解三角形中的模型探究

吳瑋

【摘要】解三角形問題時需引入幾何模型，常見的有“背靠背”型、“母抱子”型、“擁抱”型，探究學習要解讀模型，生成解題策略.本文探究分析三大解三角形模型，并結合實例開展應用探究，與讀者交流學習.

【關鍵詞】解三角形；“背靠背”型；“母抱子”型

解三角形是初中數學的重點問題，解題時常需要使用模型，如“背靠背”模型、“母抱子”模型、“擁抱”模型等，可利用模型的性質特征來轉化條件，構建思路，下面結合實例具體探究解三角形中的三大常用模型.

模型探究一 “背靠背”型

“背靠背”模型，即解三角形時構造兩個三角形“共側邊、反向靠”的模型.如圖1所示，解三角形ABD，此時可過點A作垂線AC，構造兩直角三角形：Rt△ACD和Rt△ACB.AC為兩直角三角形的公共邊，也是解題的關鍵，模型中有DC+CB=DB.

例1 如圖2（a），海中有個小島A，一艘輪船由西向東航行，在點B處測得小島A位于它的東北方向，此時輪船與小島相距20海里，繼續航行至點D處，測得小島A在它的北偏西60°方向，此時輪船與小島的距離AD為海里.

解析 本題目實則為解三角形ABD，可構造“背靠背”模型.過點A作AC⊥BD，如圖2（b），根據方位角及三角函數即可求解.

依題意可得∠ABC=45°，所以△ABC是等腰直角三角形，

AB=20（海里），則AC=BC=AB·sin45°=102（海里）.

在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°，

評析 上述解△ABD求AD長時構造了“背靠背”模型，Rt△ACD和Rt△ACB有公共邊AC，解三角形時充分利用進行線段長推導.

模型探究二 “母抱子”型

“母抱子”模型，即解三角形時構造兩個三角形“共側邊、同向靠”的模型，且兩個三角形有明顯大小差異.如圖3所示，解三角形ABD，此時可過點A作BC上的垂線AC，構造兩直角三角形：母型三角形——Rt△ACB、子型三角形——Rt△ACD.在兩個直角三角形中，AC為公共邊，有DC+BD=BC.

例2 如圖4（a），在一條筆直的海岸線l上有相距4km的A，B兩個觀測站，B站在A站的正東方向上，從A站測得船C在北偏東60°的方向上，從B站測得船C在北偏東30°的方向上，則船C到海岸線l的距離是km.

解析 本題目實則為解三角形ABC，求點C到l的距離，可構造“母抱子”模型.過點C作CD⊥AB于點D，如圖4（b）所示，后續根據等腰三角形的判定和性質解直角三角形即可求出答案.

根據題意可得∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，

所以∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，

可推得∠CAB=∠ACB，

所以BC=AB=4km.

評析 上述解△ABC時，構造了“母抱子”模型，Rt△CBD和Rt△CAD為相互擁抱的結構，并有公共邊CD，解△ABC可求CB長，后續解Rt△CBD即可推出CD.

模型探究三 “擁抱”型

“擁抱”模型，即解三角形時構造兩個“底邊共線、定角相對、側邊平行”的模型.如圖5所示，Rt△ABC和Rt△BDC底邊共線，側邊AB和CD相平行，充分利用底邊BC（EF）進行轉化求線段長是解題的關鍵.

例3 大樓AB是某地標志性建筑，如圖6所示，某校九年級數學社團為測量大樓AB的高度，一小組先在附近一樓房CD的底端C點，用高為1.5米的

解析 本題目求線段AB長，可構造“擁抱”模型，過E作EF⊥AB于F，如圖6虛線所示.分析可知四邊形ACEF是矩形，所以EF=AC，AF=CE.

在Rt△ACD中，∠DAC=30°，CD=45（米），

所以BF=EF瘙簚tan72°=239.78（米），

可推知AB=BF+AF=239.78+1.5≈241.3（米），

即大樓AB的高為241.3米.

評析 上述解三角形時構造了“擁抱”型模型，Rt△ACD和Rt△BEF可視為是“相對擁抱”的結構，求解時充分利用底邊相等這一特殊條件，串聯兩直角三角形，進而求出AB長.

結語

總之，上述所探究的幾何模型在解三角形問題中有著廣泛的應用，探究學習中要從以下兩個視角進行：視角一，探究模型結構，總結結構性質，生成類型題的解題策略；視角二，探究模型應用，結合實例開展模型應用解析，總結解題方法.