初中幾何運動類題目解題實踐

王國鶴

【摘要】幾何運動類題目是初中數學的一種常見題目，在中考數學中也常常作為壓軸題出現.該類題目有一定的難度，主要考查學生對知識的綜合運用能力和邏輯推理能力.學生常常缺乏解題思路，甚至經過一些習題訓練后還是無法找到解題的技巧.基于此，文章對幾何運動類題目的解題的方法進行歸納和總結，以期幫助學生掌握這類題目的解題方法.

【關鍵詞】幾何；運動；作圖；技巧；解題實踐；初中數學

一、題干中特殊限定條件的標記

幾何運動類題目的題干一般較長，問題較多，學生在讀題時就應對一些特殊的條件做好標記，避免重復讀題或因遺漏一些重要條件導致思考方向不對.

例1 （2019·長春中考）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15.點P從點A出發，沿AC向終點C運動，同時點Q從點C出發，沿射線CB運動，它們的速度均為每秒5個單位長度，點P到達終點時，P，Q同時停止運動.當點P不與點A，C重合時，過點P作PN⊥AB于點N，連接PQ，以PN，PQ為鄰邊作？PQMN.設？PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S，點P的運動時間為t秒.

分析 1.這道題目中有兩個主動點，其中一個主動點的運動軌跡是較為常見的線段，而另一個主動點Q，它的軌跡是一條“射線”.這里射線的條件就需要做好標記，否則會影響后續的解題.

2.題干中對動點運動開始和結束的限定也要做好標記，這樣才能從宏觀上了解運動什么時候開始到什么時候結束，時間的取值是否包括運動軌跡的端點及清楚動點結束的位置在哪兒.

3.對于第（3）問中獨有的限定的條件：“四邊形”同樣需要做好標記，這樣會時刻提醒學生不要多解.

筆者在這里只對一些特殊的限定條件進行標記，其他的條件學生要學會根據自己的情況，酌情標記.

二、畫圖的技巧

幾何運動類題目的第（1）問常常容易解決，從第（2）問開始就需要學生畫圖來分析和解答問題，所以學會畫圖對于解決這類問題是至關重要的.

（一）根據題干中動圖的構成方式，再結合主動點及每一問特殊的限定條件進行畫圖

如例1第二問：這里的？PQMN為動點所形成的動圖，它的形成有一定的順序，首先需要找到主動點P，Q的位置：過點P作PN⊥AB，以PN和PQ為臨邊做？PQMN.在畫圖時一定要遵循這樣的順序，這樣才可以畫出能夠用來解題的圖.

此題的第二問的特殊限定條件為：？PQMN為矩形.若？PQMN為矩形，那么∠PNM必為90°.此時由∠ANP=90°，得A，N，M三點必然共線，故而可知直線AB和直線MN重合.又因為MN∥PQ，所以此時PQ∥AB.結合上述，便可以按順序作出第二問的答圖（圖2）.

（二）構圖時需考慮線段的長短比例關系

在作第二問答圖時，應考慮△ABC三邊長度為3∶4∶5的直角三角形.而P，Q位置確定有一個重要的條件需要考慮，就是無論運動過程中的何時，AP永遠等于CQ.

根據上述的方法以及結合條件的要求，就可以把第三問的二種不同情況的圖畫出來（圖3、圖4）.

對于第三種重疊方式并不符合第三問“重疊部分為四邊形”的要求（圖5）.

（三）畫運動過程中的特定圖形時，可用其他問題的圖形進行分析，不要過分追求一步成圖

根據例1第四問的條件，可得過P點且平行于BC的直線應先過MN的中點，再通過特殊位置圖（圖2）可以判斷當過P點且平行于BC的直線經過MN中點時，點M必在直線AB的下方.故而根據圖4，把P點向上、Q點對應的向下移動一點即可出第四問的第一種答圖（圖6）.

根據圖5繼續分析可知過P點且平行于BC的直線下一次將經過QM的中點，此時點Q必在B點的下方.故而可畫出第四問的第二種答圖（圖7）.

（四）從動點運動軌跡的重要性

1.如果題干當中出現了“對稱點”的條件，我們需考慮從動點的運動軌跡可能是個“圓”.

例2 （2021·長春中考）如圖8，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，點D為AC的中點.動點P從點A出發，沿折線AB-BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當點P不與點A，C重合時，連接PD.作點A關于直線PD的對稱點A′，連接A′D，A′A.設點P的運動時間為t秒.

（2）用含t的代數式表示線段BP的長；

（3）當點A′在△ABC內部時，求t的取值范圍；

（4）當∠AA′D與∠B相等時，直接寫出t的值.

此題中點A′為點P的從動點且是點A關于PD的對稱點，根據對稱點可知A′D恒等于AD，而點A和點D均為定點，即AD長度在運動過程中為一個定值，所以可以得知A′D長度也為一個定值.依據圓的定義，可以得出A′點的軌跡就是以D為圓心AD的長度為半徑的一個圓.畫出這道題的第三問和第四問的圖就比較簡單了（圖9、圖10、圖11、圖12）.

三、解題的技巧

幾何運動類問題主要考查學生綜合知識的運用能力、作圖能力、計算能力以及邏輯思維能力.上文提到了審題和作圖的一些技巧，接下來，總結歸納一些解題時的技巧.

（一）分析問題用相似的知識，作答時用三角函數的知識

在解幾何運動類問題時，可以利用三角形相似來分析問題.用相似三角形的知識可以快速找到圖中線段之間的關系，但是用相似三角形作答，答案顯得較復雜一些，所以可利用三角函數作答就會使答案變得簡單一些.

通過上面的分析，已經知道例1第三問有兩種情況，這里只應用第二種情況.

（二）輔助線的構造

輔助線就像橋梁一樣，是連接圖形與圖形，量與量之間的媒介.構造輔助線要依據幾何圖形的特點，基于作一條線就可以得出很多有用的條件為原則.以例1第四問為例.

這里的中點R是這一問獨有的條件，所以中點這一條件必須利用上的.根據幾何圖形的特點，過R點作RH⊥BN，這樣就會出現三角形的中位線（圖14）， RH為△NGM的中位線，且△RHK與△ABC相似，從而實現了一線多得的作用.

（三）方程思想的應用

方程的發現，是數學的一個歷史性飛躍.有許多數學問題很難直接列出算式求解，而方程思想則是用一個未知數來表示問題中的一個量，再通過量與量之間的關系建立一個含有未知數的等式，進而求解.在解決幾何運動類問題時，學生經常需要用到方程的思想來求時間t的值.在求解問題時的一條核心思想就是，根據幾何關系盡可能多地用含t的代數式去表示一些線段長度，然后再根據線段的和、差、倍、分及比例關系列出含有t的方程，進而求解即可.以例1第四問的一種情況為例.

結 語

幾何運動類問題涉及的范圍較廣，雖然文章提到了一些實用的技巧，但并不代表掌握了這些技巧就可以輕松應對此類題目.學生若想在考場上既快速又準確地做出這類題目，還需要勤加練習，養成邏輯嚴謹、思維敏捷、計算準確的數學習慣.

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