淺談大學物理教學中微分和積分思想的應用

趙朝軍 張 昱

西安工商學院 陜西西安 710200

1 概述

大學物理是理工科專業學生的一門基礎課,學生通過課程的學習,可以充分借助高等數學工具解決物理學中的大量實際問題,從而具備定量計算的能力,進一步促進學生工程技術素養的提升。

在高等數學中,微分的中心思想是無限分割。設函數y=f(x)在x0的某一領域內有定義,當x在x0處取增量Δx時,如果Δy能夠寫成Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=A·Δx+o(Δx)(A與Δx無關),那么稱y=f(x)在點x0可微,A·Δx稱為y=f(x)在點x0的微分,可以記作dy|x=x0或者df(x0),即dy|x=x0=A·Δx,微分是函數改變量的線性主要部分,此處給定一元型的微分。當然,在實際的問題中,還會涉及多元型和高階型的微分。早在希臘時期,人類就開始研究極限、無窮分割等概念,當時由于客觀條件的制約,研究的某些結論并不完全正確,卻體現了人類研究微分的第一步。17世紀時期,費馬提及計算函數的極大值和極小值的步驟,這實際上已被現代微分學所用,即設函數導數為零,進而求出函數極點的方法。另外,巴羅透過微分三角形求出切線的方程,這和現代微分學中用導數求切線的方法是一樣的,可見人類在17世紀已經掌握了微分的要領。

17世紀的中期,微分和積分仍然被看作兩個獨立的概念,但是,牛頓和萊布尼茨經過大量深入的研究,通過牛頓—萊布尼茨公式將微分和積分巧妙地連接起來,說明了積分是微分的逆運算,微分也是積分的逆運算,這是微積分發展歷史上非常重要的時刻,也是微積分理論中的重要基石。

2 大學物理中的微分和積分思想應用實例

2.1 計算剛體的轉動慣量

2.2 計算帶電體的電量

如圖2,有一帶電量為+q,半徑為R均勻帶電細圓環,當求解圓環軸線上距環心O為x處一點a的電勢時,把帶電圓環分割成許多可看作點電荷的電荷元,記每一個電荷元的電量為dq,每個電荷元到a點的距離均為r。

圖2

2.3 計算曲線的長度

圖3

3 大學物理教學與高等數學微分、積分教學的融合

高等數學對大部分理工科學生而言,學習過程中比較抽象,對學生的邏輯思維、運算能力有較高的要求,高等數學是順利解決其他學科問題的重要工具,其中的函數極限和微積分部分是貫穿于高等數學中的重要內容,是整個高等數學學習的核心。當教師展開微分和積分教學時,需要教師在教學過程中引入大量生動的、形象的實例,幫助學生理解微分和積分公式所蘊含的意義,拓展學生思維,由淺入深、由簡到難開展高等數學的教學,而大學物理中恰好有大量的實例可以參考和使用。

大學物理中關于微分和積分的生動實例比較多。除了上述詳細介紹的實例,例如可以用微積分解決速度和加速度的問題,也可以解決質點的受力情況,即質點動力學中常見的兩類問題,一類是已知質點的受力情況,求解質點的運動狀態,此類問題通常可以用高等數學中的積分知識解決;另一類是已知質點的運動狀態,求解作用于質點的力,此類問題一般用高等數學中的微分知識處理。此外,利用微積分知識可以處理物理學中遇到的變力做功問題,也可以解決不規則形狀導體所受到的安培力及感應電動勢的計算相關問題。

平時的大學物理教學中,作為授課教師應該從以下幾個方面去挖掘高等數學中的微分和積分知識。第一,要熟悉大學物理中基本的物理模型,比如質點、剛體、彈簧振子等,熟悉這些基本的物理模型運動的特征。對于質點,不考慮其大小,但需要考慮質點的質量,在高等數學建立模型時,引入質點模型,會使得比較復雜的數學問題進一步簡化。

圖4

第三,作為大學物理授課教師,要能夠向學生科學解釋大學物理中微分和積分相關的公式所隱藏的本質和規律。麥克斯韋方程組全面地反映了電場和磁場的基本性質,真空中電磁場的四個基本方程形式如下:

(1)

(2)

(3)

(4)

如果考慮空間存在磁介質和電解質,表達式(1)的形式變形為表達式(5),表達式(4)的形式可以變形為表達式(6)。

(5)

(6)

結語

結合上面的分析和探究,在大學物理平時的教學過程中,巧妙地引入高等數學中的微分和積分思想,利用微分和積分工具有效地解決了實際的物理問題,教師能夠依據計算公式向學生闡釋公式背后隱藏的物理本質及規律,從而體現了大學物理教學的嚴謹性、科學性和趣味性,更好地促進了大學物理教學。高等數學中的微分和積分思想應該被廣泛地應用到實際的大學物理教學中,讓微分和積分工具發揮更充分的作用。