基于指數分布壽命試驗區間估計的核電廠設備可靠性研究

長孫欣政，董 辰

（1. 海南核電有限公司，昌江 572700；2. 生態環境部華南核與輻射安全監督站，深圳 518038）

設備可靠性數據的處理工作是核電廠開展概率安全分析（PSA）、維修規則（MR）、以可靠性為中心的維修（RCM）等安全評價和可靠性分析相關工作的重要基礎，其準確性將直接影響PSA、MR和RCM等工作的質量［1］。設備可靠性數據的處理工作應根據設備的失效機理和故障性質選取合適的概率分布形式進行分析。由于核電廠某些執行安全功能的部件和設備的失效機理為偶然失效，因此本研究基于設備的壽命試驗，對此類偶然失效的指數分布特征和失效率的區間估計進行了研究，并以定量計算的方式探討了其適用性。

1 核電廠可靠性研究現狀

美國核管會（NRC）于20世紀70年代開始從事設備可靠性數據的研究［2］，2007年發布了《美國商業核電站部件和始發事件的行業平均性能》（以下簡稱NUREG/CR-6928），對美國核電廠的設備可靠性數據進行了分析和評價。

我國2022年發布的《中國核電廠設備可靠性數據報告》（以下簡稱《國家報告》）通過對國內多家核電廠設備可靠性數據進行收集，分析計算了核電廠各類設備的失效率或失效概率，用以指導中國核電廠的概率安全分析工作。

目前《國家報告》對數據處理的原則為：對于失效次數不小于5次的設備類，其可靠性參數按經典估計方法處理；對于失效次數大于0次小于5次且NUREG/CR-6928中有對應數據的設備類，其可靠性參數按貝葉斯估計［3］方法處理；對于失效次數為0次且NUREG/CR-6928中有對應數據的設備類，其可靠性參數直接使用NUREG/CR-6928通用數據，計算方法采用β分布或γ分布［4］；對于失效次數小于5次［5］且NUREG/CR-6928中沒有對應數據的設備類，其可靠性參數暫不進行估計，等失效次數積累足夠多時再開展［6］。

2 指數分布壽命試驗

根據設備的典型失效率曲線，失效可分為早期失效期、偶然失效期及損耗失效期。設備在偶然失效期的壽命分布接近指數分布，設試驗樣本數為n，規定時間t0時進行試驗，在試驗結束時共有r個樣本失效。對具有一定精度要求的平均壽命θ所處的范圍，設置置信區間（θL，θU），置信上限θL，置信下限θU。對于定時截尾壽命試驗［7］，其分布密度函數是f（x），置信度為（1-α）。則其分布密度表達式為：

這符合卡方分布的概率密度函數，則平均壽命置信區間（θL，θU）的表達式為：

式中，t=nt0，代表試驗的總時間。平均壽命置信區間的倒數即是失效率λ或失效概率P的置信區間，記作（λL，λU）或（PL，PU），一般取α=0.1。由公式可知，失效率的置信上限和置信下限的自由度與試驗樣本中的失效次數和試驗樣本的試驗總時間（次數）相關。

3 指數分布截尾估計的特點

3.1 指數分布截尾估計隨自由度增大的變化趨勢

可通過一組定期試驗數據計算比對說明?！秶覉蟾妗分胁杉饺珖骱穗姀S應急空氣壓縮機組啟動失效的次數，并通過對數正態分布計算了其啟動失效率。置信區間上限為95%時，其啟動失效率為3.96×10-4，取5%的置信下限時，啟動失效率為2.71×10-4，其均值為3.29×10-4，誤差因子1.21［8］（誤差因子=

電廠日常運行時，應急空氣壓縮機組處于備用狀態，每次按固定周期啟動應急空氣壓縮機進行試驗可以看作獨立的隨機事件，符合定時截尾試驗的定義。因此，可以使用指數分布定時截尾試驗模型進行失效率計算，見表1。

表1 使用指數分布截尾估計方法計算應急空氣壓縮機失效率Table 1 Using exponential distribution truncation estimation method to calculate the failure rate of emergency air compressors

對數正態分布估計和指數分布兩者在置信區間內的概率值基本一致。這說明統計到的失效數較多時，指數分布截尾區間估計和按照失效數的對數正態分布區間估計結果趨同。因此，可以利用卡方分布對對數正態分布進行驗證。

3.2 指數分布截尾估計隨自由度減小的變化趨勢

卡方分布的性質為當自由度較低時，臨界值隨自由度變化敏感，因此在運用指數分布截尾估計對小樣本容量進行可靠性分析時，需考慮卡方分布的這一特性，下面舉例進行說明。

某核電廠對應急空氣壓縮機組定期開展試驗。3年內共進行應急空氣壓縮機啟動試驗次數n=635，啟動失效次數r=3［9］，采用對數正態分布計算的啟動失效概率均值為4.72×10-3，取置信度為0.9，查標準正態分布表［10］，上分位點下分位點則根據失效次數估計失效率區間公式得置信度上限失效率λL=9.12×10-3，置信度下限失效率λU=3.70×10-4，誤差因子為4.96。按失效數利用正態分布進行區間估計的表達式［10］如下：

若采用指數分布定時截尾估計進行計算，置信度上限失效率λL=1.22×10-2，置信度下限失效率λU=1.29×10-3，誤差因子為3.08。

可見，即使統計到了足夠多的樣本數，但其中統計到的失效事件次數很小（小于5次），不管采用哪種方法，計算出的區間估計的范圍均較大，失效次數的增減引起的估計區間變化也較敏感。使用失效時間的指數分布截尾估計雖然誤差略小于對數正態分布計算，但誤差因子仍較大。此時，應考慮使用多種統計學方法對設備的失效概率進行計算（如先驗分布、貝葉斯插值計算等），對計算的結果進行適當性分析。

4 指數分布截尾估計的應用

4.1 指數分布截尾估計的加和應用

由于卡方分布具有可加性［11］，因此，根據系統的構成，某些設備的失效概率可以拆分為引起該設備失效的各獨立部件失效概率的加和，這些系統中任一組成部件的失效都會導致整個系統失效被稱為串聯系統的失效。在指數分布截尾估計中，可構建模型說明該問題，如圖1所示。

圖1 “或門”設備的可靠性分析結構Fig.1 Reliability Analysis Structure of “OR Gate”Equipment

判定A設備安全功能失效的原因為B部件的安全功能失效或C部件的安全功能失效，部件B和C的功能獨立，兩者均通過同頻率的定期試驗來驗證其可靠性。其對應的卡方臨界值可以加和用以計算設備A失效率的臨界值，即χ2（A） =χ2（B） +χ2（C），設備A的安全功能失效概率即為P（A） =P（B） +P（C）。因此，在對電廠型此類模型進行可靠性分析時，可利用可加性進行失效率的區間估計。當定時試驗的周期延長時，設備的失效概率的增加和部件失效概率增加的速率一致，是隨試驗周期（次數）變化的一次線性函數。

4.2 指數分布截尾估計的乘法應用

當一個系統的所有組成單元都發生故障時，系統失效的情況被稱為并聯系統失效。使用指數分布截尾估計，兩個獨立的樣本可進行乘法計算，可構建模型予以說明。

某電廠具有8臺設備A，按照每周一次的頻次開展定期試驗，用以驗證設備A中部件B和C的安全功能，設備A的安全功能失效需部件B和C的安全功能同時失效，部件B和C的運行和試驗的工藝條件相互獨立，如圖2所示。

圖2 “與門”設備的可靠性分析結構Fig.2 Reliability Analysis Structure of “AND Gate”Equipment

3年內，部件B安全功能失效6次，部件C安全功能失效5次，設備A失效0次。設備A失效率為部件B與C失效率的乘積。同時，也可對設備A整體的失效率利用指數分布估計的方法進行計算，比較見表2。

表2 設備A及部件B/C通過指數分布估計的失效率Table 2 The failure rate estimated by exponential distribution for equipment A and component B/C

設備和部件安全功能的偶然失效概率在定期試驗成功后重置為0，之后失效概率隨著與最后一次試驗時間的間隔的延長逐漸增大，在新的一次定期試驗開始時達到最大。因此，設備和部件安全功能的偶然失效概率為定期試驗期間的一半。因此，對不同試驗周期下設備和部件的失效概率計算見表3。

表3 設備A及部件B/C不同試驗周期下的失效概率（95%置信度）Table 3 Probability of failure of equipment A and component B/C under different test cycles （95% confidence level）

采用指數分布截尾估計計算失效率時，在統計到的系統整體的失效數較小時，如果能已知系統各部分的失效率，進而計算總體的失效率，比直接計算設備總體的失效率更為妥當［12］，所得到的可靠性估計更接近真實水平。當系統復雜度上升時，如果采用通過部分失效概率的乘積計算總體失效概率時，延長設備定時試驗的周期會使設備失效概率隨相關系統的復雜度呈幾何級數增長，這是因為雖然各部件的壽命仍然符合指數分布的特征，但該系統總體的壽命已經不再服從指數分布了［13］。通過乘積計算的設備失效概率的誤差因子不僅大于各部件獨立的誤差因子，同時也大于將設備作為整體計算失效概率的誤差因子。在收集了數十年數據并進行統計和處理后，NUREG/CR-6928建議對于對數正態分布，一般將誤差因子整固為3或者10［14］。因此，為了保證估計區間的精度，參考了《國家報告》內數據和行業經驗，當誤差因子超過10的復雜系統，一般不建議采用指數分布截尾估計進行分析。

5 總結及建議

隨著核電廠概率安全分析工作在我國的逐漸深入，需使用合理的統計方法對核電廠的可靠性分析進行指導。隨機原因導致的設備驗證試驗過程中的失效服從指數分布，根據其特點，可以利用指數分布截尾估計進行可靠性研究，同時也應注意，當分布的自由度較低時，失效數的變化導致估計的置信區間變化敏感，誤差因子也較大。指數分布截尾估計對于復雜系統的可靠性分析也具有一定的實用性，在進行失效次數較小的系統或設備可靠性分析時，可先進行子系統或部件的拆分，再展開分析，但隨著復雜度升高，誤差因子也會呈幾何級增加，估計的精度隨之下降，需和其他統計模型參照使用。