雙列圓錐滾子軸承擬靜力學建模和剛度計算分析

張進華,朱光浩,黎銘,洪軍,方斌

(西安交通大學現代設計與轉子軸承系統教育部重點實驗室,710049,西安)

雙列圓錐滾子軸承因其能同時承受徑向、軸向及彎矩等多種載荷,且具有較高的剛度、承載能力及長壽命、高穩定性等優點而被廣泛應用于風力發電、高鐵等領域。由于圓錐滾子軸承內部結構及受力極為復雜,其受力與變形呈現出強非線性關系,因此雙列圓錐滾子軸承的機械性能無法通過單列圓錐滾子軸承性能的簡單線性疊加獲得。可見,對雙列圓錐滾子軸承的受載、剛度等特性進行單獨建模分析是非常重要的[1-3]。

早期的國外學者針對圓錐滾子軸承建立了不同的理論模型[4-6],建立了滾動軸承分析的基礎,但仍然存在精度不足等問題。Andréason[7]基于矢量變換方法分析了低速圓錐滾子軸承內圈傾斜情況下的載荷分布及壽命特性,但忽略了慣性力的影響,因此無法適用于較高轉速下的圓錐滾子軸承性能分析。Liu[8]在Andréason的理論基礎上,考慮離心力和陀螺力矩的影響,分析了復合載荷下轉速、內圈傾斜角對軸承載荷分布和疲勞壽命的影響,但未對軸承的剛度特性進行分析。Lambert等[9-11]建立軸承模型分析過盈配合和間隙配合下軸承的剛度特性。Tong等[12-13]建立圓錐滾子軸承數學模型來分析制造、加載過程中產生的幾何誤差對軸承剛度、載荷的影響,及角度不對中對運行中的圓錐滾子軸承運行力矩的影響。此外,Tong等[14-15]還分別建立了有滾子直徑誤差的圓錐滾子軸承通用模型用于分析直徑誤差對軸承剛度、壽命的影響,并分析了滾子修形對軸承剛度的影響。Zhang等[16]建立滾子自轉的仿真模型,分析滾子旋轉對軸承潤滑的影響。上述研究主要針對單列圓錐滾子進行建模分析,分別研究了復合載荷下,內圈傾斜、預緊等因素對軸承載荷分布、剛度、壽命的影響,為雙列圓錐滾子建模提供了重要理論及模型基礎。

近年來,雙列圓錐滾子軸承逐步受到更多的關注。Becrea等[17]和Nelias等[18]建立擬靜力學模型分析游隙對雙列圓錐滾子軸承的壽命的影響。Ai等[19]建立雙列圓錐滾子軸承的熱網絡模型,結合軸承擬靜力學模型,對不同工況下軸承熱特性進行分析。Yan等[20]建立雙列圓錐滾子軸承的動力學模型,結合有限元方法對軸承熱特性進行研究。Yang等[21]建立三自由度軸承模型,將角度偏差作為輸入參數,分析了角度偏差對軸承壽命的影響。Zheng等[22]建立軸承擬靜力學模型,分析了震蕩載荷下軸承的壽命特性。綜上所述,雖然近年來關于雙列圓錐滾子軸承建模及性能分析的研究較多,但是對軸承剛度的研究較少。例如,對于雙列圓錐滾子軸承,為進一步提供其壽命及承載能力,一般需要對其施加一定的預緊力,而關于預緊力對軸承剛度影響研究卻很少。Xu等[23]建立雙列球軸承模型,分析內圈不對中對軸承剛度的影響。Fang等[24-25]建立球軸承模型及剛度矩陣計算的數學方法,對球軸承在不同工況下的剛度特性進行了分析。研究表明,其剛度不僅存在明顯的非線性現象,而且隨著轉速的增加表現出明顯的“剛度軟化”現象,而關于雙列圓錐滾子軸承非線性剛度特性及軟化行為的研究卻鮮有報道。Zhang等[26]提出一種計算雙列圓錐滾子軸承剛度的方法,并建立有限元模型對不同工況的剛度特性進行分析,但其采用牛頓-拉夫遜迭代法求解,求解效率及收斂性很大程度上依賴于迭代初值的選擇。因此,有必要針對雙列圓錐滾子軸承建模、求解方法及其剛度特性展開全面的研究。

本文在Liu[8]圓錐滾子軸承模型基礎上,進一步構建雙列圓錐滾子軸承模型,并將同倫延拓方法引入到非線性方程組的求解過程中,有效避免了傳統牛頓-拉夫遜方法對于初值的高依賴性以及算法的穩定性問題。在上述模型的基礎上,研究不同預緊位移、轉速情況下,隨軸向載荷的增加時,軸承的徑向、軸向剛度的變化規律。

1 雙列圓錐滾子軸承擬靜力學模型

圖1為雙列圓錐滾子軸承幾何特征。圖中,Rs為滾子大端弧面直徑,mm;α為滾子外圈接觸角,(°);β為滾子內圈接觸角,(°);γ為滾子軸線與軸承軸線夾角,(°);ρi為滾子上任意點ζ軸到內滾道接觸點的距離,mm;ρo為滾子上任意點ζ軸到外滾道接觸點的距離,mm;rm為滾子大端中心到軸承軸線的距離,mm;rn為滾子大端中心到軸承兩列中心線的距離,mm;la為滾子有效接觸長度,mm;ζo為滾子上任意點到ξ軸的距離,mm;ν為擋邊角,(°);λ為滾子大端圓弧半角,(°)。分析如圖1所示的“背對背”式結構的雙列圓錐滾子軸承幾何特征剖面圖,首先建立如圖2所示的4種坐標系。引入第一坐標系(xyz),如圖3所示,其中z軸為軸承的旋轉中心線,x軸以滾子相位0°處為正方向,y軸以滾子相位90°處為正方向。設定軸承內圈旋轉,外圈固定不動,第一坐標系相對于軸承外圈固定不動。

圖1 雙列圓錐滾子軸承幾何特征Fig.1 Geometric feature diagram of double-row tapered roller bearings

圖2 不同坐標系位置圖Fig.2 Different coordinate system location

圖3 軸承載荷施加和滾子相位圖Fig.3 Bearing load application and roller phase

引入第二坐標系(x2y2z2),變形前第二坐標系和第一坐標系的坐標原點和坐標軸方向相同,但第二坐標系相對于軸承內圈固定,隨著內圈歪斜變形而改變,變形后坐標系位置如圖2所示。圖中,δx為軸承內圈沿x軸的平動位移,mm;δz為軸承內圈沿z軸的平動位移,mm;γy為軸承內圈繞y軸的轉角位移,(°);uξ為滾子大端中心沿ξ軸的平動位移,mm;uζ為滾子大端中心沿ζ軸的平動位移,mm;φη為滾子大端中心繞η軸的轉角位移,(°)。

如圖2所示,在滾子的大端面中心設定第三坐標系(ξηζ),其中ξ軸垂直于滾子中心線,ζ軸沿滾子軸線方向,η軸垂直于xz平面,第三坐標系相對于第一坐標系固定。

引入第四坐標系(ξ4η4ζ4),未發生變形時,第四坐標系與第三坐標系的坐標原點和坐標軸方向相同,但第四坐標系相對于滾子固定,隨滾子歪斜變形改變,變形后坐標系位置如圖2所示。

1.1 外圈和滾子接觸

圖4 單個滾子受載分析圖Fig.4 Single roller load analysis diagram

(1)

(2)

式中:k表示軸承的列數,k=1表示軸承左列,k=2表示軸承右列,下同;下標o表示外圈;下標r表示滾子;上標表示向量所處的坐標系,下同。式(2)中,由于左右兩列滾子的第三和第四坐標系的方向不同,故k=1取正號,k=2取負號。

(3)

(4)

式中:k=1時,rn取負,k=2時,rn取正;ψ代表滾子相位角;rm代表滾子大端中心到軸承軸線的距離,rn代表滾子大端中心到軸承兩列中心線的距離,計算公式為

rm=Dwsinγ/(2tanε)

(5)

rn=ln/2+ζacosγ

(6)

其中,Dw代表滾子大端直徑,滾子軸向和軸承軸線夾角γ=(α+β)/2,α代表滾子外圈延長線與軸承軸線夾角,β代表滾子內圈延長線與軸承軸線夾角,ε=(α-β)/2,ln代表兩滾子質心距離,[Ψ]k代表第三坐標系到第一坐標系的轉換矩陣,公式為

(7)

滾子幾何中心到滾子大端的距離為

ζa=lncosε/2+(Dw+dw)tanε/4

(8)

式中:la代表滾子有效接觸長度;dw代表滾子小端直徑。

式中:k=1時,γ取正,k=2時,γ取負。

(9)

式中:[u]3代表滾子形變;[f]代表第四坐標系到第三坐標系的轉換矩陣。表示為

(10)

(11)

(12)

如圖5(a)所示,發生變形后,假定接觸點在滾子上的位置,通過接觸變形必須垂直于接觸表面這一條件,則可確定該接觸點在外圈上的對應位置為

(a)滾子和外圈接觸

(13)

變形發生后,對于給定的ζr值,可以確定的ρr(ζr)值,根據式(13)得到對應的ζo和ρo(ζo)值。則接觸變形δo可以表示為

(14)

1.2 內圈和滾子接觸

(15)

(16)

(17)

式中:[δ]1代表內圈形變;[Γ]代表第二坐標系到第一坐標系的轉換矩陣。表示為

(18)

(19)

(20)

式中:k=1取正號,k=2取負號。

(21)

(22)

如圖5(b)所示,發生變形后,假定接觸點在滾子上的位置,通過接觸變形必須垂直于接觸表面這一條件,則可確定該接觸點在內圈上的對應位置為

(23)

發生變形后,對給定的ζri值可以求得ρri(ζri)的值,根據式(23)可以求得對應的ζi和ρr(ζi)值。接觸變形δi可以表示為

(24)

1.3 內圈大擋邊和滾子大端接觸

(25)

式中:k=1取正號,k=2取負號;Rs代表滾子大端半徑;v代表擋邊角;λ代表滾子大端圓弧半角,λ=arcsin[Dw/(2Rs)]。

(26)

(27)

式中:k=1取正號,k=2取負號。

(28)

(29)

式中:k=1取正號,k=2取負號;vf為接觸點和滾子軸線夾角vf=γ-v?φη;k=1取負,k=2取正。

(30)

(31)

通過接觸變形必須垂直于接觸表面這一條件計算ΔF

(32)

接觸變形δf可以表示為

(33)

1.4 接觸力和接觸變形

對于滾子和滾道接觸的載荷變形關系,Palmgren[4]提出以下變形公式

(34)

式中:δ代表接觸變形;Q代表接觸載荷;la為接觸長度。

考慮到載荷求解的精確性,將接觸長度劃分為n份切片,每個切片長度w,則接觸長度la=nw。令q=Q/la,則式(34)可變形為

(35)

式中:δn代表切片接觸變形;qn為第n個切片的接觸載荷。

內圈大擋邊和滾子大端面接觸為赫茲點接觸,根據文獻[19]得到滾子大端面和內圈大擋邊接觸力

(36)

(37)

(38)

其中,hf=Dw/2-Rssin(γ-v)。

1.5 離心力和陀螺力矩

假定軸承在運動過程中,滾子和滾道之間存在純滾動,即兩個物體在接觸處表面速度相等。軸承內圈以ωi角速度轉動,外圈保持固定。滾動體的公轉角速度(ωc)和自轉角速度(ωR)分別為[4]

ωc=ωi[dm-(Dw+dw)cos((α+β)/2)/2]/dm

(39)

ωR=

(40)

式中dm代表節圓直徑。

離心力可以表示為[4]

(41)

式中:m代表滾子質量。

(42)

式中:h代表滾子軸線長度;ρ代表材料密度。

陀螺力矩表示為[4]

Mg=JωcωRsin[(α+β)/2]

(43)

式中:J代表轉動慣量。

根據文獻[20]可得

(44)

式中:ζc=ζa-5h/12,如圖4所示。

1.6 平衡方程

在本文的擬靜力學模型中,忽略保持架和滾動接觸中的摩擦力的影響。對于單個滾子,內圈變形后滾子發生3個自由度(uξ、uζ、φη)的變形,單個滾子的局部平衡方程為

Fccos(γ-φη)=0

(45)

Fcsin(γ-φη)=0

(46)

Qfζcssinvf+Fcζccos(γ-φη)=0

(47)

在得到各個滾子切片的接觸力后可以得到軸承平衡方程為

(48)

單滾子傾覆力矩為

qokcosα(rn-ρosinγ?ζocosγ)]cosφdζo

(49)

式中:k=1取負號,k=2取正號;Fr、Fa、M代表3個方向的外載荷。

聯立式(43)～(45),構建成3+2×3Z個非線性方程組。雙列圓錐滾子軸承滾子數相較于一般軸承滾子數成雙倍增加,有利于減少單個滾子的接觸載荷,提高軸承壽命和承載能力,但求解規模巨大,求解難度增加。

2 同倫-牛頓法模型求解

對于一般的非線性方程組,通常采用Newton-Raphson迭代算法進行直接求解,而Newton-Raphson算法對迭代初值依賴性高,不合適的初值選取將導致算法的收斂性及收斂效率下降,因此確定迭代初值的范圍是至關重要的。本文選用同倫-牛頓法擴大非線性方程組的迭代初值選擇范圍。

在數學中,對于任意給定的兩個實函數f(x)和g(x)通過下式構建兩者的聯系。設t∈[0,1],構造如下的實函數

H(x,t)=tanx+(1-t)f(x)

(50)

式中t為嵌入變量。可以得到,當t=0時,H(x,0)=f(x);當t=1時,H(x,1)=g(x)。當嵌入變量t從0增加到1時,函數H(x,t)從f(x)連續變化到g(x)。因此,函數H(x,t)建立起了f(x)和g(x)的聯系,在拓撲理論中,這種連續的變化稱為同倫。

將牛頓迭代法和同倫思想結合,以1.6節中3+2×3Z階非線性方程組F(x)為例,構造同倫算子

H(x,t)=tF(x)+(1-t)f(x)

(51)

式中,x為代入非線性方程組的一組解向量,令f(x)=F(x)-F(x0),其中x0為迭代初始向量,則H(x,t)可以表示為

H(x,t)=F(x)+(t-1)F(x0)

(52)

當嵌入變量t從0增加到1,對H(x,t)進行牛頓拉夫森迭代

xm+1=xm-[H′(xm,t)]-1H(xm,t)

(53)

式中:H′(xm,t)代表方程的雅克比矩陣。

如圖6所示,同倫-牛頓迭代算法步驟如下:

圖6 雙列圓錐滾子軸承同倫-牛頓迭代算法設計流程Fig.6 Homotopy-Newton iterative algorithm design for double-row tapered roller bearings

(1)初始設置嵌入變量為1,將預估初值和軸承基本參數代入式(43)～(46),進行Newton-Raphson迭代,計算迭代后的解向量和迭代前解向量的二范數。

(2)通過二范數判斷兩次解向量的接近程度,若2范數不滿足小于零的條件,則將嵌入變量的值縮小,本文選擇單次縮小0.1,在保證嵌入變量為正的前提下,找到滿足求解F(x)的最小嵌入變量。

(3)當2范數滿足條件后,判斷當前解向量對應函數值是否滿足設定誤差,不滿足則繼續迭代,直至滿足迭代誤差。

(4)判定嵌入變量是否為1:若不為1,則增加嵌入變量的值,繼續上述步驟;若為1則輸出解向量,此解向量為F(x)的解。

通過同倫-牛頓法擴大了擬靜力學的迭代初值搜索范圍,克服了傳統牛頓法對初值的強依賴性。

3 剛度模型求解

(54)

(55)

式中:Fxjk=f(x,z,φ,ξ,ζ,η);k代表軸承列數;j代表滾子數。

以Fxjk為例,Fxjk代表單個滾子所承受的外力,是包含6個未知量的方程。根據剛度定義考慮對內圈變形的偏導,構建滾子變形和內圈變形的關系。假設滾子變形是內圈變形的函數,如ξ=f(x,z,φ),從而根據隱函數鏈式求導法則得到

(56)

以?ξ/?x為例

(57)

4 案例分析

在上述模型的基礎上,以兩種型號的雙列圓錐滾子軸承為例,對不同工況下雙列圓錐滾子軸承的剛度特性進行分析,軸承1型號為352226,軸承2結構參數來自文獻[27],詳細參數見表1。

4.1 模型對比驗證

首先,驗證本文提出的模型的準確性,以軸承1為例,分別把本文模型的剛度計算結果和文獻[21]模型的剛度計算結果進行對比。如圖7所示,在轉速為0,預緊力100 N,軸向載荷為8 000 N時,隨著徑向載荷的增加,軸承的徑向剛度增加趨勢明顯,軸向剛度變化趨勢不明顯。可以看出本文的剛度模型和周獻文模型[28]的剛度模型在變化趨勢和量級上具有良好的一致性,表明本文模型的準確性較好。

4.2 多工況下雙列圓錐滾子軸承載荷及剛度分析

本文的軸承剛度分析主要從轉速和軸承預緊位移兩方面展開。

圖8所示為不同預緊位移且軸承僅存在預緊位移的情況下,軸承的徑向和軸向剛度隨轉速的變化曲線。隨著軸承轉速的增加,軸承的徑向剛度和軸向剛度會逐漸減小;同時,隨著安裝預緊位移從0.005 mm增加到0.015 mm,同一轉速下軸承的徑向剛度和軸向剛度增加,軸承的徑向剛度和軸向剛度隨轉速降低的趨勢變緩。

(a)徑向剛度

圖9為轉速2 000 r/min,預緊位移0.01 mm條件下,軸承的徑向和軸向剛度隨軸向力的變化曲線。可以明顯看出,隨著軸向力的增加,軸承的徑向剛度和軸向剛度都會產生先下降后上升的趨勢,且都產生了一個較大的轉折點。從圖10的單列軸承剛度可以看出,第一列軸承的徑向、軸向剛度始終存在穩定上升的趨勢,而第二列的徑向、軸向剛度變化和兩列軸承總的變化趨勢一致,可以知道雙列軸承的突變原因主要在于第二列軸承。進一步對第二列軸承的載荷分布進行分析,如圖11所示,隨著軸向力的增加,第一列軸承持續受載,內圈力逐漸增加,而第二列軸承在軸向力增加到14 kN時,滾子和內滾道無接觸力,表明滾子和內滾道已經脫離接觸。

(a)徑向剛度

圖11 單列軸承內圈力隨軸向力的變化Fig.11 Variation curve of inner ring force with axial force of single row bearing

圖12是不同轉速下軸承剛度隨軸向力的變化曲線。可以看出,當轉速為0、2 000、4 000 r/min時,軸承的徑向和軸向剛度隨軸向力增加均存在先減小后增加的趨勢,且都存在一個明顯的轉折點,由上文分析可知,此轉折存在原因是第二列軸承的內圈和滾子脫離接觸。同時,轉速增加使第二列軸承的內圈和滾子脫離接觸的最小軸向力越小,即轉速增加,第二列滾子更容易脫離接觸,使得第一列軸承受載更加嚴重,更易受損。因此在只承受軸向力的情況下,應控制軸承的轉速,以延長軸承的使用壽命。

(a)徑向剛度

圖13為不同預緊位移下軸承的徑向和軸向剛度隨軸向力的變化曲線。可以看出,在預緊位移為0.005、0.010、0.015 mm時,隨軸向力的增加,軸承的徑向、軸向剛度也存在先減小后增加的趨勢;隨著預緊位移的減小,使第二列滾子脫離接觸的最小軸向力逐漸變小。可見,隨著預緊位移的增加,軸承承受軸向力的能力增強。

(a)徑向剛度

圖14為軸向力4 kN時,隨著預緊位移的增加,雙列圓錐滾子軸承的徑向剛度、軸向剛度的變化趨勢。可以看出,隨著預緊位移的增加,軸承剛度從不變到增加,表明軸承從單列受載到雙列受載的過程,可以獲得在單軸向力下雙列圓錐滾子軸承存在使軸承不發生滾子脫離的最小預緊位移。

(a)徑向剛度

綜上,預緊位移對軸承是至關重要的,預緊位移使得雙列圓錐滾子軸承不易產生滾子脫離滾道的現象,保障了在軸向力條件下,雙列圓錐滾子軸承的承載能力。

5 結 論

通過多坐標矢量變換及切片的方法,建立了考慮轉速和陀螺力矩的雙列圓錐滾子軸承的擬靜力學模型,此模型可用于不同載荷工況下的軸承受載計算。在此模型基礎上,結合軸承剛度定義,對軸承的剛度進行求解,揭示了不同工況下軸承的剛度變化規律,深入探究了轉速和預緊位移與軸承剛度的關系,得出以下結論。

(1)對于僅存在預緊位移的雙列圓錐滾子軸承,當轉速從0增加到4 000 r/min時,其徑向、軸向剛度減小;當預緊位移從0.005 mm增加到0.015 mm時,這種變化趨勢逐漸變緩。

(2)對于只承受軸向力的雙列圓錐滾子軸承而言,軸向力從10 kN增加到14 kN時,其徑向、軸向剛度減小;軸向力從14 kN增加到19 kN時,其徑向、軸向剛度增加。當第二列滾子脫離滾道時,剛度的趨勢發生變化。

(3)對于不同轉速,僅受軸向力的雙列圓錐滾子軸承而言,當轉速從0 r/min增加到4 000 r/min時,第二列滾子更容易發生脫離現象。

(4)對于不同預緊位移下,僅受軸向力的雙列圓錐滾子軸承而言,隨著預緊位移從0.015 mm減小到0.005 mm,第二列滾子更容易發生脫離現象。