基于全國大學生數學競賽的理念下泰勒公式的應用

阿布力米提·孜克力亞 呂 軍 庫福立

新疆農業大學數理學院 新疆烏魯木齊 830052

高校開展數學競賽能夠開發學生的智力,促進學生的智力發展,數學競賽題目每年都增加廣度創新,看似簡單的題實則涉及多個知識點融合,需要學生有一定的洞察能力。近年來,國內有很多學者已經對大學生數學競賽試題開展了針對性的教學研究,發表了相關教研論文,以及對競賽試題從各個角度出發進行了全面深入的討論。數學專業課或公共數學課教材對泰勒公式在解題中的應用內容較少,缺乏介紹相關方面的綜合性應用。泰勒公式是函數逼近理論中的核心內容之一,泰勒公式內容較抽象,教學過程中學生經常會死記硬背公式,很難掌握對此公式的靈活運用,但利用泰勒公式可以將數學中的很多復雜問題轉化為簡單的問題。為了能夠進一步提高學生解題正確率,教師應指導學生對競賽試題進行剖析,尋找多樣化的解題方法。

1 泰勒公式

定理1:如果函數f(x)在x處具有n階導數,那么存在x0的一個鄰域,對于該鄰域內的任一x,有:

當x0=0時,泰勒公式就變成帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式,即:

定理2:如果函數f(x)在x0的某個鄰域U(x0)內具有n+1階導數,那么對于任x∈U(x0),有:

當x0=0時,泰勒公式就變成帶有拉格朗日余項的麥克勞林公式,即:

2 泰勒公式應用

2.1 計算極限中的應用

分析:當x→0時,泰勒公式展開可得,

tan2x-sin2x=tan2x(1-cos2x)

=tan2x(1-cosx)(1+cosx)～x4

代入原式,有:

分析:這是2012年大學生數學競賽非數學專業類試卷中的一道極限題,我們可以適當變形,再利用洛必達法則進行求解,但這個過程相對煩瑣,所以我們將函數展開成帶有拉格朗日余項的一個表達式,再簡化即可。

于是:

=+∞.

2.2 判斷無窮級數的斂散性中的應用

雖然在教材中沒提利用泰勒公式判斷級數和廣義積分斂散性的應用,但是實際在較復雜的問題中起著很好的作用,通過應用泰勒公式對無窮小量進行估計,從而很巧妙地判定級數及廣義積分的斂散性。全國大學生數學競賽試卷中出現的關于判斷無窮極數的斂散性的題,表達式較復雜的情況下,不適合運用高等數學教學中所學的判斷方法,此刻我們就將式子泰勒展開,并相應地近似代替,再用教材上的方法來判斷。

于是有,

可見,當p>0時,級數收斂;當p≤0時,級數發散。

2.3 微積分不等式的證明中的應用

在高等數學中,證明不等式的方法有很多,對于微分不等式和積分不等式,我們就需要用微分中值定理或帶有拉格朗日余項的泰勒公式,再適當地放縮來證明,不僅如此,如果函數f(x)是高階導數都存在,且已知各階導數的上下界,就用帶有拉格朗日余項的泰勒公式證明,還可以用類似的方法證明一些復雜函數或抽象函數的不等式。

例4:已知f(x)在[0,2]上二階可導,且

證明:對任意的x∈[0,2],|f′(x)|≤2。

分析:將函數泰勒展開,取特殊點的函數值再進行放大。

分別取y=0和y=2,得:

兩個式子相減再化簡,任意的x∈[0,2],有:

即x∈[0,2],|f′(x)|≤2。

分析:將函數泰勒展開再用放縮法即可。

證明:將函數展開成帶有拉格朗日中值余項的泰勒公式,得:

兩邊取區間[a,b]上的定積分,所以:

兩邊取絕對值,得:

求證:在[-1,1]上函數f(x)恒為零。

當|C|=1時,對任意的-1≤x≤1,有:

結論成立。

類似可得,當x-x0∈[-x0,x0]時(x∈[0,2x0]),f(x)恒為零,對點x0處類似討論,可以把區間[-x0,0]擴大到[-2x0,0];然后在點±x0處討論,可以繼續擴大至區間[-1,1],因此結論成立。

結語

大學生數學競賽試題中,經常會出現一些運用泰勒公式來解決的問題,不同的問題中用帶有不同余項的泰勒公式,為了有效地提升數學解題質量,應當準確辨析所有解題方法,但泰勒公式不是萬能公式,它有它特有的條件,必須是函數可以n階的連續可導函數,如選用泰勒公式可以起到事半功倍的效果,但解題過程中不能局限于套用泰勒公式,應根據題目特點確定將式子展開到哪一項。泰勒公式不僅可以應用在上述幾點,也可以用到函數極值判斷之中,這樣能夠進一步拓展學生所學的知識,也會增強學生解題的多樣化,讓其在數學競賽中更加自信,思路更清晰,從而有效地加深對知識點的把握,讓整個解題過程變得更加靈活,在后續課程中泰勒公式的學習有重要的應用,如數值分析中幾個迭代公式的推導、數學物理方程中重要公式的推導。