基于非厄密絕熱捷徑的快速量子態操控研究

董新平, 閆潤瑛

(許昌學院 數理學院,河南 許昌 461000)

為了更快地進行可靠的量子操作,基于非厄密體系的“絕熱捷徑”(STA)技術[1,2]被用于量子信息處理以及波導光學等領域．STA方法主要包括基于不變量方法[3]、無摩擦驅動[4-7]等方法.基于STA方法的量子系統的核心思想是通過對系統的哈密頓函數進行設計,使量子系統可以在絕熱過程中從給定的初始態更快地演化到期望的終態．同時通過非絕熱消除可以在較短的時間內實現與絕熱情形相同的目標．不僅加快了量子運算的速度,同時大幅度減輕了系統受到的噪聲環境的退相干影響．

以上的快速絕熱方法通常需要增加不同能級之間的耦合強度才能實現更快的量子系統演化[8]．在有些量子系統中,受到量子體系特征參數以及實驗條件的限制,能級之間的耦合強度并不能任意選取,并且過大的耦合還會降低系統的保真度．通過對厄密體系的研究和推廣提出了基于非厄密體系的STA方法[9-11].這種非厄米系統原則上可以在非常短的世間內完成量子系統的演化,但需要根據系統的特征參數對體系的增益和損耗進行復雜的計算．最近一個基于動力學的絕熱捷徑方法(DASA)提出了一種熱力學成本較低、易于設計和調控的非厄米系統絕熱方案[12]．利用這個方案可以通過對體系增益和耗散的靈活控制,提供一個高效、可靠,同時能耗較低的量子態控制方案．我們將對此方法進行理論分析和數值模擬研究,為進一步利用非厄密絕熱捷徑方法快速操控量子態提供有效的幫助．

1 基于動力學的絕熱捷徑方法

對于一個一般的兩能級體系,其不含時的2×2非厄密哈密頓量具有以下形式.

H=σx+(iΔγ+Δω)σz/2+(i∑γ+∑ω)1/2.

(1)

其中,Δγ=γ1-γ2,∑γ=γ1+γ2,∑ω=ω1+ω2,Δω=ω1-ω2,σx,z為泡利矩陣,1為單位矩陣.γ1,2分別對應本征態|λ1,2〉的增益或損耗,ω1,2+iγ1,2表示歸一化的勢能.體系的本征值λ1,2一般可以取為復數.隨著時間的變化,體系的本征值將發生相應的演化,相應的初始態將隨時間按以下方式演變.

|ψ(t)〉=e-iHt|ψ(0)〉=c1e-iλ1t|λ1〉+c2e-iλ2t|λ2〉.

(2)

如果期望在隨時間的演化過程中一個本征態產生增益或損耗,而同時另一個本征態保持不變,則要求哈密頓量的本征值分別為λ1=x1+iy,λ2=x2,x1和x2為實數．那么本征態|λ1>的振幅將將根據相應本征值中虛部的符號分別產生增強或衰減,而本征態|λ2> 的振幅由于虛部為零,在演化過程中不會產生變化．

以下將通過對公式(1)和公式(2)中哈密頓量本征值進行分析,從而求出滿足以上要求的參數．將公式(1)中的哈密頓量進行對角化,H=R-1HdR.

(3)

求解相應的本征值方程H=R-1HdR可以得到以下方程組.

d/c+(-x2+iγ1+ω1) = 0,c/d+(-x2+iγ2+ω2) = 0,
d/c+(x1-iγ1-ω1+iy) = 0,c/d+(x1-iγ2-ω2+iy) = 0.

(4)

(5)

(6)

詳細的表達式可參見參考文獻[12]的補充材料．相關的兩組函數關系Γ2,3(γ2,Δω)如圖1所示,其中Δω和γ2的取值范圍分別為[0, 10]和[-1, 0]．從圖1可以看出,當Γ2(γ2,Δω)的實部在區間(-1,0)之間正值時,相應的Γ3(γ2,Δω)的實部在同一區間保持為零.因此在設計系統的哈密頓量時,可以在選定適當的損耗率γ2后,利用Γ2(γ2,Δω)和Γ3(γ2,Δω)的表達式準確控制增益率γ1.當要求系統的某一本征態快速衰減時,可以利用Γ3(γ2,Δω)選取相應的增益率(接近于零),從而使得另一個本征態保持基本不變;當要求體系的某一個本征態緩慢衰減,同時另一個本征態快速增強以達到目標態時,利用Γ3(γ2,Δω)選取相應比較大的增益率,從而使另一個本征態以指數形式快速增強以快速完成系統的演化.由式(2)還可以看出,系統的一個波函數將在 (γ1+γ2)>0時以指數形式增強,反之當(γ1+γ2)<0時呈指數衰減,同時另一個波函數基本保持不變．

圖1 增益率和損耗率實部之間的關系

2 數值模擬計算

以下我們將利用LZ模型以及以上的分析結果,對基于動力學的非厄密絕熱捷徑方法進行分析和討論．LZ模型的哈密頓量的一般形式為HLZ(ε,t)=σx-(ε2t)σz,對于一般形式的非厄密方法,當常數耦合強度ε較小時,完成體系的演化一般需要較長時間;增大耦合強度ε又會導致所需增益過大而不易于在實驗中實現．

根據對系統哈密頓量本征值和本征態的分析以及式(6)的結果,可以依次使系統按照兩個不同性質的哈密頓量進行演化．在第一階段的演化過程中,使第一個本征態迅速衰減,另一本征態保持基本不變;而在第二階段的演化中,使第一個本征態緩慢衰減,而第二個本征態快速增強．從而可以使得體系快速完成預期的演化過程．對兩個相應過程的增益和損耗的可以利用Γ2,3(γ2,Δω)的性質進行靈活、有效地設計,以達到加快演化速度、降低能耗的目的． 按此方案系統的哈密頓量為

(7)

式中,ti為系統演化的初始時間,T1和T2分別為兩個哈密頓量開始施加的時刻,θ(t)為階躍函數．

根據式(6)和式(7),利用非厄密絕熱捷徑方法進行數值模擬計算,以實現對系統量子態的快速操控．首先按照按量子態演化的要求選取ti=12.3,T1=12.3,T2=-11.5,然后在H1和H2中分別選取相關的參數.擬合結果為:ω1+iΓ3(γ2,Δω)=0+0.009i,ω2+iγ2=-10-0.95i,ω′1+iΓ3(γ′2,Δω′)=-0.01+2.857i,ω′2+iγ′2=0-0.35i．擬合得到的量子態占據概率隨時間的演化結果如圖2所示.從圖2中可以看出,體系可以在非常短的時間之內完成演化過程．同時可以看出,由于該方案的增益率和損耗率可以取不同的數值,因此可以更好地適用于不同的實驗條件,具有更廣泛的應用范圍．

圖2 非厄密體系占據概率P隨時間的演化

3 結語

通過對基于動力學的非厄密STA方法的分析和研究,實現了對量子態進行快速操控．在具體的設計過程中,用兩個連續進行的哈密頓量通過分別調控系統的增益和損耗率實現體系的快速演化． 由于該方法可以根據實驗條件的不同靈活設計不同的增益和損耗率,因此該方法不僅設計靈活、可靠,同時還具有適應范圍廣、能耗低的優點．因此這種方法在理論和實驗實現方面都具有潛在的優勢．對此方法的進一步推廣和應用將為更快操控量子態提供有效的幫助．