初中平面幾何中逆向思維的探究

許娜

【摘要】雖然平面幾何一直在初、高中數學知識中占有很重要的位置，也深刻地改變了學生思考的方式，但是在實際課堂上和指導學生解題的方式中，教師大多都是使用較為傳統的順向思路的方式指導學生，而極少使用和學習逆向思維，如數學里面反證法的講解就在逐漸地淡化.但往往在復雜的數學求解問題時，如果人們從逆向思考開始，就能夠發現一種別樣的方法.這不但可以更精妙地處理數字上的許多現象，對于學生的邏輯思維的提升開發也將產生非常大的影響.

【關鍵詞】平面幾何；勾股定理；逆向思維

1 平面幾何相關公式中的逆向思維能力

例1 如圖1、圖2所示為直角三角形，求b、c的長度.

此題目的為勾股定理的運用，主要考查學生通過合理的逆向思維，對數學公式進行變形，使學生解題變得更加簡單.

解 （1）b=12；（2）c=10.

分析 （1）因為由勾股定理可知a2+b2=c2，

所以b=12.

（2）由勾股定理可知a2+b2=c2，

所以c=10.

2 平面幾何相關定理中的逆向思維能力

例2 請給出原命題“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題，并證明.

解 原命題的逆命題是“如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形”.

證明如下 如圖3.

所以AD=CD=BD，

因為AD=BD，所以∠ABD=∠A，

因為CD=BD，所以∠CBD＝∠C，

又因為∠ABD＋∠CBD＋∠A＋∠C＝180°，

所以2（∠ABD＋∠CBD）=180°，

所以∠ABD＋∠CBD=90°，

所以∠ABC=90°，

所以△ABC是直角三角形.

通過勾股定理和逆定理的學習，我們可以了解原命題和逆命題之間的轉化，其根本就是運用了逆向思維的原理.而初中數學中的反證法其實質也恰恰就是對逆向思維的合理運用，它可以很巧妙地證明數學中很多我們很難證明的命題.

3 平面幾何相關實際問題中的逆向思維能力

例3 圖4是公路上一涵洞入口的平面直角坐標示意圖，點A和D、點B和E分別關于y軸對稱，涵洞的弧頂部分BCE可看作拋物線，最高點C離路面AD的距離為8m，點B離路面AD的距離為6m，涵洞寬AD為16m.

（1）求涵洞頂部BCE對應的函數表達式；

（2）現有一輛寬為4m貨車在裝載貨物后，貨物頂部離路面高為7m，請說明此貨車能否安全通過這個涵洞？

解 （1）由已知OA=OD=8m，OC=8m，AB=6m.

故C（0，8），B（-8，6）．

設拋物線對應的函數表達式為y=ax2+8，

將B點坐標代入，得6=a（-8）2＋8，

（2）假設這輛貨車能在從涵洞正中行駛，則其最右邊到y軸的距離為2m，如圖4.

設拋物線上橫坐標為2的點為F，過點F作FF1丄AD于點F1，

由于此題涵洞不僅限制寬度，還限制高度，所以對于貨車是否能通過涵洞，我們可以打破常規思路，按以下方法思考.

思路一 根據此貨車的高度，求出在此高度下涵洞的寬度，即把高度帶入ｙ中，若求出ｘ的值在數軸上的寬度大于貨車的寬度，那么貨車就可以安全通過，反之就不能通過.

思路二 根據貨車的寬度，求出在此寬度下涵洞的高度，如果求出的高度大于貨車的高度，就可以安全通過.

因此解決本題時，我們不僅帶著問題回到題目中，還巧用了題目中的兩個量.所以我們在解答題目時，要多做一些逆向的考慮，打破原有的常規思路，不是從已知去找尋未知，而是要帶著未知找尋已知.這樣學生的思路就不會變得單一，思維也會更加靈活.

4 結語

逆向邏輯思維是數學教育思維中最關鍵的思維能力一種，而平面幾何中反逆邏輯思維的訓練也必不可少，而逆向邏輯思維對于平面幾何的教學也具有非常關鍵的意義，二者是相互促進的.

學生的初中階段是智力水平發展的重要階段，因此在平時的數學教學活動中，我們應該重視對學生邏輯思維能力的培養，注重學生的長遠發展，而不是注重應試教育.隨著社會的不斷進步和發展，逆向思維的作用也將逐漸得到重視，運用也將越來越廣泛.

參考文獻：

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