基于三參數威布爾分布的骨水泥疲勞性能的試驗研究

徐永芝, 王福霞

(許昌學院 土木工程學院,河南 許昌 461000)

PMMA骨水泥與傳統的鋼釘固定方式的骨水泥相比,有諸多優點:固定強度高,可以在原位終凝,具有彈性緩沖的作用,并能將荷載均勻地傳遞給宿主骨.但是,PMMA骨水泥的抗拉強度較低,僅僅能達到24～50 MPa[1],當承受較大荷載時,骨水泥容易出現脆性斷裂[2].在循環荷載作用下,PMMA骨水泥的界面,易產生疲勞裂紋,造成斷裂[3].

對PMMA骨水泥的標準試件進行對稱循環荷載下的軸向拉壓疲勞試驗,以得到拉壓應力作用下的疲勞壽命,建立疲勞壽命曲線(S-N曲線).在此基礎上,以相關的α和β系數作為精確評價指標,用三參數的威布爾分布法進行試驗研究,對其疲勞壽命的威布爾分布參數進行估計,得到不同應力水平下的疲勞壽命分布函數[4,5].最后基于Origin軟件的數據擬合功能,建立全應力水平范圍內可靠指標的S-N曲線[6,7].研究成果可為PMMA骨水泥疲勞特性的研究和疲勞壽命預測模型的建立提供試驗依據.

1 實驗部分

PMMA骨水泥的主要成分為聚甲基丙烯酸甲酯(PMMA)粉末和甲基丙烯酸甲酯(MMA)單體[8],引發劑(DMPT)和促進劑(BPO),以及顯影劑(BaSO4)和緩凝劑(HQ).依據醫用丙烯酸骨水泥的行業標準,即:外科植入物—丙烯酸樹脂粘接劑(ISO-5833-2002),采用超聲波震蕩法制備PMMA骨水泥.

圖1 疲勞試樣及尺寸

并根據ASTM F2118-01a的規范要求,制備標準的啞鈴形疲勞試樣,如圖1所示,采用WDW-5型電子萬能試驗機進行拉-壓疲勞測試,測試頻率5 Hz,拉壓應力幅值設為25 MPa,記錄每個試樣斷裂時的拉壓循環次數,剔除循環次數低于1 000的樣品.

2 結果與討論

2.1 試驗結果

疲勞試驗中,所有的PMMA標準試件均在平行部分的中部位置斷裂,試驗數據符合要求.在對稱循環荷載作用下,按遞增順序對固定應力水平下PMMA骨水泥標準試件的疲勞壽命進行排序,并根據GB/T 24176-2009《金屬材料疲勞試驗數據統計方案與分析方法》,由中位數排序位階法求得固定應力水平下疲勞壽命的累積失效概率(Median Ranks)為式(1)所示.

p(Nf)=(M-0.3)/(G+0.4),

(1)

式中,M為0,1,2,3,…G;G為每一試樣的總數.

PMMA標準試件對稱循環荷載下軸向拉壓疲勞壽命及其累積失效概率見表1.

表1 PMMA標準試件疲勞壽命及累積失效概率表

2.2 PMMA骨水泥S-N曲線研究

2.2.1 疲勞壽命的三參數威布爾分布的參數估計

在所有可用的可靠性計算的分布當中,威布爾分布是唯一可用于工程領域的.在1937年,Waloddi Weibull教授(1887-1979)創造性地提出了該種分布,它是用于失效數據分析分布中應用最廣泛的分布之一,也用于壽命數據分析,因為系統或部件的壽命周期的測量也需要分析.

威布爾分布的疲勞壽命分布函數的失效概率由式(2)給出.

(2)

式中,Nf為實測疲勞次數;N0為尺度參數,代表最小疲勞次數;α為形狀參數,代表斜率;β為尺度參數,代表特征壽命,即失效概率為63.2%的循環次數,由式(3)求得

β=Nο+exp(-C/α),

(3)

式中,C為Y軸截距.為了將式(2)變為更直觀的Y=mX+B的形式,現對式(2)的等式兩邊進行自然對數,變成公式(4)所示.

(4)

威布爾三參數計算的疲勞壽命值由式(5)計算得到.

NWM=Nο+(β-Nο)Γ(1+1/α).

(5)

2.2.2 三參數威布爾分布在Origin中的實現

以骨水泥標準試件的疲勞壽命數據(如表1所示)為基礎,利用Origin軟件作圖法計算出威布爾分布的三參數. 以表1中的累積失效概率列ln(Nf)的數據為X軸,以二階累計失效概率列ln(ln(1/(1-Median Rank)))的數據為Y軸,在Origin中繪制函數曲線如圖2所示.

根據函數圖像估畫出漸近線,得到ln(N0)=8.3,求得N0≈4 024. 重新以ln(Nf-N0)為X軸,以二階累計失效概率列的數據為Y軸,在Origin中再次繪制函數曲線如圖3所示.

圖2 三參數法威布爾分析法的漸近線

圖3 三參數威布爾分析法的方程擬合

根據Origin的擬合結果,得到函數的直線方程為Y=1.043X-10.412.即α=1.043,C=-10.412,將α、N0和C的值代入式(3)中,得到β=21 650;代入式(5)求得威布爾均值NWM=21 355.

2.2.3S-N曲線擬合

基于上述試驗數據及Origin的擬合結果,以Nf,α=1.043,β=21 650作為威布爾分布的三參數,利用威布爾三參數公式Weibull(Nf,α,β,TRUE).

以表2數據,利用Origin軟件繪制可靠指標為4.2時,PMMA骨水泥的S-N曲線如圖4所示. 由圖4可以看出,骨水泥的斷裂可以分為三個階段:(1)裂紋的萌生階段;(2)裂紋的擴展階段;(3)裂縫的快速斷裂階段. 隨著骨水泥受到的荷載的增加,裂紋進入快速發展階段,骨水泥的橋接裂縫的作用減弱,最后骨水泥斷裂. 實驗的結果證明,三參數威布爾分布可以有效地反應骨水泥疲勞性能.

表2 威布爾分布的三參數(Nf,α=1.043,β=21 650)

圖4 PMMA骨水泥的壽命曲線

3 結語

(1)根據GB/T 24176-2009《金屬材料疲勞試驗數據統計方案與分析方法》,由中位數排序位階法求得固定應力水平下疲勞壽命的累積失效概率(Median Ranks),獲得較高的計算精度.

(2)分別以累積失效概率列的數據和二階累計失效概率列的數據為X軸和Y軸,利用Origin軟件繪制函數曲線和漸近線,并采用三參數威布爾分布法對PMMA骨水泥標準試件進行疲勞壽命的三參數估計,建立全應力水平范圍概率的S-N曲線,并準確預測出PMMA骨水泥的疲勞壽命為NWM=21 355.

(3)研究成果可為研究PMMA骨水泥力學性能,并為建立預測疲勞壽命的模型提供試驗依據.