“高等代數(shù)”“實(shí)踐—理論—實(shí)踐”教學(xué)模式研究

周慧倩

洛陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 河南洛陽(yáng) 471022

1 概述

“高等代數(shù)”是高校數(shù)學(xué)及相關(guān)專(zhuān)業(yè)的核心基礎(chǔ)課程,不僅是學(xué)習(xí)后繼課程的基礎(chǔ),還是解決許多實(shí)際問(wèn)題的工具。但由于“高等代數(shù)”概念性強(qiáng)、內(nèi)容高度抽象以及邏輯推理繁多的特點(diǎn),一直以來(lái),沿用傳統(tǒng)的教材和教法,缺少人文主義精神和趣味性,也缺少理論與實(shí)際的聯(lián)系。學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)沒(méi)有興趣,不是主動(dòng)學(xué)習(xí)的探索者,學(xué)生普遍只會(huì)套用解題、不能真正理解、不知用在何處。而到后繼課程或者實(shí)際中用到的時(shí)候,又不能靈活運(yùn)用,學(xué)生的學(xué)習(xí)效果并不理想,更談不上創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力的培養(yǎng)。近50年來(lái),很多教學(xué)工作者也做了大量的改革嘗試,但指導(dǎo)思想和基本內(nèi)容無(wú)大的變化?？傮w看來(lái),仍然沒(méi)有擺脫重理論、輕應(yīng)用、重公式推導(dǎo)、輕數(shù)值計(jì)算的弊端,因此“高等代數(shù)”教學(xué)的改革還任重道遠(yuǎn)。

教育學(xué)研究表明,當(dāng)學(xué)生對(duì)所學(xué)的內(nèi)容感興趣時(shí),才會(huì)主動(dòng)地學(xué)習(xí)并在學(xué)習(xí)活動(dòng)中找到樂(lè)趣,從而實(shí)現(xiàn)有效的學(xué)習(xí)。相反,沒(méi)有興趣的學(xué)習(xí)將是枯燥、被動(dòng)而低效的。通過(guò)實(shí)踐引入知識(shí),再把知識(shí)用于實(shí)踐,能夠很好地激發(fā)學(xué)生的興趣和動(dòng)力,從而改變理論知識(shí)枯燥無(wú)味、學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)的局面,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果以及實(shí)踐能力。因此,為了使學(xué)生能夠主動(dòng)、有效地學(xué)習(xí)“高等代數(shù)”這門(mén)課程,并能夠熟練掌握并靈活運(yùn)用,我們嘗試探索“實(shí)踐—理論—實(shí)踐”的教學(xué)模式:先舉實(shí)例歸納特點(diǎn),然后抽象為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)概念并探索性質(zhì),最后介紹推廣領(lǐng)域及實(shí)踐應(yīng)用實(shí)例。

2 研究過(guò)程

本課題的研究通過(guò)以下四個(gè)方面來(lái)進(jìn)行。

2.1 與解析幾何相結(jié)合,通過(guò)幾何直觀背景引入抽象的代數(shù)概念

“高等代數(shù)”和“解析幾何”是高校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的兩大基礎(chǔ)課,前者抽象嚴(yán)謹(jǐn),后者形象直觀。在內(nèi)容上,兩門(mén)課有著密切的聯(lián)系,代數(shù)為幾何提供解決方法,幾何為代數(shù)提供背景。解析幾何的很多問(wèn)題用代數(shù)的知識(shí)來(lái)解決,而代數(shù)的很多概念用可以從幾何中抽象而來(lái)。在講解抽象的代數(shù)概念時(shí),如果能用幾何解釋或者給出幾何模型,將對(duì)理解抽象的概念非常有幫助,然后再反過(guò)來(lái)把代數(shù)概念運(yùn)用到解決幾何問(wèn)題上,并通過(guò)數(shù)學(xué)軟件作圖進(jìn)行直觀展示,這樣可以在很大程度上消除“高等代數(shù)”課程的抽象感,同時(shí)提高學(xué)生用代數(shù)知識(shí)解決幾何問(wèn)題的能力。

行列式、線(xiàn)性方程組、向量的線(xiàn)性相關(guān)性、線(xiàn)性空間、線(xiàn)性變換以及二次型等很多概念都可以從幾何引入并應(yīng)用于幾何。針對(duì)這些問(wèn)題,我們制作了PPT課件《“高等代數(shù)”概念的幾何引入及直觀展示》《二次型與二次曲線(xiàn)和二次曲面》、設(shè)計(jì)討論課《三個(gè)平面的相對(duì)位置》、撰寫(xiě)論文《幾何直觀融入高等代數(shù)教學(xué)的探索與實(shí)踐》《基于“解析幾何”精品課程建設(shè)的教學(xué)改革與評(píng)價(jià)方式改革》,并提出了將代數(shù)與幾何并教學(xué)的構(gòu)想,制作PPT課件《高等代數(shù)與解析幾何合并教學(xué)的探討》。我們及時(shí)將這些設(shè)計(jì)應(yīng)用于課堂教學(xué),取得了良好的效果。

典型案例一:二、三元線(xiàn)性方程組的幾何意義。

在幾何上,一個(gè)二元一次方程表示的是一條直線(xiàn),兩個(gè)方程的二元線(xiàn)性方程組的解的情況可以反映兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系:

(1)兩直線(xiàn)相交?該方程組有唯一解;

(2)兩直線(xiàn)平行?該方程組無(wú)解;

(3)兩直線(xiàn)重合?該方程組有無(wú)窮多解。

多個(gè)方程的二元線(xiàn)性方程組在幾何上則反映多條直線(xiàn)的位置關(guān)系。

下面通過(guò)具體例子用Matlab作圖展示。

例1:

(2)

(4)

以方程組(1)為例:在Matlab的M文件編輯器中,輸入:

syms x1 x2 %定義x1、x2為符號(hào)變量

U1=rref([1,2,5;2,-3,-4]) %把增廣矩陣通過(guò)初等行變換變?yōu)樽詈?jiǎn)階梯矩陣

subplot(2,2,1) %準(zhǔn)備畫(huà)2×2個(gè)圖形中的第一個(gè)

ezplot('x1+2*x2=5') %繪制直線(xiàn)x1+2*x2=5

hold on %保留原來(lái)圖形

ezplot('2*x1-3*x2=-4') %再繪制直線(xiàn)2*x1-3*x2=-4

title('x1+2*x2=5 2*x1-3*x2=-4') %在圖上標(biāo)注x1+2*x2=5 2*x1-3*x2=-4

grid on %顯示網(wǎng)格

繪制圖形如下:

類(lèi)似可討論三元線(xiàn)性方程組,它的解的情況在幾何上反映空間中平面之間的位置關(guān)系。

典型案例二:線(xiàn)性空間中,線(xiàn)性變換y=Αx(其中A為方陣)的幾何意義。

例2:平面上,線(xiàn)性變換y=Αx表示將向量x逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度。討論經(jīng)過(guò)線(xiàn)性變換yi=Aix(i=1,2,3,4),向量在幾何上所發(fā)生的變化。

用Matlab作圖如下:

2.2 滲透建模思想,結(jié)合其他學(xué)科,合理運(yùn)用教學(xué)軟件

“高等代數(shù)”的內(nèi)容雖然比較抽象,但都是來(lái)源于實(shí)際問(wèn)題、為解決實(shí)際問(wèn)題而引入,其中涉及的多數(shù)概念和方法都有很強(qiáng)的實(shí)際背景。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,社會(huì)的信息化、定量化不斷加深,使得代數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。原來(lái)大家認(rèn)為抽象的代數(shù)方法如今在管理學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生命科學(xué)、地理科學(xué)以及語(yǔ)言學(xué)等方面都發(fā)揮了重要的作用,并發(fā)展出了計(jì)算機(jī)代數(shù)、代數(shù)編碼理論、代數(shù)圖論等諸多應(yīng)用學(xué)科,因此“高等代數(shù)”課程具備極其豐富的數(shù)學(xué)模型題材。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中,無(wú)論是在數(shù)學(xué)概念的講解中,還是在對(duì)問(wèn)題的分析以及思維的拓展上,不斷反復(fù)地強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模的思想,并適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用Matlab和mathematics等數(shù)學(xué)軟件,將數(shù)學(xué)建模思想融合到每一個(gè)教學(xué)細(xì)節(jié)上,對(duì)我們學(xué)生掌握好數(shù)學(xué)知識(shí),在實(shí)踐中熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí),培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力,都具有很大的幫助。

針對(duì)這一思想,我們?cè)谡n堂上講授矩陣概念的時(shí)候,通過(guò)城市之間的航班情況、石頭剪刀布的零和問(wèn)題等來(lái)引入;講授行列式時(shí),通過(guò)貨物交換的經(jīng)濟(jì)模型和費(fèi)用分?jǐn)倖?wèn)題來(lái)引入;講授特征值和特征向量的時(shí)候,通過(guò)昆蟲(chóng)繁殖產(chǎn)卵的問(wèn)題來(lái)引入;講授線(xiàn)性方程組時(shí),結(jié)合我們熟悉的交通問(wèn)題,設(shè)計(jì)了一節(jié)討論課“線(xiàn)性方程組和交通流量問(wèn)題”;設(shè)計(jì)行星軌道計(jì)算問(wèn)題,這個(gè)可以用線(xiàn)性方程組理論和最小二乘法來(lái)解決。

典型案例一:矩陣概念的引入。

例3:航空公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)城市之間開(kāi)辟航線(xiàn),下圖表示了四個(gè)城市間的航班圖,如果從甲到乙有航班,則用帶箭頭的線(xiàn)連接甲與乙,若兩城市之間沒(méi)有航班則不連線(xiàn):

則上圖可以用矩陣表示為:

典型案例二:行星軌道問(wèn)題。

例4 一天文學(xué)家要確定一顆小行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道,他在軌道平面內(nèi)建立以太陽(yáng)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系,在兩坐標(biāo)軸上取天文測(cè)量單位(一天文單位為地球到太陽(yáng)的平均距離:1.4959787×1011m)。在5個(gè)不同的時(shí)間對(duì)小行星做了5次觀察,測(cè)得軌道上5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)如下表:

x1x2x3x4x5x坐標(biāo)5.7646.2866.7597.1687.408y1y2y3y4y5y坐標(biāo)0.6481.2021.8232.5263.360

由開(kāi)普勒第一定律知,小行星軌道為一橢圓。請(qǐng)建立小行星軌道的方程:ax+bxy+cy2+dx+ey=1,并確定橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)、長(zhǎng)軸、短軸的長(zhǎng)度。

對(duì)如上實(shí)例的求解實(shí)際上是解一個(gè)線(xiàn)性方程組,但就實(shí)際意義而言,觀測(cè)數(shù)據(jù)總是有誤差的,因此,觀測(cè)的數(shù)據(jù)越多對(duì)我們計(jì)算越有利,但是若有更多的數(shù)據(jù),則得到的方程組可能無(wú)解,但可以由此引入線(xiàn)性回歸最小二乘數(shù)學(xué)模型得到需要的解。

2.3 結(jié)合歷史背景和人物介紹以及前景介紹

大多數(shù)《高等代數(shù)》教材都側(cè)重于系統(tǒng)、抽象的理論介紹,而對(duì)這門(mén)學(xué)科的發(fā)展歷程和相關(guān)概念、方法的產(chǎn)生背景很少提及,這就導(dǎo)致學(xué)生很難體會(huì)到代數(shù)學(xué)的重要性,不理解它作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)基石的意義何在。針對(duì)這一弊端,我們根據(jù)課程內(nèi)容,在教學(xué)中適當(dāng)增加了代數(shù)學(xué)發(fā)展相關(guān)背景以及關(guān)鍵數(shù)學(xué)家人物的介紹,專(zhuān)門(mén)制作了課件《高等代數(shù)發(fā)展簡(jiǎn)介》,以備使用。學(xué)習(xí)集合相關(guān)理論時(shí),穿插介紹集合論奠基人康托爾的生平事跡、集合論的發(fā)展歷程,使學(xué)生了解集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ);數(shù)學(xué)歸納法是“高等代數(shù)”中非常重要的一種理論證明方法,為了讓學(xué)生熟練掌握,我們?cè)O(shè)計(jì)了一次討論課“數(shù)學(xué)歸納法”,介紹第一第二歸納法的背景、原理、證明和使用;學(xué)習(xí)行列式時(shí),介紹行列式的發(fā)展過(guò)程,包括行列式的最早提出者日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和及德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲的生平,范德蒙德、拉普拉斯等數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn),以及行列式與中國(guó)數(shù)學(xué)的關(guān)系;在講授代數(shù)基本定理時(shí),介紹古今中外的數(shù)學(xué)家對(duì)代數(shù)方程求根的探索、費(fèi)馬大定理的提出與證明、數(shù)學(xué)天才阿貝爾伽羅瓦的故事,這些數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)對(duì)整個(gè)代數(shù)學(xué)乃至數(shù)學(xué)各學(xué)科產(chǎn)生的重要影響等。這樣在一定程度上活躍課堂氣氛、增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,并且可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力及數(shù)學(xué)家的不懈追求和奉獻(xiàn)精神。

2.4 注重教學(xué)延伸,引導(dǎo)學(xué)生深入思考

在一些理論的學(xué)習(xí)中,如果僅僅停留在教材表面,不做深入探索與思考,那么對(duì)知識(shí)的理解也不夠深刻,知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系也不清楚,解決綜合問(wèn)題就會(huì)很困難。因此,我們應(yīng)注重教學(xué)延伸,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題深入思考,多挖掘各理論之間的聯(lián)系。比如,在學(xué)習(xí)初等變換求矩陣的逆時(shí),啟發(fā)學(xué)生探索一個(gè)矩陣作初等變換之后,相應(yīng)矩陣的逆矩陣發(fā)生什么變化,為此我們?cè)O(shè)計(jì)討論課“初等變換對(duì)逆矩陣的影響”;后面學(xué)習(xí)特征值、矩陣對(duì)角化時(shí),啟發(fā)學(xué)生探索相應(yīng)的反問(wèn)題,比如已知一個(gè)矩陣的特征值和特征向量,如何反過(guò)來(lái)求該矩陣,該矩陣是否唯一,這個(gè)問(wèn)題的討論還要用到“初等變換對(duì)逆矩陣的影響”的相關(guān)結(jié)論。

在課題研究和實(shí)踐過(guò)程中,項(xiàng)目組成員還撰寫(xiě)了《關(guān)于線(xiàn)性代數(shù)教學(xué)的探討》《關(guān)于逆序數(shù)相同的n級(jí)排列個(gè)數(shù)的討論》《一類(lèi)六對(duì)稱(chēng)五次多項(xiàng)式系統(tǒng)等時(shí)性的判定》《大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的探索》《教學(xué)效果評(píng)價(jià)方法研究》等教學(xué)研究論文。

3 總結(jié)

通過(guò)兩年的探索、嘗試以及課堂實(shí)施,這種“實(shí)踐—理論—實(shí)踐”的教學(xué)模式初步形成,我們的研究取得了很好的效果:通過(guò)幾何直觀和數(shù)學(xué)模型引入概念,注重知識(shí)的來(lái)源與應(yīng)用,很大程度上消除了“高等代數(shù)”課程的抽象感;引入發(fā)展背景和人物介紹、與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián)及前景展望,提高了學(xué)生的興趣和積極性;注重知識(shí)的延伸和應(yīng)用,通過(guò)實(shí)際案例,設(shè)計(jì)討論課,建立模型并用軟件解決,加深了學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這門(mén)課程的價(jià)值,有助于學(xué)生掌握嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)思想方法,鍛煉學(xué)生的邏輯思維和推理能力,從而培養(yǎng)學(xué)生解決生活生產(chǎn)實(shí)踐中遇到的實(shí)際問(wèn)題的能力。

關(guān)于“高等代數(shù)”的實(shí)踐教學(xué)改革,今后還有待進(jìn)一步研究,包括建立比較完善的課件資料庫(kù),形成一整套實(shí)踐教學(xué)方案,針對(duì)各種典型的知識(shí)點(diǎn)提供比較好的支持,從引入、理論學(xué)習(xí)到實(shí)踐都有系統(tǒng)有效的課程設(shè)計(jì)等。另外,我們把高等代數(shù)和解析幾何以及數(shù)學(xué)模型等課程相結(jié)合,和這些課程的沖突或者重復(fù)如何協(xié)調(diào),這也是一個(gè)需要解決的問(wèn)題。