數學與哲學之間

摘 要：閱讀叔本華的哲學名著《人生的智慧》，梳理書中的數學元素，得到啟示：數學與哲學的聯系為落實數學學科德育構建了路徑，為數學教學中設置留白活動提供了參照。

關鍵詞：《人生的智慧》；數學哲學；學科德育；教學留白

在歷史上，數學與哲學有著緊密的聯系。哲學家總是被數學吸引。據說，柏拉圖學院在入口處刻著以下警句：“不懂幾何者勿入。”在大規模學科分科之前，很多數學家也是哲學家，如笛卡兒、羅素等。當代數學哲學家夏皮羅（S.Shapiro）認為，有多種理由將數學與哲學聯系起來：第一，它們都屬于為理解我們周圍世界所做的最初的理智上的嘗試；第二，數學是哲學家一個重要的研究案例；第三，數學幾乎在所有以理解物質世界為目的的科學中都扮演著核心的角色。［1］

近期，筆者閱讀了著名哲學家叔本華（A.Schopenhauer，1788—1860）的哲學名著《人生的智慧》，試圖在獲得人生的智慧啟迪的同時，探尋數學與哲學的聯系，得到關于數學教育的啟示。

一、 叔本華與《人生的智慧》

叔本華誕生于但澤（今波蘭的格旦斯克）的一個異常顯赫的富商家庭。他自小就跟隨父母周游列國。在上大學之前，從15歲到17歲，更專門游歷了歐洲國家，在各種不同的語言、文化氛圍中實地接受熏陶。叔本華在哥廷根念大學的前兩年里，學習了物理學、礦物學、自然歷史、植物學，也旁聽了生理學、天文學、氣象學、人種學、法學的課。他留下來的筆記本密密麻麻地寫滿了他對聽課內容的肯定、否定、質疑、感想。廣泛、深入的知識為他以后成為哲學家鋪墊了必不可少的基礎。

叔本華很早就顯現出超群的思想能力，25歲左右就完成了哲學名篇《論充足根據律的四重根》，而為他奠定不朽哲學家地位的著作《作為意志和表象的世界》也是在29歲前完成的。

1820年1月，叔本華獲得了柏林大學講師的資格。1833年6月，45歲的叔本華在德國的法蘭克福安頓了下來，直到72歲去世。

叔本華一生并不得志，一直過著隱居的生活，到去世前幾年才獲得應有的聲譽。但他從不懷疑自己的天賦使命，而是堅信自己思想的價值，他高傲、堅韌的性格也導致他對待真理的問題完全不可能有妥協。

從早年起，他就筆耕不輟，隨時把自己的思考記錄下來，并整理成著作。

到1844年，叔本華已經寫下討論廣闊話題的文章。他希望出版商能把擴充了內容的《作為意志和表象的世界》再版發行。但是，鑒于這本著作第一次出版遭受的冷遇，出版商熱情不大，最后只是很不情愿地出版了兩冊本的擴充本。

到1850年，叔本華一生中的最后一部巨著《附錄和補遺》終于完成。費盡周折、經歷耽誤和失望之后，他的密友和崇拜者弗勞恩斯塔德終于成功說服柏林一家出版商把這兩冊著作付梓出版，印數只有750本。《人生的智慧》一書取自《附錄和補遺》，它其實是獨立成書的。這本書討論的話題與我們的世俗生活十分接近，如健康、財富、名聲、榮譽和待人接物所應遵守的原則等。正如叔本華所說，在這本書里，他盡量從世俗、實用的角度考慮問題。因此，這本書尤其適合大眾閱讀。［2］

二、 《人生的智慧》中的數學元素

在《人生的智慧》中，叔本華借助諸多數學概念與性質，充分闡釋了其哲學思想和觀點。以下做簡要的梳理。

（一） 分數與財富

在數學中，分數mn的大小是由分子m和分母n的大小共同決定的。叔本華從分數的這一性質入手，闡述了其對財富的看法：

一個人在擁有財產方面能否得到滿足并不由某一財產的絕對數量所決定。這其實取決于一個相對的數量，也就是說，由一個人所期待得到的財產和自己已經實際擁有的財產之間的關系決定。因此，僅僅考察一個人的實際擁有毫無意義，這種情形就猶如在計算一個分數時，只計算分子而忽略了分母一樣。當對某樣東西的要求還沒有進入一個人的意識的時候，這個人完全不會感覺到對它有所欠缺。沒有這樣東西，他照樣心安理得。但一個擁有百倍以上財產的人，只要他對某樣東西產生了要求，而又得不到它，那他就會感到怏怏不樂。［3］

這里，叔本華通過分數的大小說明：人們需要給自己對財富獲取的欲望界定一個限度，否則，就難以擺脫人生的匱乏和操勞。

（二） 正比例與社交

在數學中，如果兩個量的比值總是一定的，我們就說，這兩個量成正比例。叔本華利用正比例關系，論述了其對社交的認識：

在獨處的時候，每個人都只能返求于自身，這個人的自身擁有就會暴露無遺。因此，一個愚人背負著自己可憐的自身——這一無法擺脫的負擔——而嘆息呻吟。而有著優越精神思想稟賦的人卻以其思想使所處的死氣沉沉的環境變得活潑和富有生氣……我們可以發現：大致而言，一個人對與人交往的熱衷程度，與他智力的平庸及思想的貧乏成正比。［4］

這里，叔本華通過正比例關系說明了豐富的精神思想的可貴，否則，即使熱衷于與人交往，也不能填補內心的空虛。

（三） 反比例與學習

與正比例相反，當兩個量的乘積總是一定時，我們就說，這兩個量成反比例。關于社交，叔本華還從另一個角度說明了其與年齡的關系：

我們的年齡和我們對社交的熱衷程度成反比——在這里，我們還可以發現哲學上的目的論發揮了作用。一個人越年輕，他就越需要在各個方面學習。這樣，大自然就為年輕人提供了互相學習的機會。人們在與自己相仿的人交往時，也就是互相學習了。在這方面，人類社會可被稱為一個龐大的貝爾·蘭卡斯特模式的教育機構。一般的學校和書本教育是人為的，因為這些東西遠離大自然的計劃。所以，一個人越年輕，他就越感興趣進入大自然的學校——這合乎大自然的目的。［5］

由此可見，叔本華沒有完全否定社會交往的作用，他利用反比例關系說明了年輕人社交的重要性，鼓勵年輕人在獲得豐富的精神世界之前，通過交往來促進互相學習。

（四） 圓與自控

在數學中，圓是一類基本圖形。叔本華利用圓心、半徑與周長的關系，說明了其關于自控的思考：

當然，能夠自如地支配自己，自我約束是必不可少的——要做好任何事情莫不如此。為達到這一目的，我們必須強化這一想法：每個人都必須承受許許多多來自外在的艱難制約，沒有了這些制約，生活也就不稱之為生活了。對自己適時的小小約束會在以后的日子里避免許多外在的桎梏，這正如在一個圓圈里，緊靠著圓心的小圓圈對應著圓周圈，后者經常比前者大上百倍以上。約束自己比任何其他手段都更有效地使我們避免了外在束縛。［6］

這里，叔本華利用圓的特征說明了自我約束的重要性：與其抵御來自外界的如同圓周般巨大的制約，不如對自己的內心施加一些小小的約束。

（五） 周期性與生活

在數學中，周期性被用來刻畫“周而復始”的變化規律。叔本華基于“周期”這一概念，提出了著名的“人生鐘擺說”：

痛苦和無聊是人類幸福的兩個死敵。關于這一點，我可以做一個補充：每當我們感到快活，在我們遠離上述一個敵人的時候，我們也就接近了另一個敵人，反之亦然。所以說，我們的生活確實就是在這兩者中或強或弱地搖擺。這是因為痛苦與無聊之間的關系是雙重的對立關系。一重是外在的，屬于客體；另一重則是內在的，屬于主體。外在的一重對立關系其實也就是生活的艱辛和匱乏產生痛苦，而豐裕和安定就產生無聊……而內在的或者說屬于主體的痛苦與無聊之間的對立關系則基于以下這一事實：一個人對痛苦的感受能力和對無聊的感受能力成反比，這是由一個人的精神能力的大小所決定的。［7］

以上觀點指出，人們的生活在痛苦和無聊之間重復著周期性的運動。因此，大多數人認為叔本華的觀點過分悲觀。實際上，叔本華進一步指出，這種周期性的運動是由于人內在的空虛所導致的，一個精神富足的人能夠走出人生的鐘擺，從而使得自身始終處于一種平衡的狀態。

三、 對數學教育的啟示

《人生的智慧》一書表明，夏皮羅的論述可以進一步擴展為“數學在以理解人生與世界為目的的哲學中扮演著重要的角色”。同時，數學與哲學之間的聯系，也給中小學數學教育帶來了一些啟示。

（一） 數學與哲學的聯系，為落實數學學科德育構建了路徑

立德樹人是當今教育的根本任務。如何在教學過程中落實立德樹人，是數學教育研究的重要課題。

在《人生的智慧》一書中，數學元素蘊含了豐富的德育內涵。在理性方面，叔本華教導人們，學會對自我的約束和控制，將對外部物質條件的追求限定在合理的程度。在情感方面，叔本華勸誡大家，增加對精神思想的追求，因為那才是真正高級的樂趣——最好是“老老實實地走進學問的天地中”，享受如“江上的清風與山間的明月”般取之不盡、用之不竭的人類精神財富（知識寶藏）［8］。在品質方面，叔本華更是提到了多種需要培養的優良品質，包括克制、好學、自省等。特別地，叔本華一直強調人的幸福主要來自自身豐富的精神世界。在數學教學中滲透這一思想（這樣的數學價值觀），有利于彰顯數學的內在價值，幫助學生克服浮躁和功利的心態，從而專注于對數學的純粹思考與學習。

（二） 數學與哲學的聯系，為數學教學中設置留白活動提供了參照

在書畫藝術創作中，留白是指為使整個作品的畫面、章法更為協調、精美而有意留下相應的空白，留有想象的空間。隨著我國的課堂教學從被動學習到主動學習的轉向，教學留白逐漸成為教育改革的重要理念之一。

在數學教學中，留白具有多種表現形式。其中，超越知識自身、指向思想和精神目標的“白”被稱為“超越之白”，而用數學來思考人生是“超越之白”的高層次體現。［9］《人生的智慧》一書中，無處不彰顯著叔本華對數學與人生的思考。基于這些素材，我們可以在數學教學中更好地設置“超越之白”的留白與補白活動。比如，學生學習“正比例”后，教師可以提問學生：生活中的哪些事物存在正比例關系？學生暢所欲言之后，教師可以進一步強調：各位同學的努力與成績、思想與幸福也有正比例關系。如此，鼓勵學生努力學習、提升自我。

（三）數學教師發展的方向

隨著基礎教育課程改革的深入發展，無論是創新育人方式，還是發展學生的核心素養，都有賴于跨科學內容的教學。［14］隨著STEM教育、創客教育等跨學科教育深入基礎教育領域，教師的教學勝任力發生了從學科教學素養向跨學科教學素養的進階式轉變。［15］從以上內容中可以發現，數學與哲學的聯系，為數學教師提升跨學科素養指明了方向。

在數學教師專業發展活動中，可以針對數學教師跨學科素養的提升設置多樣化的活動。以叔本華《人生的智慧》為例，教師教育者可以將叔本華作為跨學科學習的榜樣，強調正是叔本華對物理學、自然歷史、天文學、法學等不同學科的廣泛涉獵與思考為他之后的哲學研究提供了必不可少的基礎，從而增強教師的跨學科意識。同時，可以組織數學教師采用閱讀分享的方式，交流《人生的智慧》中的數學元素——這正是叔本華提倡的自然的學習方式。此外，還可以帶領數學教師開展相關的課例研究，有意識地將《人生的智慧》中的數學元素融入日常的數學教學中，從而促進數學學科德育的落實以及數學教學中“超越留白”活動的設置。

最后需要指出的是，本文主要以叔本華的《人生的智慧》為例，說明了數學與哲學的聯系。其實，仍有眾多哲學家及其哲學著作有待進一步挖掘。相信隨著未來相關研究的逐漸增多，必將為中小學數學教育的跨學科融合提供更多的啟示及借鑒。

參考文獻：

［1］斯圖爾特·夏皮羅.數學哲學——對數學的思考［M］.郝兆寬，楊睿之，譯.上海：復旦大學出版社，2009： 56.

［2］［3］［4］［5］［6］［7］叔本華.人生的智慧［M］.韋啟昌，譯.北京：中央編譯出版社，2011：17，20，2223，4546，167，179.

［8］張五常.吾意獨憐才——五常談教育［M］.北京：中信出版社，2010：86.

［9］王華，汪曉勤.中小學數學“留白創造式”教學——理論、實踐與案例［M］.上海：華東師范大學出版社，2023：7981.

（沈中宇，蘇州大學數學科學學院，博士后。《中學數學月刊》編委。主要研究方向：數學史與數學教育、數學教師教育。）

*本文系江蘇省高校哲學社會科學研究2022年度一般項目“中小學教師學科育德能力評價指標體系構建研究”（編號：2022SJYB1444）、上海市立德樹人數學教育教學研究基地研究項目“數學課程中落實立德樹人根本任務的研究”（編號：A8）、上海市第四期雙名工程課題“中小學數學留白創造式教學”的階段性研究成果。