高中數學導數在解答各類問題中的應用

王衍星

【摘 ?要】 ?導數作為連接學生函數知識體系的重要節點，良好的知識掌握對學生數學成績有十分重要的意義.通過總結可以發現，在不等式證明、極值問題、參數取值范圍等諸多問題的解答中，都需要導數的參與，但是學生對其的掌握和運用并不理想.因此，系統性分析導數在各類問題解答中的運用，可以促進學生成績的提升.

【關鍵詞】 ?導數；解題；高中數學

高中階段，導數是一個十分重要的知識點，貫穿于整個函數知識體系.靈活運用導數知識對于學生解答函數問題有很大的幫助，能降低學生解題的難度.無論是在不等式證明、極值問題中，還是在參數取值范圍、函數圖象推導及綜合運用題中，都能發揮極大的作用.但是在考查中，學生對導數知識的運用并不理想，因此，本文系統性總結導數在相關題型中的解題方法及策略，以幫助學生快速提升.

1 ?證明不等式

不等式證明作為一種常見題型，當涉及比較復雜的不等式時，借助導數往往可以更加快速地解答問題.

例1證明：

證明令，則可根據與0的關系進行求證，

對其進行求導可得，

因為，

所以，

所以，

因為在處連續，

所以在區間內函數單調遞增，

所以當時，

2 ?極值問題

在極值問題中，通常有多種方法，但是普通的方法往往會增加解題的復雜性，浪費時間，而借助導數，極值問題就會變得直觀明了.首先，根據導數與0的關系，確定函數的變化趨勢，然后根據變化趨勢確定函數的最值.

例2已知函數

（1）若在點處的切線與軸平行，求；

（2）求函數的極值.

解（1）因為，

根據其求導可得，

因為在點處的切線與軸平行，

所以，

即，故

（2）由上可得，，

①當時，，

所以在上是增函數，故函數無極值.

②當時，令，

得，即

所以當時，，

當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

故在處取最小值，為，無極大值.

綜上所述：時，無極值；

時，在處取極小值，無極大值.

3 ?參數的取值范圍

確定函數中參數的取值范圍是數學問題中較為復雜的一類題目，是對學生綜合知識的考查，需要學生熟練運用導數的相關知識，以此分析函數圖象特點，降低解題難度.

例3設函數，其中，求的取值范圍，使函數在區間上是單調函數.

解當時，

，

所以，

函數在區間上是單調函數，

即或在上恒成立，

（1）若在區間上單調遞增，則，

所以，對恒成立，

因為，

所以，不符合題意，舍去；

（2）若在區間上單調遞減，則，

所以，

在上連續遞增，

對恒成立，

因為，

因此

綜上所述，時，函數在區間上是單調遞減函數.

4 ?推導函數圖象

圖象問題是函數考查的重點，當遇到復雜函數時，學生根本畫不出其相應的函數圖象，解題更無從談起.此時，學生便可以借助導數，根據導數的大小確定函數的大致趨勢及變化規律，再解答問題便變得十分簡單.

例4 設函數在定義域內可導，圖象如圖1所示，則其導函數的圖象為（ ??）

圖1

解析根據圖象可得：當時，單調遞增，所以在上，，故（A）（C）錯誤；當時，呈現先增、后減、再增趨勢，根據時為增函數，為減函數，可以得到圖象趨勢為先在x軸上方，而后到下方，最后又到上方的形狀.故正確答案為（D）.

5 ?綜合應用題

綜合運用題是對學生運用函數能力的考查，當學生熟練掌握函數基礎知識時，能夠快速解答第一部分，對于第二部分解答時，則需要學生借助導數來降低解題難度，將解析式正確求導后，根據題意便可一步步得到結果.

例5 某產品成本為6元，售價為元，銷量為萬件，已知與成正比，當售價為10元時，銷量為28萬件，

（1）利潤與售價之間的關系為？

（2）為多少時，利潤最大.

解 ?設，因時，銷量為28萬件，

所以，，

可解得

所以

所以

（2）對函數進行求導，

得

令，得或，

因為，所以舍棄

當時，；當時，；

所以函數在上遞增，上遞減，

所以當時，最大為

故售價為9元時，利潤最大為135萬元.

6 ?結語

綜上所述，在諸多問題的解答中都需要學生運用導數思維，靈活運用導數思維不但可以降低解答問題的難度，還能提升解題速度，節約時間，所以，在日常學習中，學生需要系統性學生導數相關的知識，靈活掌握基礎性質，以保證在考試中快速解答問題.

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