基于高考題探究高中數學解題教學研究

張春曉

【摘 ?要】 ?不等式是高考數學考點之一，圍繞不等式設計的高考題不勝枚舉，包括不等式證明題、比較大小問題、求最值問題、綜合應用問題等多種類型題.學生只有掌握不等式問題的解題技巧，才能夠輕松應對不等式問題.本文以人教版高一數學必修第一冊“一元二次函數、方程和不等式”一章的解題教學為例，分析如何應用高考題培養學生的解題能力，指出教師可以通過提煉考點分析解題原理、歸納考題總結解題方法、模仿考題設計練習作業、基于高考評價體系完善解題教學評價等多種方式提升解題教學質量，以供參考.

【關鍵詞】??高考;高中數學;解題教學;策略

高考題綜合考查了學生對高中數學理論知識、數學方法的掌握情況，是一類具有較高育人價值的教學資源.基于高考題對學生展開解題教學，不僅可以對學生階段性學習情況進行診斷，還可以鍛煉學生的解題能力，活躍學生的解題思維.然而，鑒于高考題本身難度高、綜合性大的特點，部分學生在解高考題時存在困難.教師應當發揮自身的引導教學作用，挖掘高考題內蘊藏的數學原理，并用通俗易懂的語言講解類型題的解題方法，促進學生的綜合提升.

1 ?圍繞考點分析原理，奠定數學解題基礎

數學高考題的設計以《全國高考考試大綱》（以下簡稱《考綱》）為基準，圍繞《考綱》中的具體理論知識設計問題，意圖讓學生應用《考綱》中的知識點解題^[1].完成“一元二次函數、方程和不等式”一章的知識教學后，教師可應用多媒體呈現高考題.先組織學生分析高考題的主要考點，引導學生對相關數學理論知識的全面復習.之后，組織學生應用相關知識點解答問題，在學生自主嘗試、自主探究之后，教師為學生講解相關知識點的具體應用，進一步加深學生對基本原理的感悟，為提升學生的解題能力奠定基礎.

例如 ?教師可呈現如下例題：（2019年天津理科）設，，，則的最小值為?????.

這一問題是一道典型的不等式求最值的問題，其主要考點為“基本不等式”.針對這一考點，教師可組織學生回顧相關知識，如：基本不等式是主要應用于求某些函數的最值及證明的不等式，其表述為兩個正實數的算術平均數大于或等于它們的幾何平均數；基本不等式的應用前提是“一正、二定、三相等”，其中，“一正”指的是兩個式子都為正數，“二定”指的是用基本不等式求最值時，和或積應當為定值；“三相等”指的是當且僅當兩個式子相等時，才能取等號.在學生回顧完相關知識后，教師指導學生應用具體理論分析問題，并在黑板上板書解題過程：

由，，，

則可被變形為

；

根據基本不等式得到

；

當且僅當時，即：，時，

即：或時，等號成立，

故的最小值為，得到高考題答案為.

針對高考題進行解題教學時，教師可以先組織學生分析高考題的數學考點，在提煉考點的基礎上引導其聯想、回顧相關知識，為其夯實理論解題基礎.之后，再與學生共同應用具體理論解決問題，通過數學推演、數學運算求得問題答案，以此鞏固學生知識基礎，鍛煉學生解決典型類型題的能力.

2 ?綜合考題總結方法，提升數學解題能力

數學思想是對數學事實、數學理論的本質認識，數學方法指的是為了達到數學目的而采取的手段、方法^[2].數學思想與數學方法有著深刻聯系，且都可被用于解題教學當中.應用高考題進行解題教學時，教師可以對考題進行分類整理，分析不同類型題適用的解題思想或解題方法，并為學生總結思想方法的應用技巧，讓學生在解題學習的過程中形成清晰的解題思路，從而提升學生的數學解題能力.下面，文章將以“一元二次函數、方程和不等式”的解題教學為例，分析應用高考原題提升學生解題能力的策略.

2.1 ?用放縮法解證明問題

放縮法是一種放寬或縮小不等式范圍的數學方法，經常被用在多項式中，如“舍掉一些正（負）項而使不等式各項之和變小（大）”或“在乘積式中用較大（或較小）因式代替”等等.放縮法是解不等式證明問題的主要方法之一.教師可以收集高考數學的不等式證明問題，并為學生分析題目特點，演繹應用放縮法解不等式證明問題的過程，讓學生在學習、模仿的過程中領會放縮法的本質，學會用放縮法解決類似問題.

例如教師可應用如下高考題：（2013年普通高等學校招生全國統一考試（湖北卷））設為正整數，為正有理數.（Ⅰ）求函數的最小值；（Ⅱ）證明：.分析問題，發現該問題的第（Ⅱ）小問是一道典型的求證不等關系的問題.針對這一類型問題，可以應用此方法解決.同時，解決第（Ⅱ）小問，需要先解第（Ⅰ）小問.具體解題過程如下：

證明（Ⅰ），

所以在上單調遞減，在上單調遞增；

所以.

（Ⅱ）由第（Ⅰ）小問知：當時，（伯努利不等式）；

所證不等式即為：；

如果，則

因為，

令，可得，

所以，，

所以，故式（1）成立.

若使，顯然成立.

因為，

所以，故式（2）成立.

綜合所有因素，可證明原不等式成立.

完成演繹教學后，教師可將正確的解題步驟擦去，讓學生結合解題教學內容重新應用縮放法證明不等式，進一步鞏固學生對縮放法的記憶，使其在深度思考、自主應用的過程中真正掌握證明不等式的具體方法.

2.2 ?用方程思想求解應用問題

函數與方程思想是一種應用函數性質、函數圖像、方程模型化簡問題、解決問題的思想方法^[3].將函數與方程思想滲透進不等式的高考數學題解題教學當中，有利于打破學生的局限思維，使學生學會從函數與方程的角度分析問題，解決問題，從而提高學生的解題效率.解題教學中，教師應抓住高考題的本質特征，引導學生提煉題目關鍵信息并建構函數、方程模型，幫助學生快速理清解題思路.

例如 ?教師可應用方程思想指導學生解決如下高考題：（2016年新課標理科試卷）：某高科技企業生產產品A與產品B需要甲、乙兩種新型材料.生產一件產品A需要甲材料千克，乙材料千克，用個工時；生產一件產品B需要甲材料千克，乙材料千克，用個工時.生產一件產品A的利潤為元，生產一件產品B的利潤為元.該企業現有甲材料千克，乙材料千克，則在不超過個工時的條件下，生產產品A、B的利潤之和最大為?????元.這一問題給出的信息過多，看起來雜亂無章.為使學生在盡短的時間內確定解題方向，教師可讓學生提煉題目中的關鍵量，并分析不同量之間的數量關系，指導學生構建函數與方程模型：解：設A、B兩種產品分別是件與件，獲利為元，則有下列數量關系：.之后繪制不等式組表示的可行域圖示（見右圖），根據題意得到解得，目標函數，經過點A時，直線的截距最大，目標函數取得最大值（元），得到原題答案為最高利潤之和可能為元.

高考數學題不乏不等式的實際應用題.如何在簡短的時間內理清解題思路，同時快速求解是高中學生目前應重視的解題學習問題.教師應當在解不等式應用題的過程中滲透函數與方程思想，通過指導學生構建模型、繪制函數圖像等方式化簡綜合應用題的解題步驟，使學生掌握快速解決應用題的技巧.

3 ?完善習題教學評價，促進學生反思提升

教學評價具有教學診斷、教學導向等多種教育功能^[4].基于高考題開展高中數學解題教學時，教師要基于學生的實際學習情況給出合適的教學評價，幫助學生客觀認識自身的發展情況，從而促進學生的反思提升.為此，教師可以借鑒高考評分體制設計解題教學評價標準，由具體標準指出學生的發展不足；同時，教師還可以將過程性評價、診斷性評價等評價模式用于解題教學當中，通過跟蹤評價的方式讓學生在解題學習的同時反思自我，進一步提升學生的糾錯、改錯能力.

例如教師可組織學生完成如下高考題：（2022年全國卷甲（文科））：已知，，，則（ ??）

（A）. ????（B）. ????（C）. ????（D）.

很多學生在解這一高考題時能夠結合指對互化的相關知識以及對數函數的單調性分析問題，得到，再結合基本不等式、換底公式得到、，得到正確答案A.然而，另外一部分學生在解決此題時缺乏清晰的解題思路，進行大量運算卻無法求得問題的正確解.在評價不同學生時，教師可以綜合高考評價體系的“一核”、“四層”、“四翼”三部分內容設計評價標準，如：學生是否能夠在解題過程中明確題目的考點，同時聯想相關知識點；學生是否能夠在分析問題時聯想基本的數學思想與方法，并嘗試利用具體方法求解問題；學生是否能夠進行高效運算并計算出準確結果；學生是否能夠嘗試更多方法解決高考題；學生是否能夠將解決此問題的方法遷移到其他問題的解題過程中，且取得正確答案……通過完善評價標準，從學習基礎、學習綜合、學習應用、學習創新四個層面考查學生的解題學習情況，確保學生能夠在評價的引導下掌握必備知識，形成關鍵能力，提升核心素養.

4 ?結語

綜上所述，以不等式為考點的高考數學題不僅考查學生對不等式概念、不等式性質等基本知識的掌握情況，還考查學生對放縮法、作差法（或作商法）等數學思想方法的掌握情況.實際教學中，教師應當盡可能地將具有教育價值的高考原題引入高中數學課堂教學當中，通過呈現案例習題、講解案例習題、設計變式問題等多種方式提升學生的數學理解、數學分析、數學解題能力.

參考文獻：

[1]劉震.例談高中數學解題方法與技巧[J].數理化解題研究，2022（36）：23-25.

[2]薛安定.基于運算素養的高中數學解題教學對策——以某一圓錐曲線綜合問題為例[J].數理天地（高中版），2022（24）：23-24.

[3]程偉.數列求和與不等式放縮問題的解題策略[J].高中數學教與學，2022（23）：16-18.

[4]張昆，王穎超.數學解題教學：用一般思路引領具體操作——以一道數列不等式高考題為例[J].教育研究與評論（中學教育教學），2022（09）：65-68.

[5]徐潔.逆向思維在高中數學解題教學中的應用[J].中學數學，2022（11）：67-68.