如：只有5位教師在提出的問題中涉及了“40%和50%，誰大誰小？”將百分數作為一個數進行比大小；只有2位教師提出了關于統計量的問題，其中一個問題是“一只股票9日價值100元，10日上漲40%，11日下降50%．11日價值幾元？”在這個問題中的40%和50%表示出兩個獨立量的相對大小關系，體現了百分數的統計量意義．由此可以看出，教師對百分數的理解更多局限在“百分數表示一個數是另一個的數百分之幾”的基本認知中，缺少對百分數概念更多維度的了解．這和中國教材中主要強調百分數是比不無關系．目前的小學教材中，缺少理解百分數概念其它維度的情境素材，比如：即使教材在學習扇形統計圖時安排了用百分數進行刻畫，但大部分教師依然把百分數看作一個比，并沒有從百分數的統計意義去理解．而《義務教育數學課程標準（2022年版）》關于百分數有了新變化，將百分數的學習從原有的“數與代數”領域移至“統計與概率”領域，百分數將作為表達統計量的一種形式，凸顯百分數的統計意義．

4.2 問題提出中實現難度梯度

數據顯示，教師在圍繞“40、50、%”3個信息提出問題時，力求使提出問題的難度有梯度，實現“提出4個難度不同的用百分數解決的數學問題”的要求．那么，教師是怎樣實現這一目標呢？通過對每一位教師們提出的問題進一步分析，研究者發現，絕大部分教師通過百分數問題的不同類型體現問題的難度梯度，如：在簡單問題環節，有37位教師提出了“求一個數是另一個數的百分之幾”的問題；在中等問題環節，有33位教師提出“求一個數比另一個數多（少）百分之幾”的問題．解決兩種類型問題的步驟不同，第一類一步計算，第二類兩步計算．還有的教師通過變化問題，增加解決問題的步驟，體現問題的難度差異．如圖10，這位教師提出了4個問題，前兩個問題就是百分數問題的兩種類型，偏難問題和較難問題就是通過變換提問方式增加問題的難度．偏難問題是“求甲和乙的比”，而較難問題就需要求出甲和乙的比后，再進一步求甲比乙多百分之幾．

還有的教師借助變換題目中百分數的參照標準，將直接信息轉化為間接信息提高問題難度．

【示例】

偏難問題：有50塊糖，吃了它的50%，又吃了原來的40%，還剩多少塊？

較難問題：有50塊糖，吃了它的50%，又吃了現在的40%，還剩多少塊？

在偏難問題中的信息是“吃了原來的40%”，此時40%和50%的參照量都是50塊糖，因此可以用1直接減掉50%和40%，得到剩下部分的分率．在較難問題中的信息改為“吃了現在的40%”，此時50%的參照量是50塊糖，40%的參照量則是吃了50%后還剩的塊數，因此，在這個問題時，需要把40%的參照量轉化成和50%相同的參照量．這樣一來，問題的難度增加了一個級別．

圖10 提高問題難度示例

還有的教師采用增加信息來提高問題難度．

【示例】

偏難問題：一件商品降價50%后，是40元．求原價是多少元？

較難問題：一件商品降價50%后，又再一次降價40%，現價是40元．求商品的原價是多少元？

這位教師在偏難問題中，商品降價一次；在較難問題中，改為商品先后降價兩次．這樣通過增加一次降價，使問題的難度增加了一個級別．由此可見，這樣的問題提出要求可以激發教師不同認知水平的思考．而這樣的思考過程不僅可以促進他們對百分數概念的理解，同時也提供了一個全面評估他們對百分數概念理解的窗口．顯然，這樣層次豐富的教師概念理解能力很難在單一的問題解決過程中得以體現．

4.3 問題提出作為評價方式全面了解教師狀況

數據分析表明，教師對百分數概念的理解，在問題提出和問題解決上表現的相關性是顯著的．也就是說，和問題解決一樣，問題提出能夠幫助研究者了解教師對百分數的理解程度或類型．這不僅說明問題提出與數學理解相關，還表明了問題提出的能力與問題解決的能力具有顯著的相關性．

此外，問題提出能夠展現教師對概念更為豐富的理解．研究者發現，在能解答的數學問題中，既有百分數的基本概念性問題，如：“40%讀作什么？”“40%和50%，誰大誰小？”“40是50的百分之幾？”也有百分數的兩大類（6小類）基本問題，如：“50的40%是多少？”“50比40多百分之幾？”還有在此基礎上衍生出一些較復雜的問題，如：“一杯糖水重50 g，糖占40%．再添多少克糖，使糖占50%．”在這個提出問題的過程中，教師主動地對百分數進行更深層次的思考，在思考中展現了教師對百分數更多的理解．因此相較于問題解決，問題提出能幫助評價者或研究者更全面地了解教師或學生對百分數的理解程度或類型．所以，問題提出同樣可以作為一種教育評價的方式，只是與問題解決的評估角度有所不同．

另外，在傳統的基于問題解決的評價方式下，無法解決問題的學生只能得0分，教師無從知道其中原因．而問題提出卻能夠為學生提供表現自己的機會，讓教師了解學生對數學概念理解的程度，有助于教師根據學生存在的具體問題改進教學方法，進而實現教育評估和評價的真正目的．

除此之外，雖然多數教師都能按照要求提出問題，但問題提出的能力還有很大的進步空間．一方面從問題的嚴謹性看：有的教師提出的不是問題，只對問題的類型做了一般性的描述；還有的教師提出了與問題情境不兼容的問題，或者是由于信息不完整造成無法解答的問題；還有的教師提出了一些容易產生歧義的問題，如“40%比50%少多少？”這樣的問題就會產生兩種不同的理解，一種是求40%和50%的差，算式是50%-40%=10%；另一種是求40%比50%少百分之幾，算式是(50%-40%)÷50%=20%．另一方面從問題的難度梯度看：有些教師提出的問題在難度或類型上完全沒有變化，甚至問題的難度不符合難度梯度，停留在3個信息的關系變化上，并沒有涉及百分數更多的內涵．研究表明，教師可以通過學習來提高問題提出的能力[1]．

4.4 百分數問題解決和和問題情景語言表征的關系

進一步的分析顯示教師解決百分數問題的能力會受百分數問題數量關系的復雜性的語言表征的影響．通過前面的數據可以發現有73.7%的教師在問卷二的第2題解決“求多（少）百分點”時出現錯誤．從問卷二的第1題（正確率為99.0%）和第2題的第1小問（正確率為86.9%）．不僅如此，在教師提出的問題中，也有90.9%的問題都是涉及基本的“比”概念．可以看出，教師對百分數作為基本的“比”的概念是清晰的．然而當比的數量關系以及表達的語言更為復雜時，教師對百分比的概念理解和問題解決就會出現偏差．

百分數的本質是兩個數量倍數關系的表達，從量的角度分析，百分數既可以表示絕對意義的量，又可以表示相對意義的量．在表示相對意義的量時，不僅能表示部分與整體之間的倍數關系，還可以表示兩個獨立量之間的倍數關系．當百分數作為相對意義的量進行表達時，“相差多少個百分點？”承載了復雜的數量關系，具體是指兩個量的差除以其中的一個參照量，即“多多少個百分點”是兩個量的差除以較小量，反之，“少多少個百分點”則是兩個量的差除以較大量．如：問卷二第2題中“2019年上漲8%”就表達了2018年的工資額與2019年的工資額的關系，根據這個信息首先可以判斷出2019年的工資額多，2018年的工資額少．那么，2019年比2018年多多少呢？多8%．也就是2019年與2018年工資額的差除以2018年的工資額得到的．因此，“相差多少個百分點？”是一個較復雜的相對量，這也是理解百分數表示兩個量關系時的難點之一．

通過數據分析發現，有27.3%的教師把“求多（少）多少個百分點？”誤以為是求兩個量的差，把這個差看作了一個絕對量．其原因是受到了前面一問的影響，比較2018年和2020年工資額多少時，由于題目中兩個“8%”的參照標準不同，要想比較，就需要把2020年工資額轉化成以2018年工資額作為參照量．此時部分教師就誤以為2018年工資額的“1”與2020年工資額的99.36%是兩個絕對意義的量，可以直接相減．還有13.1%的教師雖然意識到了“求多（少）多少個百分點？”是一個相對量，但在選擇參照量上出現了問題，列出的算式是(1-99.36%)÷1，誤以為“多多少個百分點”就是用“多的”作為了參照標準．由此可以看出，百分數在表示兩個獨立數量的相對關系時，其語言表征方式也是造成意義理解的障礙之一．

[1] CAI J, HWANG S, JIANG C, et al. Problem posing research in mathematics: Some answered and unanswered questions [M] // SINGER F M, ELLERTON N, CAI J, et al. Mathematical problem posing: From research to effective practice. New York: Springer, 2015: 3-34.

[2] SINGER F M, ELLERTON N, CAI J. Problem-posing research in mathematics education: New questions and directions [J]. Educational Studies in Mathematics, 2013, 83 (1): 1-7.

[3] 中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022年版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2022：整體引用．

[4] 蔡金法，陳婷，孫琪琪．“問題提出”主題式培訓促進小學數學教師專業發展——專訪美國特拉華大學蔡金法教授[J]．教師教育學報，2022，9（5）：1-8．

[5] CAI J, JIANG C. An analysis of problem-posing tasks in Chinese and US elementary mathematics textbooks [J]. International Journal of Science and Mathematics Education, 2017, 15 (8): 1?521-1?540.

[6] CAI J, DING M. On mathematical understanding: Perspectives of experienced Chinese mathematics teachers [J]. Journal of Mathematics Teacher Education, 2017, 20 (2): 5-29.

[7] CAI J, HWANG S. Generalized and generative thinking in U.S. and Chinese students’ mathematical problem solving and problem posing [J]. The Journal of Mathematical Behavior, 2002 (21): 401-421.

[8] TICHA M, HOS PESOVA A. Developing teachers’ subject didactic competence through problem posing [J]. Educational Studies in Mathematics, 2013, 83 (1): 133-143.

[9] 宋乃慶，胡睿，蔡金法．用問題提出和問題解決測試小學生對平均數的理解[J]．數學教育學報，2020，29（3）：1-8．

[10] YAO Y, HWANG S, CAI J. Preservice teachers’ mathematical understanding exhibited in problem posing and problem solving [J]. ZDM, 2021, 53 (4): 937–949.

[11] 姚一玲，徐冉冉，蔡金法．用“問題提出”診斷和評估數學教師的概念性理解[J]．數學教育學報，2019，28（4）：30-36．

[12] 史寧中，張丹，趙迪．“數據分析觀念”的內涵及教學建議——數學教育熱點問題系列訪談之五[J]．課程?教材?教法，2008，28（6）：40-44．

[13] PARKER M, LEINHARDT G. Percent: A privileged proportion [J]. Review of Educational Research, 1995, 65 (4): 421-481.

[14] ISIK C, KAR T. The analysis of the problems posed by the pre-service teachers about equations [J]. Australian Journal of Teacher Education, 2012, 37 (9): 92-113.

[15] 王加明，蔡金法．用問題提出架起學生數學思考的空間——以“百分數”復習課為例[J]．小學數學教師，2021（3）：33-37．

Using Problem Posing to Diagnose and Assess Mathematics Teachers’ Conceptual Understanding of Percentages

SUN Mei1, LI Qian2, WANG Tao3, WANG Xin4, CAI Jin-fa5

(1.Hexi District Teacher Development Center, Tianjin 300203, China;2. Pingshan Road Primary School Hexi District Tianjin, Tianjin 300074, China;3. The Department of Education, The University of Tulsa, Oklahoma Tulsa 74104, USA;4. Shanghai Road Primary School Hexi District Tianjin, Tianjin 300204, China;5. The Department of Mathematics, University of Delaware, Delaware Newark 19716, USA)

Through analyzing the performance of 99 teachers’ problem posing and problem solving with percentages, this study found that the vast majority of the teachers could solve simple percentage problems. For complex percentage problems, teachers’ problem solving was related to their background: The greater the teaching experience, the higher was their success rate in solving complex percentage problems. With respect to teachers’ problem posing, most of the teachers, regardless of their background and problem-solving abilities, could pose percentage problems of various difficulty levels and demonstrated various levels of conceptual understanding of percentages. Compared to problem solving, problem posing can better reveal the spectrum of teachers’ conceptual understanding of percentages. Further analysis of the problems posed by teachers showed that most of the teachers’ understanding of percentages was still limited to the dimension of ratio rather than as statistics.

problem posing; problem solving; percentages; instructional assessment; teacher training

G623.5

A

1004–9894（2023）05–0008–09

孫枚，李欠，王濤，等．用“問題提出”診斷和評估數學教師對百分數的概念性理解[J]．數學教育學報，2023，30（5）：8-16．

2023–08–21

天津市教育科學學會“十四五”教育科研課題——提倡“數學問題提出”教學促進學生思維發展的實踐研究（JK1451197B）；西南大學引進人才計劃項目（SWU118118）

孫枚（1971—），女，天津人，高級教師，主要從事小學數學教育研究．蔡金法為本文通訊作者．

[責任編校：張楠、陳漢君]