核心概念統(tǒng)攝的“倍數(shù)與因數(shù)”單元整體構(gòu)析與教學(xué)建議

北京師范大學(xué)教育學(xué)部 北京市海淀區(qū)中關(guān)村第一小學(xué)教育集團(tuán)

摘要 數(shù)論是小學(xué)數(shù)學(xué)中非常重要的核心內(nèi)容，主要體現(xiàn)為“倍數(shù)與因數(shù)”單元內(nèi)容的學(xué)習(xí)。數(shù)論的教學(xué)既要幫助學(xué)生從倍數(shù)與因數(shù)的視角縱深認(rèn)識(shí)非零自然數(shù)的特征性質(zhì)，又要幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)理論證獨(dú)特的教育價(jià)值。本文以北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排為依托，重點(diǎn)討論核心概念統(tǒng)攝下數(shù)論單元整體教學(xué)建構(gòu)的育人價(jià)值及以倍數(shù)與因數(shù)為核心的數(shù)論內(nèi)容的核心內(nèi)涵，以期深度理解課程內(nèi)容之間的聯(lián)系，整體把握核心本質(zhì)問題，進(jìn)階設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)任務(wù)，同時(shí)結(jié)合相關(guān)內(nèi)容主題實(shí)踐提出數(shù)論單元教學(xué)實(shí)施的建議。

關(guān)? 鍵? 詞 數(shù)論 倍數(shù)與因數(shù) 單元整體教學(xué) 核心概念

引用格式 董文彬.核心概念統(tǒng)攝的“倍數(shù)與因數(shù)”單元整體構(gòu)析與教學(xué)建議[J].教學(xué)與管理，2023（29）：49-53.

數(shù)論是小學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，主要體現(xiàn)為“倍數(shù)與因數(shù)”單元內(nèi)容的學(xué)習(xí)。按 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指向，倍數(shù)與因數(shù)是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中“數(shù)的認(rèn)識(shí)”主題下第三學(xué)段的學(xué)習(xí)內(nèi)容[1]。倍數(shù)與因數(shù)作為數(shù)論的主要載體，是學(xué)生數(shù)的認(rèn)識(shí)的一次重大提升，在學(xué)生數(shù)概念的形成與發(fā)展中具有十分重要的作用。以“倍數(shù)與因數(shù)”為核心的數(shù)論內(nèi)容在小學(xué)數(shù)學(xué)中內(nèi)涵獨(dú)特、內(nèi)容生動(dòng)且極具理性思維的光芒，數(shù)論的教學(xué)既要幫助學(xué)生從倍數(shù)與因數(shù)的視角縱深認(rèn)識(shí)非零自然數(shù)的特征性質(zhì)，又要幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)理論證獨(dú)特的教育價(jià)值。本文以北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為依托，重點(diǎn)討論核心概念統(tǒng)攝下數(shù)論單元整體教學(xué)建構(gòu)的育人價(jià)值及以“倍數(shù)與因數(shù)”為核心的數(shù)論內(nèi)容的核心內(nèi)涵，以期深度理解課程內(nèi)容之間的聯(lián)系，整體把握核心本質(zhì)問題，進(jìn)階設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)任務(wù)。

一、核心概念統(tǒng)攝：數(shù)論單元整體教學(xué)建構(gòu)的育人價(jià)值

以核心概念為統(tǒng)攝，筆者首先對(duì)“數(shù)的認(rèn)識(shí)”主題內(nèi)容進(jìn)行了系統(tǒng)梳理與劃分，主題學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖如圖1。

對(duì)“數(shù)的認(rèn)識(shí)”之所以這樣劃分，依據(jù)的是數(shù)的認(rèn)識(shí)中的核心概念。整數(shù)（自然數(shù)）、小數(shù)、分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)中的核心概念都是計(jì)數(shù)單位，整數(shù)、小數(shù)的計(jì)數(shù)單位都是天然的十進(jìn)關(guān)系，分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位是分?jǐn)?shù)單位，需要重新建構(gòu)。其中，認(rèn)識(shí)整數(shù)的另一分支的核心概念是倍數(shù)與因數(shù)，以倍數(shù)與因數(shù)這兩個(gè)核心概念及其內(nèi)在聯(lián)系為線索，組織數(shù)論部分的知識(shí)內(nèi)容，從數(shù)的特征視角完成對(duì)整數(shù)（這里特指非零自然數(shù)）的深入再認(rèn)識(shí)。由此，筆者以倍數(shù)與因數(shù)這一組核心概念為主線，以北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排為依托，對(duì)數(shù)論部分的內(nèi)容進(jìn)行了單元整體教學(xué)建構(gòu)（如圖2），進(jìn)而實(shí)施各主題下具體內(nèi)容的進(jìn)階教學(xué)。

數(shù)論是小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)的認(rèn)識(shí)”主題中比較生動(dòng)且獨(dú)特的內(nèi)容。數(shù)論也即論數(shù)，確切地說，是對(duì)非零自然數(shù)的特征性質(zhì)進(jìn)行的深入探究、推理和論證。一方面，數(shù)論這部分內(nèi)容觸及了數(shù)的“肌理”，是從特征層面對(duì)非零自然數(shù)（即正整數(shù)）性質(zhì)的再認(rèn)識(shí)，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)概念的形成與發(fā)展；另一方面，數(shù)論通過倍數(shù)與因數(shù)相關(guān)核心概念知識(shí)的建構(gòu)學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)的“外貌特征”與“內(nèi)在性格”，感悟數(shù)的“共性”與“個(gè)性”，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、抽象思維，培養(yǎng)合情推理的能力、論證能力，在問題解決中培育數(shù)學(xué)的思維方式、思維習(xí)慣和理性的科學(xué)精神。

二、觸摸“肌理”：數(shù)論單元內(nèi)容核心本質(zhì)的內(nèi)涵分析

1.數(shù)論單元內(nèi)容從性質(zhì)特征視角為數(shù)的認(rèn)識(shí)提供全新的“橫斷面”

在小學(xué)階段，數(shù)的認(rèn)識(shí)主要包括整數(shù)（自然數(shù)）、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，這三類數(shù)都是以計(jì)數(shù)單位這一核心概念為主線分學(xué)段、分內(nèi)容進(jìn)階認(rèn)識(shí)的。在這條主軸線中，如果縱向軸切開，其實(shí)每種數(shù)都有另一個(gè)認(rèn)識(shí)的“橫斷面”——從數(shù)的性質(zhì)特征的視角來橫向認(rèn)識(shí)這一類數(shù)，小數(shù)有小數(shù)的性質(zhì)，分?jǐn)?shù)有分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，那么整數(shù)也有整數(shù)的性質(zhì)——即非零自然數(shù)的倍數(shù)和因數(shù)特征。通過計(jì)數(shù)單位縱向認(rèn)識(shí)、建構(gòu)數(shù)概念，再通過數(shù)的性質(zhì)特征橫向認(rèn)識(shí)和建構(gòu)數(shù)概念，這樣從縱、橫兩個(gè)視角完成對(duì)數(shù)的立體、完整而深入的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)兒童數(shù)概念的建立、形成與發(fā)展。數(shù)論單元內(nèi)容即是通過探究、論證數(shù)的倍數(shù)和因數(shù)特征，從橫斷面的角度完成對(duì)整數(shù)（非零自然數(shù)）的完整認(rèn)識(shí)。

2.以核心概念為數(shù)論單元主線構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系和思維體系

數(shù)論在小學(xué)階段主要是以“倍數(shù)”和“因數(shù)”這兩個(gè)核心概念為主線構(gòu)建單元課程內(nèi)容并進(jìn)行單元主題教學(xué)的。以北師大版教材編排為例，首先讓學(xué)生“初步認(rèn)識(shí)倍數(shù)與因數(shù)”，然后分別通過“探究倍數(shù)”和“探究因數(shù)”兩條主線進(jìn)一步探索認(rèn)識(shí)非零自然數(shù)的倍數(shù)和因數(shù)特征。

在“初步認(rèn)識(shí)倍數(shù)與因數(shù)”的起始主題課中，考慮到順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和理解水平，教材是通過問題情境，利用乘法來引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)倍數(shù)與因數(shù)的，即借助乘法算式中積與乘數(shù)的關(guān)系來認(rèn)識(shí)倍數(shù)與因數(shù)的含義、判斷倍數(shù)與因數(shù)、找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，以及體會(huì)一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)特征是無限的。當(dāng)然，在探索找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)中，除了運(yùn)用倍數(shù)與因數(shù)的意義之外，也可以引導(dǎo)學(xué)生借助“整除”的概念尋找，“整除”概念為理解倍數(shù)與因數(shù)這一對(duì)相互依存的概念提供了另一種角度，可以豐富學(xué)生對(duì)數(shù)概念的認(rèn)識(shí)。

在“探究倍數(shù)”的主題中編排了“2、5的倍數(shù)特征”“3的倍數(shù)特征”內(nèi)容。分別借助“百數(shù)表”探索、發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證2、5的倍數(shù)特征和3的倍數(shù)特征，并在2的倍數(shù)特征基礎(chǔ)上建立奇數(shù)和偶數(shù)的概念。在“探究因數(shù)”的主題中編排了“找因數(shù)”“找質(zhì)數(shù)”。“找因數(shù)”借助拼圖體會(huì)一個(gè)數(shù)的因數(shù)與長方形面積之間的關(guān)系，進(jìn)而探索尋求找一個(gè)數(shù)全部因數(shù)的方法——即利用乘法算式（倍數(shù)與因數(shù)的含義）或利用除法算式（整除的視角）找因數(shù)，并體會(huì)一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的；“找質(zhì)數(shù)”也是借助拼圖探索發(fā)現(xiàn)小正方形的個(gè)數(shù)與拼成的長方形的種數(shù)以及因數(shù)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而建立質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念。質(zhì)數(shù)與合數(shù)的核心本質(zhì)是反映一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)特征。

需特別強(qiáng)調(diào)說明的是，筆者建議將教材在“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”單元中的“找最小公倍數(shù)”和“找最大公因數(shù)”內(nèi)容分別前置統(tǒng)整到數(shù)論單元“探究倍數(shù)”與“探究因數(shù)”的主題下，設(shè)置“公倍數(shù)與最小公倍數(shù)”和“公因數(shù)與最大公因數(shù)”兩個(gè)分主題進(jìn)行教學(xué)。這樣調(diào)整的理由有二：一是“公倍數(shù)與最小公倍數(shù)”“公因數(shù)與最大公因數(shù)”本身就是數(shù)論知識(shí)體系的內(nèi)容，“公倍數(shù)與最小公倍數(shù)”是對(duì)兩個(gè)及以上的數(shù)的倍數(shù)特征的探究，“公因數(shù)與最大公因數(shù)”是對(duì)兩個(gè)及以上的數(shù)的因數(shù)特征的探究，將這兩部分內(nèi)容前置可以幫助學(xué)生更完整地認(rèn)識(shí)非零自然數(shù)的倍數(shù)與因數(shù)的特征性質(zhì)，增加對(duì)整數(shù)認(rèn)識(shí)的“橫斷面”的寬度與厚度，進(jìn)而幫助學(xué)生更系統(tǒng)地構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系和思維體系。二是“公倍數(shù)與最小公倍數(shù)”“公因數(shù)與最大公因數(shù)”本身所具有的學(xué)科育人價(jià)值。北師大版教材將“找最大公因數(shù)”編排在“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”與“約分”兩個(gè)內(nèi)容之間，將“找最小公倍數(shù)”編排在“分?jǐn)?shù)的大小”之前，其直接意圖是幫助學(xué)生尋找分子分母的公因數(shù)或最大公因數(shù)以準(zhǔn)確而快速約分，或者幫助學(xué)生尋找?guī)讉€(gè)異分母分?jǐn)?shù)的分母的公倍數(shù)或最小公倍數(shù)（即確定公分母或最小公分母）以準(zhǔn)確而快速通分比大小。但教材這樣的編排顯然弱化了“公倍數(shù)與最小公倍數(shù)”“公因數(shù)與最大公因數(shù)”本身所具有的數(shù)學(xué)價(jià)值和教育價(jià)值，因?yàn)檫@兩部分內(nèi)容絕不只是用來支撐學(xué)生約分或通分比大小的學(xué)習(xí)，它們在現(xiàn)實(shí)生活中有非常豐富的問題情境，都可以將這些問題數(shù)學(xué)化地抽象為“公倍數(shù)與最小公倍數(shù)”“公因數(shù)與最大公因數(shù)”的數(shù)學(xué)模型，并將其廣泛地應(yīng)用于解決現(xiàn)實(shí)生活世界中的實(shí)際問題，這才是這兩部分知識(shí)內(nèi)容所具有的獨(dú)特而深刻的育人價(jià)值體現(xiàn)。

三、以“理”論“數(shù)”：數(shù)論主題教學(xué)實(shí)施的幾點(diǎn)建議

1.引入直觀模型，注重以幾何直觀的方式探究數(shù)的特征

幾何直觀是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與問題解決的工具，教學(xué)中要通過各種數(shù)形結(jié)合活動(dòng)，幫助學(xué)生養(yǎng)成利用圖表表示數(shù)的概念、運(yùn)算與關(guān)系的習(xí)慣，描述問題的本質(zhì)，分析思維的路徑[2]。在設(shè)計(jì)數(shù)論單元主題教學(xué)的核心學(xué)習(xí)活動(dòng)中，建議引入直觀模型，注重以幾何直觀的方式探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)的特征。比如2、5、3的倍數(shù)特征是比較抽象的，“百數(shù)表”提供了具有某類數(shù)特征的一群數(shù)，能夠幫助學(xué)生通過觀察比較發(fā)現(xiàn)它們的特征，為此教學(xué)中可借助“百數(shù)表”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)從不同視角幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)2、5、3的倍數(shù)特征。

另外，還可以借助計(jì)數(shù)模型來探索、解釋數(shù)的特征。比如，在探究“5的倍數(shù)特征”中，可以引入直觀模型幫助學(xué)生解釋“45為什么是5的倍數(shù)”“123為什么不是5的倍數(shù)”，以形成對(duì)5的倍數(shù)特征的直觀認(rèn)識(shí)。

此外，還可以嘗試借助直觀圖形探索發(fā)現(xiàn)數(shù)的特征。比如在“找因數(shù)”“找質(zhì)數(shù)”的主題學(xué)習(xí)中，可以嘗試借助“用小正方形拼長方形”的活動(dòng)，通過拼圖體會(huì)一個(gè)數(shù)的因數(shù)與拼的長方形的面積之間的聯(lián)系來探索找因數(shù)的方法，通過拼圖探索發(fā)現(xiàn)小正方形的個(gè)數(shù)與所拼的長方形的種數(shù)以及因數(shù)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系來認(rèn)識(shí)質(zhì)數(shù)與合數(shù)，建立質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念。引入直觀模型，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合以幾何直觀的方式把抽象的概念直觀化，可以幫助學(xué)生建立和形成數(shù)概念。

2.強(qiáng)化以“理”論“數(shù)”，注重以代數(shù)推理的方式釋論數(shù)的特征

數(shù)學(xué)是講道理的，特別是數(shù)論單元學(xué)習(xí)更要強(qiáng)化以“理”論“數(shù)”，啟發(fā)學(xué)生講清楚發(fā)現(xiàn)的數(shù)的特征背后的道理。在小學(xué)階段，無論是“數(shù)與代數(shù)”還是“圖形與幾何”，學(xué)生論證一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)律、模式、特征基本上都采用不完全歸納法，這也符合兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知規(guī)律。但在小學(xué)高年級(jí)（即第三學(xué)段）引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)規(guī)律、特征由“個(gè)”走向“類”，由“個(gè)”走向“群”，由“特殊”走向“一般”，由“特例”走向“普適”是十分必要的。引導(dǎo)學(xué)生由“個(gè)例”走向“群類”，將非零自然數(shù)作為一整類研究對(duì)象進(jìn)行討論，基于數(shù)的組成、計(jì)數(shù)單位、位值、十進(jìn)制等核心概念來推理、論證數(shù)的特征背后的道理，以代數(shù)推理的方式釋論數(shù)的特征。

探究“2、5的倍數(shù)特征”時(shí)，在借助百數(shù)表初步發(fā)現(xiàn)2、5的倍數(shù)特點(diǎn)之后，可進(jìn)一步追問：為什么個(gè)位上是0或者5的數(shù)就一定是5的倍數(shù)，而個(gè)位上是其他數(shù)字的數(shù)就不是5的倍數(shù)？為什么個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)就一定是2的倍數(shù)，而個(gè)位上是其他數(shù)字的數(shù)就不是2的倍數(shù)？比如，引導(dǎo)學(xué)生從兩位數(shù)開始討論，個(gè)位上是0的數(shù)都是整十?dāng)?shù)，不管十位上的數(shù)字是幾，整十?dāng)?shù)這樣的數(shù)都是5的倍數(shù)。由此可以擴(kuò)展至個(gè)位上是0的三位數(shù)、四位數(shù)……多位數(shù)，不管百位、千位……其他數(shù)位上的數(shù)字是多少，這樣的數(shù)都可以寫成由幾個(gè)十、幾個(gè)百、幾個(gè)千……組成的數(shù)，由于10、100、1000……都是5的倍數(shù)，由幾個(gè)十、幾個(gè)百、幾個(gè)千……組成的數(shù)也一定是5的倍數(shù)，即個(gè)位上是0的數(shù)都是5的倍數(shù)。個(gè)位上是5的數(shù)都可以寫成由幾個(gè)十、幾個(gè)百、幾個(gè)千……和5組成的數(shù)，如前所述，由幾個(gè)十、幾個(gè)百、幾個(gè)千……組成的數(shù)一定是5的倍數(shù)，而5本身又是5的倍數(shù)，因此個(gè)位上是5的數(shù)一定是5的倍數(shù)。即一個(gè)數(shù)是不是5的倍數(shù)只要看個(gè)位數(shù)字是不是5的倍數(shù)即可，而0和5之外的其他數(shù)本身都不是5的倍數(shù)，因此個(gè)位上是0和5之外的其他數(shù)字的數(shù)都不是5的倍數(shù)。同樣，個(gè)位上是0的數(shù)都是整十?dāng)?shù)一定是2的倍數(shù)，個(gè)位上是2、4、6、8的數(shù)都可以寫成由幾個(gè)十、幾個(gè)百、幾個(gè)千……和2、4、6、8組成的數(shù)，由幾個(gè)十、幾個(gè)百、幾個(gè)千……組成的數(shù)一定是2的倍數(shù)，而2、4、6、8本身即都是2的倍數(shù)，因此個(gè)位上是2、4、6、8的數(shù)也一定是2的倍數(shù)。即一個(gè)數(shù)是不是2的倍數(shù)只要看個(gè)位數(shù)字是不是2的倍數(shù)即可，而1、3、5、7、9這些數(shù)本身都不是2的倍數(shù)，因此個(gè)位上是1、3、5、7、9的數(shù)都不是2的倍數(shù)。

在探究“3的倍數(shù)特征”時(shí)，也可以通過數(shù)的組成、計(jì)數(shù)單位、位值、十進(jìn)制等概念知識(shí)來解釋、推理、論證“為什么各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)”。比如，12是由1個(gè)10和2個(gè)1組成，即12＝10+2，10可以分解為9加1，即10＝9+1，9是3的倍數(shù)，十位上分出來的1和個(gè)位上的2重組在一起正好是3，即1+2＝3，3是3的倍數(shù)，所以12是3的倍數(shù)。48是由4個(gè)10和8個(gè)1組成，即48＝4×10+8，每個(gè)10都可以分解為9加1，4個(gè)10可分解為4個(gè)“9加1”，這里的每個(gè)9都是3的倍數(shù)，十位上分出來的4個(gè)1組成4，和個(gè)位上的8重組一起正好是12，即4+8＝12，12是3的倍數(shù)，所以48是3的倍數(shù)。再比如435是由4個(gè)100、3個(gè)10和5個(gè)1組成，即435＝4×100+3×10+5，每個(gè)100都可以分解為99加1，4個(gè)100可分解為4個(gè)“99加1”，這里的每個(gè)99都是3的倍數(shù)，百位上分出來4個(gè)1；每個(gè)10都可以分解為9加1，3個(gè)10可分解為3個(gè)“9加1”，這里的每個(gè)9都是3的倍數(shù)，十位上分出來3個(gè)1；百位上分出來的4個(gè)1組成4、十位上分出來的3個(gè)1組成3和個(gè)位上的5重組一起正好是12，即4+3+5＝12，12是3的倍數(shù)，所以435是3的倍數(shù)。由此可擴(kuò)展至四位數(shù)、五位數(shù)等多位數(shù)的情況繼續(xù)推理：千位上的數(shù)字是幾就表示幾個(gè)千，而每個(gè)千都可以分解成999加1，即1000＝999+1，幾個(gè)千就可以分解為幾個(gè)“999+1”，而每個(gè)999是3的倍數(shù)，這樣千位就分出來幾個(gè)1；同樣，萬位上的數(shù)字是幾就表示幾個(gè)萬，而每個(gè)萬都可以分解成9999加1，即10000＝9999+1，幾個(gè)萬就可以分解為幾個(gè)“9999+1”，而每個(gè)9999是3的倍數(shù)，這樣萬位就分出來幾個(gè)1；以此類推，最終只要把各個(gè)數(shù)位上分出來的“幾個(gè)1”加在一起，看和是不是3的倍數(shù)，這樣就可以判斷這個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)，即判斷一個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)只需看各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和是不是3的倍數(shù)。學(xué)生可由此遷移經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步自主探索論證9、4等數(shù)的倍數(shù)特征。

討論“2、5、3的倍數(shù)特征”，其本質(zhì)還是統(tǒng)攝其中的計(jì)數(shù)單位、位值、十進(jìn)制、數(shù)的意義及組成等核心概念知識(shí)。讓學(xué)生經(jīng)歷上述解釋、說明、推理、論證的過程，特別是從一個(gè)一個(gè)的數(shù)例走向整個(gè)非零自然數(shù)的群體進(jìn)行思考、想象和推理，嘗試突破不完全歸納法走向代數(shù)推理，能夠幫助學(xué)生更深刻、更清晰、更一般化地表達(dá)和釋論數(shù)的倍數(shù)特征。這種嘗試和討論在小學(xué)階段是必要的，可以更好地幫助學(xué)生形成論證的思維習(xí)慣和數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)，完成這樣的論證能夠體會(huì)到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

3.重視抽象概括，注重以分類的方式認(rèn)識(shí)數(shù)的特征

自然數(shù)是數(shù)學(xué)中最簡單、最基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)研究對(duì)象，但要認(rèn)識(shí)清楚自然數(shù)的性質(zhì)特征卻并非易事。我們可以借助“分類”的方式對(duì)自然數(shù)進(jìn)行討論。因?yàn)椤胺诸愑懻搯栴}”有助于人們認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)，這也是中國人認(rèn)識(shí)問題的傳統(tǒng)思維模式，這種思維模式一直影響到當(dāng)代中國[3]。分類的核心是構(gòu)建一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，基于這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)把所要研究的東西屬于并且唯一屬于某一個(gè)集合。因此，這里所說的標(biāo)準(zhǔn)實(shí)際上就是所要研究的重要性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)與性質(zhì)是等價(jià)的[4]。

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，對(duì)自然數(shù)的分類主要有兩種，一種分類是奇數(shù)和偶數(shù)，另一種分類是質(zhì)數(shù)與合數(shù)。比如，在探索、發(fā)現(xiàn)、推理、論證了“2的倍數(shù)特征”之后，可以引導(dǎo)學(xué)生將所有非零自然數(shù)進(jìn)行分類：分類的標(biāo)準(zhǔn)即“是不是2的倍數(shù)（能不能被2整除）”；分類的結(jié)果是：是2的倍數(shù)的數(shù)稱為奇數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)稱為偶數(shù)。這樣的分類可以幫助學(xué)生抽象概括“一個(gè)數(shù)是否是2的倍數(shù)（能否被2整除）的特征”，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)非零自然數(shù)的性質(zhì)。再比如，進(jìn)行“用小正方形拼長方形”的活動(dòng)，通過拼圖探索發(fā)現(xiàn)了小正方形的個(gè)數(shù)與所拼的長方形的種數(shù)以及因數(shù)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系之后，可以引導(dǎo)學(xué)生將所有非零自然數(shù)進(jìn)行分類：分類的標(biāo)準(zhǔn)是“一個(gè)數(shù)的因數(shù)是否只有2個(gè)：1和它本身”；分類的結(jié)果是：一個(gè)數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)只有兩個(gè)——1和它本身，這樣的數(shù)稱為質(zhì)數(shù)，一個(gè)數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)有3個(gè)及以上——除了1和它本身之外還有其他因數(shù)，這樣的數(shù)稱為合數(shù)；一個(gè)數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)就1個(gè)——它自己，這個(gè)數(shù)是1。這樣的分類可以幫助學(xué)生通過抽象概括“一個(gè)數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)特征”進(jìn)一步認(rèn)識(shí)非零自然數(shù)的性質(zhì)。

4.構(gòu)造問題情境，注重以數(shù)學(xué)建模的方式應(yīng)用數(shù)的特征

核心素養(yǎng)的“三會(huì)”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的特征——抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用的廣泛性。抽象性即“數(shù)學(xué)的眼光”，也即會(huì)用抽象的數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)將現(xiàn)實(shí)世界中的各種復(fù)雜情境、各種特征抽象為數(shù)學(xué)問題[5]。數(shù)論單元由于深入數(shù)的肌理探討非零自然數(shù)的特征性質(zhì)的屬性，常常局限于數(shù)的學(xué)習(xí)與討論而顯得枯燥，因此教學(xué)中要多構(gòu)造體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的、好的現(xiàn)實(shí)問題情境，幫助學(xué)生在將現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化中經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模、應(yīng)用數(shù)的特征解決問題的過程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)的特征的數(shù)學(xué)價(jià)值與教育價(jià)值。

比如，在學(xué)習(xí)“公因數(shù)和最大公因數(shù)”“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”之后，可以構(gòu)造下面這樣的問題情境：

問題1：淘氣家新買的房子客廳長 60dm，寬 50dm。他們家計(jì)劃用地磚鋪客廳。要想不浪費(fèi)材料（用整塊地磚），你認(rèn)為選擇邊長是多少厘米的正方形地磚比較合適？說說你的理由。（注：市面上常用的地磚尺寸主要有：100 cm×100 cm、80 cm×80 cm、60 cm×60 cm、50 cm×50 cm、40 cm×40 cm等。）

問題2：4路公交車和7路公交車在同一站點(diǎn)始發(fā)。4路公交車每8分鐘發(fā)一輛車，7路公交車每12分鐘發(fā)一輛車。早上6點(diǎn)，兩路公交車同時(shí)發(fā)車，再過多長時(shí)間它們將會(huì)再同時(shí)發(fā)車？

顯然，“問題1”中正方形地磚的邊長應(yīng)是客廳長和寬的公因數(shù)，即求60和50的公因數(shù)，再從公因數(shù)中尋找市面的常用尺寸?！皢栴}2”中同時(shí)發(fā)車經(jīng)過的時(shí)間應(yīng)是兩路車各自發(fā)車時(shí)間的公倍數(shù)，即求8和12的公倍數(shù)。學(xué)生在經(jīng)歷這種數(shù)學(xué)化的數(shù)學(xué)建模過程中解決問題，發(fā)展數(shù)學(xué)的抽象思維和應(yīng)用意識(shí)，同時(shí)也提升對(duì)數(shù)的特征性質(zhì)的再認(rèn)識(shí)，深刻感悟數(shù)論知識(shí)的數(shù)學(xué)價(jià)值與教育價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：17，24.

[2] 課程教材研究所.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：60.

[3] 史寧中.中國古代的命題、定義和推理（上）[J].哲學(xué)研究，2009（03）：42-50+128.

[4] 史寧中.基本概念與運(yùn)算法則：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013：10.

[5] 馬云鵬，王珍.對(duì)話馬云鵬：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》學(xué)習(xí)要點(diǎn)解惑[J].福建教育，2022（27）：52-56.

［責(zé)任編輯：陳國慶］