垂徑定理在解圓內三角形問題中的應用

冒奕敏

【摘要】垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.垂徑定理是初中數學幾何中解圓與三角形問題中經常運用到的一條定理，既考查了學生的抽象思維，也考查了學生的數形結合能力，要求學生能夠在圓的半徑、弦心距、弦的一半中選擇正確的線段，構造出直角三角形，然后結合勾股定理，求出所需的線段長度.本文列舉三道例題，介紹垂徑定理在解圓與三角形結合的線段長問題中幾種常見的考查方式，并給出分析思路和解題過程，希望可以幫助學生們對垂徑定理的應用有更深的了解，對抽象思維和數形結合方法有更全面的認識.

【關鍵詞】圓；三角形；垂徑定理

在運用垂徑定理計算圓與三角形的問題中，計算或證明圓心到弦的垂線段、弓高、半徑或弦長時，通常需作出圓心到弦的垂線段，垂足就是弦的中點，再利用半徑、弦心距和弦長的一半，構造出直角三角形，結合勾股定理進行求解.

例1 已知圓O的半徑長為26，圓內有AB和CD兩條弦，AB∥CD，且AB的長為48，CD的長為20，求弦AB與弦CD之間的距離為多少？

解題思路 本題要求計算的是兩弦之間的距離，證明圓心到弦的垂線段、弓高、半徑或弦長時，首先要根據題目已知條件和所求問題，作出正確的輔助線，通常作圓心到弦的垂線段，以半徑、弦的一半、弦心距為三邊構造一個直角三角形，再利用勾股定理即可進行求解.注意，本題需要考慮弦AB、CD在圓心的同側還是異側.

解 因為弦AB與CD相對于圓心的位置有兩種可能，所以需要分類討論.

第一種情況，當兩弦在圓心的同側時，如圖1所示.

過點O作OE⊥CD于點E，交AB于點F，

因為AB∥CD，

所以EF⊥AB，

則線段EF的長等于弦AB與CD之間的距離.

CD=20，

所以DE=12CD=10，

由題目可知OD=26，

在Rt△OED中，由勾股定理有

在Rt△OFB中，由勾股定理有

所以EF=OE-OF=14.

第二種情況，當兩弦在圓心的異側時，如圖2所示.

過點O作OE⊥CD于點E，延長EO交AB于點F，

因為CD∥AB，

所以EF⊥AB，

則線段EF的長等于弦AB與CD之間的距離.

在Rt△OED中，由勾股定理有

在Rt△OFB中，由勾股定理有

則EF=OE+OF=34.

故弦AB與弦CD之間的距離為14或34.

例2 ?如圖3，線段OD為圓O的半徑，AE為圓O的直徑，AB是圓O的弦，且長度為16，OD垂直AB交AB于點C，CD的長等于4，求線段CE的長為多少？

解 如圖3，連接BE，設圓O的半徑為x，

有OC=OD-CD=x-4，

因為OD⊥AB，

在Rt△AOC中，根據勾股定理有

AO2=AC2+OC2，

即x2=82+（x-4）2，

解得x=10，

則OC=x-4=6，

因為AC=BC，AO=OE.

所以BE=2OC=12，

因為AE為直徑，

所以∠ABE=90°，

在Rt△CBE中，

例3 如圖4所示，圓O的直徑為20，線段AB和CD分別為圓的兩條弦，其中AB的長為16，CD的長為12.MN為圓的直徑，AB與MN相互垂直，相交于點E，CD與MN相互垂直，相交于點F，點P為線段EF上的任意一點，求線段PA與PC長度之和的最小值為多少？

解題思路 求圓中的線段的最短長度，或者兩點之間的最短距離問題，需要運用到轉化的思想.因為圓是一種典型的軸對稱圖形，以直徑為對稱軸，圓上任意一點的對稱點都落在圓上，因此作出其中一點關于直徑的對稱點，把分散的線段轉化到同一條直線上，即根據“兩點之間線段最短”的原理把最短距離轉化為弦長，就可以求得這兩條線段之和的最短長度.

解 如圖5所示，連接BC，交MN于點P，連接AP，過點B作MN的平行線交CD的延長線于點H.

根據垂徑定理可知AP=BP，

所以PA+PC=BP+PC，

因此，當點B、P、C三點共線時，線段PA與PC的長度之和取得最小值，

因為MN是圓O的直徑，AB⊥MN，CD⊥MN，

所以AE=BE=8，CF=DF=6.

易知四邊形EBHF為矩形，

所以FH=EB=8，

CH=CF+FH=14，

連接OA，OA=10，

連接OC，同理得OF=8，

所以BH=EF=OE+OF=14，