永磁同步電機(jī)新型有效磁鏈固定時(shí)滑模擾動(dòng)辨識(shí)策略

劉思源,劉凌,靳東松

(1. 西安交通大學(xué)電力設(shè)備電氣絕緣國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,710049,西安;2. 西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院,710049,西安)

永磁同步電機(jī)(PMSM)在體積、效率、功率密度等方面具有優(yōu)勢(shì),因而在機(jī)器人和電動(dòng)汽車(chē)等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。PMSM是典型的非線性多變量耦合系統(tǒng)。矢量控制(VC)因其優(yōu)異的動(dòng)態(tài)性能而被廣泛應(yīng)用于PMSM的控制[1-17]。

在設(shè)計(jì)PMSM閉環(huán)矢量控制系統(tǒng)時(shí),控制器的設(shè)計(jì)是在假設(shè)負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)為零時(shí)進(jìn)行的[12],因而當(dāng)負(fù)載發(fā)生波動(dòng)時(shí),控制器往往難以較好地抑制負(fù)載轉(zhuǎn)矩波動(dòng)對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)速產(chǎn)生的影響。這可能導(dǎo)致電機(jī)功角不穩(wěn)定,造成失步、反轉(zhuǎn)甚至損壞設(shè)備。為解決負(fù)載轉(zhuǎn)矩波動(dòng)引起的電機(jī)狀態(tài)不穩(wěn)定,引入負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)并進(jìn)行前饋補(bǔ)償是一種較為常見(jiàn)的做法[11-14]。文獻(xiàn)[11]設(shè)計(jì)了一種新型變系數(shù)指數(shù)趨近率并應(yīng)用到滑模負(fù)載觀測(cè)器設(shè)計(jì)中,前饋至電流環(huán)后提升了電流環(huán)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)精度,但由于引入了sigmoid函數(shù),雖然一定程度上減小了抖振現(xiàn)象,但同時(shí)降低了滑模觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能;文獻(xiàn)[12]設(shè)計(jì)了一種降維負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器,但由于引入的補(bǔ)償項(xiàng)是線性誤差,因而動(dòng)態(tài)性能有所欠缺;文獻(xiàn)[13]設(shè)計(jì)了一種基于Kalman濾波器的負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器,該觀測(cè)器可以準(zhǔn)確跟蹤負(fù)載轉(zhuǎn)矩的變化,用觀測(cè)的轉(zhuǎn)矩形成對(duì)參考轉(zhuǎn)矩的前饋補(bǔ)償,可以大大提高系統(tǒng)轉(zhuǎn)速控制性能;文獻(xiàn)[14]設(shè)計(jì)了一種基于無(wú)跡Kalman濾波算法的負(fù)載觀測(cè)器,相較于擴(kuò)展Kalman濾波,摒棄了對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行線性化的做法,對(duì)提升觀測(cè)器動(dòng)態(tài)性能具有優(yōu)勢(shì)。

傳統(tǒng)的負(fù)載觀測(cè)器或存在參數(shù)設(shè)計(jì)繁瑣的問(wèn)題,或在負(fù)載發(fā)生突變時(shí)觀測(cè)效果不佳。滑模觀測(cè)器具有參數(shù)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單,動(dòng)態(tài)性能好的優(yōu)點(diǎn)[15-17]。但由于其本身引入了符號(hào)函數(shù),因而會(huì)引入不期望的抖振現(xiàn)象[11],并且傳統(tǒng)的滑模觀測(cè)器存在的缺陷之一就是僅能保證漸進(jìn)收斂,這意味著在一個(gè)具有明確上界的時(shí)間限度內(nèi)無(wú)法實(shí)現(xiàn)精確收斂,即收斂速度是難以預(yù)測(cè)的,而這在觀測(cè)穩(wěn)態(tài)信號(hào)時(shí)將進(jìn)一步惡化其輸出信號(hào)的穩(wěn)定性和精確性[16]。為解決上述問(wèn)題,本文將固定時(shí)間滑模理論引入負(fù)載觀測(cè)策略。固定時(shí)間滑模理論的核心是逆向設(shè)計(jì)虛擬控制量,構(gòu)造Lyapunov穩(wěn)定性方程,進(jìn)而給出收斂時(shí)間的上界[18-20]。固定時(shí)間滑模理論的核心優(yōu)勢(shì)在于能夠迫使誤差變量在一個(gè)具有明確上界的時(shí)間限度內(nèi)收斂,因而可以控制誤差變量的收斂速度,從而在提高滑模觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)性能的同時(shí)減少因符號(hào)函數(shù)而引起的抖振現(xiàn)象。

傳統(tǒng)滑模觀測(cè)器是在靜止兩相坐標(biāo)系下建立電機(jī)的反電勢(shì)模型。本文采用的有效磁鏈模型將電機(jī)模型建立在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(d-qframe)下,可使所有交流電機(jī)的數(shù)學(xué)模型將具有相同的動(dòng)態(tài)方程,區(qū)別僅在于有效磁鏈的不同。本文采用的內(nèi)置式永磁同步電機(jī),其模型僅與定子電阻和q軸電感有關(guān),且q軸電流的動(dòng)態(tài)方程就包含了電機(jī)轉(zhuǎn)速信息,進(jìn)而可以獲得負(fù)載轉(zhuǎn)矩信息[21-23]。采用該模型可以減少電機(jī)動(dòng)態(tài)方程數(shù)量以及對(duì)電機(jī)參數(shù)的依賴(lài)。為進(jìn)一步提升觀測(cè)到的信號(hào)精確性和動(dòng)態(tài)響應(yīng),本文結(jié)合擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器(ESO)理論對(duì)PMSM有效磁鏈模型進(jìn)行狀態(tài)重構(gòu)和估計(jì),進(jìn)而構(gòu)建PMSM三階擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器動(dòng)態(tài)方程[1-9,23-24]。本文基于擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器理論,結(jié)合PMSM降階有效磁鏈模型設(shè)計(jì)了一種固定時(shí)滑模負(fù)載觀測(cè)器(FTSMLTO);將觀測(cè)到的擾動(dòng)進(jìn)行了前饋補(bǔ)償,改善了電流環(huán)控制器對(duì)負(fù)載變化的抗擾能力,構(gòu)成一種固定時(shí)滑模負(fù)載擾動(dòng)辨識(shí)方法,并進(jìn)行了穩(wěn)定性證明。最終通過(guò)仿真結(jié)果證明了所提出的負(fù)載觀測(cè)器的有效性和優(yōu)越性。

1 PMSM有效磁鏈模型

為簡(jiǎn)化分析,假定磁路不飽和,磁滯與渦流損耗影響不計(jì),則永磁同步電機(jī)在兩相旋轉(zhuǎn)(d-q)坐標(biāo)系下的IPMSM定子電壓方程如式(1)～(3)所示[21-22]

(1)

電磁轉(zhuǎn)矩方程為

Te=1.5npp[ψf+(Ld-Lq)id]iq

(2)

電機(jī)運(yùn)動(dòng)方程為

1.5npp[ψf+(Ld-Lq)id]iq-TL

(3)

以上式中:ud、uq分別為電機(jī)d、q軸定子電壓;id、iq為d、q軸定子電流;Ld、Lq為d、q軸電感;Rs為定子電阻;npp為電機(jī)極對(duì)數(shù);ωe為電角速度;Js為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;ψf為轉(zhuǎn)子磁鏈;Te、TL分別為電機(jī)電磁和負(fù)載轉(zhuǎn)矩;p為微分算子。

對(duì)于表貼式永磁同步電機(jī)而言,有效磁鏈ψactive=ψf,而對(duì)于本文所用的電機(jī)而言,有效磁鏈ψactive=ψf+(Ld-Lq)id。

電機(jī)運(yùn)動(dòng)方程為

(4)

將ψactive=ψf+(Ld-Lq)id代入式(1)得電機(jī)有效磁鏈電壓模型為

(5)

將其變換為電流動(dòng)態(tài)方程得

(6)

由上式可知,d軸電流動(dòng)態(tài)方程包含電機(jī)角度信息,而q軸電流動(dòng)態(tài)方程包含電機(jī)轉(zhuǎn)速信息。

2 固定時(shí)滑模負(fù)載觀測(cè)器

2.1 FTSMLTO的設(shè)計(jì)

由式(6)知,僅需q軸動(dòng)態(tài)方程即可構(gòu)建電機(jī)模型。結(jié)合電機(jī)運(yùn)動(dòng)方程(4),即可構(gòu)建3階滑模擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器如下

(7)

結(jié)合固定時(shí)滑模理論,構(gòu)建虛擬控制率v1為

(8)

接著引入新的狀態(tài)變量ε1

τ1pε1=g(1,1,Λ1)

(9)

值得注意的是,在設(shè)計(jì)觀測(cè)器參數(shù)時(shí),k1、k2應(yīng)選擇的足夠大,從而使系統(tǒng)滿(mǎn)足半全局終結(jié)一致有界性,進(jìn)而使得系統(tǒng)穩(wěn)定。

(10)

則

(11)

同理,引入狀態(tài)變量ε2

τ2pε2=g(1,1,Λ2)

(12)

(13)

則虛擬控制輸入為

(14)

式中:τ2是時(shí)間常數(shù);ki(i=3,4,…,6)是需要設(shè)計(jì)的參數(shù)。同前文提到的一樣,τ2應(yīng)盡可能小,從而滿(mǎn)足收斂的快速性;ki(i=3,4,…,6)應(yīng)足夠大來(lái)確保系統(tǒng)穩(wěn)定。

2.2 FTSMLTO的穩(wěn)定性證明及收斂時(shí)間計(jì)算

為進(jìn)行下一步分析,給出如下引理。

引理1[19]考慮如下微分方程系統(tǒng)

假設(shè)存在方程V(x):U→R使得

(1)V(x):U→R是正定的;

(2)存在正實(shí)數(shù)α,β,任意小的正實(shí)數(shù)ε,正奇整數(shù)m,n,p,q滿(mǎn)足m>n,p>q,緊集W0使得pV≤-αVm/n-βVp/q+ε,x0∈W0成立。

引理2[25]對(duì)于每個(gè)正實(shí)數(shù)a,b,c和滿(mǎn)足1/p+1/q=1的正實(shí)數(shù)p,q,有如下不等式成立

ab≤cpap/p+c-qbq/q

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

構(gòu)建Lyapunov方程如下

(20)

則式(20)對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

(21)

(22)

根據(jù)引理2,可以得到以下不等式(23)

(23a)

(23b)

式中,γi,λi,ηi(i=1,2)均為正實(shí)數(shù)。同時(shí),存在實(shí)數(shù)c滿(mǎn)足

(24)

將式(15)～(19)、式(22)(23)代入式(21),可得

(25)

得到式(25)后,合理選擇參數(shù),使得式(26)成立

(26)

將式(26)代入式(25),則有

(27)

根據(jù)式(27)知,合理選擇參數(shù)使得式(28)成立時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。

(28)

為求得收斂時(shí)間邊界,將使不等式(28)成立的條件轉(zhuǎn)換為求解等式(29)

(29)

由于式(29)難以求解,因而將其分解為式(30),求解式(30)即可得到系統(tǒng)收斂時(shí)間上界。

(30)

式(30)的解可被寫(xiě)作

(31)

則根據(jù)引理1,系統(tǒng)收斂時(shí)間上界為

(32)

2.3 觀測(cè)負(fù)載轉(zhuǎn)矩的前饋補(bǔ)償

為減小負(fù)載擾動(dòng)對(duì)于電機(jī)控制系統(tǒng)的干擾,進(jìn)一步提升系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能,需要將觀測(cè)得到的負(fù)載轉(zhuǎn)矩進(jìn)行補(bǔ)償。由于控制系統(tǒng)電氣相應(yīng)速度遠(yuǎn)大于機(jī)械相應(yīng)速度,因而將觀測(cè)得到的負(fù)載轉(zhuǎn)矩前饋至電流環(huán)時(shí),可以提升系統(tǒng)對(duì)外界擾動(dòng)的相應(yīng)速度,減小負(fù)載轉(zhuǎn)矩波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響。

結(jié)合以上分析,需要將觀測(cè)得到的負(fù)載轉(zhuǎn)矩前饋至q軸電流環(huán)進(jìn)行補(bǔ)償。因而q軸電流表達(dá)式為

(33)

(34)

結(jié)合上述分析,構(gòu)建基于FTSMLTO補(bǔ)償?shù)腜MSM矢量控制系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 基于FTSMLTO補(bǔ)償?shù)腜MSM矢量控制系統(tǒng)框圖Fig.1 PMSM vector control block diagram based on FTSMLTO compensation

3 數(shù)值仿真分析

為驗(yàn)證算法的有效性,本節(jié)對(duì)所提出的負(fù)載轉(zhuǎn)矩估計(jì)算法進(jìn)行仿真。仿真主要對(duì)比了未加負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)、傳統(tǒng)滑模負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器[11]及所提出的FTSMLTO的負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)性能和補(bǔ)償前后系統(tǒng)抗擾性能變化。仿真所用IPMSM參數(shù)如表1所示。

表1 永磁同步電機(jī)參數(shù)

仿真所用的觀測(cè)器參數(shù)如表2所示。對(duì)本文所用IPMSM原型矢量控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真的結(jié)果如圖2、圖3所示。

表2 設(shè)計(jì)的觀測(cè)器參數(shù)

(a)傳統(tǒng)滑模負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器

(a)未加負(fù)載轉(zhuǎn)矩前饋補(bǔ)償

圖2為傳統(tǒng)滑模負(fù)載觀測(cè)器及FTSMLTO觀測(cè)到的負(fù)載轉(zhuǎn)矩波形。圖2、圖3中藍(lán)色線為實(shí)際負(fù)載轉(zhuǎn)矩,紅色線為觀測(cè)器觀測(cè)到的負(fù)載轉(zhuǎn)矩波形,黃色線為觀測(cè)器測(cè)得的實(shí)際轉(zhuǎn)速,綠色線為給定轉(zhuǎn)速。電機(jī)在給定轉(zhuǎn)速為1 500 r/min下運(yùn)行。負(fù)載轉(zhuǎn)矩初值由電機(jī)轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等決定,在電機(jī)轉(zhuǎn)速不變時(shí)保持不變。在第0.5 s時(shí)負(fù)載轉(zhuǎn)矩階躍增加1 N·m,在2.5 s負(fù)載轉(zhuǎn)矩階躍減小1 N·m;在第2.5 s負(fù)載轉(zhuǎn)矩回到初值后再以1 N·m/s的斜率斜坡降低2 s;在第4.5 s時(shí)階躍回到初值,接著以初值為直流偏置,幅值為1,周期為1 s的正弦波運(yùn)行2 s;在第6.5 s時(shí)回到初值。

從圖2(a)中可知,在傳統(tǒng)負(fù)載觀測(cè)時(shí),穩(wěn)態(tài)時(shí)存在較大的穩(wěn)態(tài)誤差,最大誤差約0.3 N·m;動(dòng)態(tài)時(shí)響應(yīng)較差,形成了鋸齒波,難以精確跟蹤電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩。盡管在穩(wěn)態(tài)時(shí)傳統(tǒng)滑模負(fù)載觀測(cè)器能夠觀測(cè)出負(fù)載轉(zhuǎn)矩,但動(dòng)態(tài)時(shí)效果很差,這在需要精確補(bǔ)償電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩的應(yīng)用場(chǎng)景下是不可接受的。而采用FTSMLTO后,從圖2(b)中可知,穩(wěn)態(tài)誤差最大值減小至約0.05 N·m,并且動(dòng)態(tài)響應(yīng)大大提高,在負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)情況復(fù)雜時(shí)也能精確跟蹤,大大提升了負(fù)載轉(zhuǎn)矩的觀測(cè)精度。

圖3為將不同負(fù)載觀測(cè)器觀測(cè)值前饋至電流環(huán)后的轉(zhuǎn)速響應(yīng)。圖3(a)為未加負(fù)載轉(zhuǎn)矩前饋補(bǔ)償時(shí)的轉(zhuǎn)速波形,此時(shí)正向最大超調(diào)為112 r/min,負(fù)向最大超調(diào)-221 r/min,負(fù)載轉(zhuǎn)矩為正弦波時(shí)超調(diào)為±60 r/min;圖3(b)為前饋補(bǔ)償傳統(tǒng)滑模負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)值時(shí)的轉(zhuǎn)速波形,此時(shí)正向最大超調(diào)為110 r/min,負(fù)向最大超調(diào)-216 r/min,加正弦負(fù)載時(shí)超調(diào)為±58 r/min;圖3(c)為前饋補(bǔ)償FTSMLTO轉(zhuǎn)矩觀測(cè)值時(shí)的轉(zhuǎn)速波形,此時(shí)正向最大超調(diào)為100 r/min,負(fù)向最大超調(diào)-188 r/min,加正弦負(fù)載時(shí)超調(diào)為±45 r/min。采用FTSMLTO前饋補(bǔ)償后相較于未補(bǔ)償時(shí)轉(zhuǎn)速正向最大超調(diào)減小約10.7%,最大負(fù)向超調(diào)減小約14.9%,正弦負(fù)載時(shí)超調(diào)減小約25.0%;相較于傳統(tǒng)滑膜負(fù)載觀測(cè)器前饋補(bǔ)償后轉(zhuǎn)速正向最大超調(diào)減小約9.1%,負(fù)向最大超調(diào)減小約13.0%,正弦負(fù)載時(shí)超調(diào)減小約22.4%。由上述分析得出,FTSMLTO前饋補(bǔ)償后電機(jī)轉(zhuǎn)速動(dòng)態(tài)性能得到了大幅提升。

由圖2和圖3知,采用FTSMLTO相比傳統(tǒng)滑模負(fù)載觀測(cè)器能夠大幅提升負(fù)載觀測(cè)值的精確性和動(dòng)態(tài)性能;前饋補(bǔ)償至電流環(huán)后,電機(jī)轉(zhuǎn)速動(dòng)態(tài)性能也得到了提升。

4 結(jié) 論

(1)推導(dǎo)了IPMSM降階有效磁鏈模型,構(gòu)建了電機(jī)有效磁鏈三階擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器。

(2)設(shè)計(jì)了基于固定時(shí)滑模理論的虛擬控制率和虛擬控制輸入。

(3)采用觀測(cè)轉(zhuǎn)矩前饋的方法對(duì)電流環(huán)進(jìn)行補(bǔ)償,從而改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng),構(gòu)成一種永磁同步電機(jī)降階有效磁鏈固定時(shí)滑模負(fù)載擾動(dòng)辨識(shí)策略。

(4)通過(guò)數(shù)值仿真,將本文提出的FTSMLTO與傳統(tǒng)滑模負(fù)載觀測(cè)策略進(jìn)行了對(duì)比分析,數(shù)值結(jié)果表明,在觀測(cè)負(fù)載轉(zhuǎn)矩曲線上,FTSMLTO具有更小的穩(wěn)態(tài)誤差和更好的動(dòng)態(tài)響應(yīng);將觀測(cè)值前饋至電流環(huán)后,電機(jī)轉(zhuǎn)速動(dòng)態(tài)性能得到了提升,能夠更好地抵抗負(fù)載轉(zhuǎn)矩的波動(dòng),控制性能得到了提升。