基于GeoGebra 和GIF 圖形的復變函數點集繪制

克拉瑪依職業技術學院基礎部 盧自娟 李閏祥

采用GeoGebra6 制作復變函數中的點集繪圖，并解復數方程把復數根可視化，使學生通過簡單的軟件操作掌握抽象函數的幾何意義。使用GeoGebra5 軟件制作割圓術的GIF 圖形，讓抽象的內容更生動，提升課堂的可視化效果。

近年來，隨著有關可視化教學的研究逐步開展，其在提升教學效果方面的作用日益受到重視[1]。而復變函數課程中研究不等式所確定的區域或非區域，連通或不連通，通過一個抽象表達式，一般很難判定。學生能通過手機版的GeoGebra6 軟件自己操作，掌握抽象不等式所表示的圖形，使得教師在這部分內容上處理簡潔，達到事半功倍的效果。GeoGebra5 軟件能導出GIF 圖形，可插入到Word 文檔、PPT、視頻中，這里介紹割圓術與求函數極限的GIF 圖形制作，讓教師們的課堂更生動，達到更好的可視化效果。

1 運用GeoGebra 軟件繪制復數域不等式確定的平面圖形

幾何思想貫穿整個復變函數內容，充分體現了《復變函數》是分析的幾何化[2]，學習復變函數理論能讓學生進一步領會代數與幾何結合的神奇之處[3]。但復變函數課程中復數不等式點集究竟表示是怎樣的平面圖形，對學生來說卻是一個難點，教師講解完，學生通過死記硬背記住的內容如過山車一樣很快會遺忘，其主要原因是對內容不理解，但通過手機上的GeoGebra 6 軟件，學生能很快作出圖形，觀其形而知其義，從而達到所想要的學習效果，下面著重介紹點集繪圖典型案例，達到窺一斑而知全貌的效果。

1.1 GeoGebra 6 軟件復數輸入的預備知識

GeoGebra 軟件代數區輸入的i均為虛數單位。在運算區輸入虛數單位i時，可在快捷菜單中選擇f(x)下拉菜單右側的i，也可在電腦版鍵盤按Alt+i輸入虛數單位。復數z在繪圖或計算時都以z=x+iy轉化，模的計算直接使用|...|，主輻角的計算直接在代數區輸入arg(x+iy)。

在軟件快捷菜ABC 輸入&&就轉變成了邏輯∧運算符，每個操作過程輸入完按回車鍵，操作過程中//的內容為注釋。

1.2 GeoGebra 6 軟件繪制不等式點集

第一步，代數區輸入:y＞tan(π/4)x∧y＜tan(π/3)x∧x2+y2＞1 ∧x2+y2＜9

案例1 圓及圓環相關的圖形繪制。

（1）開圓環2＜|z|＜3

第二步，在代數區輸入x2+y2＞1/9，/要轉化成多項式，否則繪圖區不顯示圖形/

得到如圖5 所示的截取圓環區域，是單連通有界區域。

圖2 圓外無界區域Fig.2 Unbounded area outside the circle

案例2 輻角主值的圖形繪制。

第三步，代數區輸入(x-1)2+y2＞(x+1)2+y2；/觀測a=1時，區域是左半平面/

當所有車組號與車次按照最佳匹配結果一一對應時，取最小值0，此時車次與車組的匹配程度最高，車組運用最均衡。但在實際編配過程中，還需滿足諸多約束，往往無法達到最小值，應盡量保證的取值接近最小值。

第四步，輸入(x-1)2+y2＞a2((x+1)2+y2)；/先把第三步表達式前的圖形按鈕點擊成為白色，即關掉圖形，再輸入第四步/

（2）π/4＜argz＜π/3，且1＜|z|＜3

圖3 0＜a＜1 區域圖Fig.3 0＜a＜1 area chart

高中階段的學生思維異常活躍，并敢于提出不同的講解與想法，特別是一些啟發性的問題，他們是樂于思考并善于思考的。所以，在高中數學課堂教學中，新課程的導入期間，教師需為學生創設良好的問題情境，以讓學生課前集中其全部注意力，并能開起其思維的閘門，讓學生的求知欲和探知欲得到深化，進而能讓學生的學習狀態由原來的被動學習轉為主動學習，進而能在和諧的學習氛圍中進行數學知識的學習。

2017年6月，董明珠公開表示，銀隆是“長期埋在沙漠里的金子”，有技術，只是缺管理和資金。而第三輪融資后，管理和資金銀隆都不缺了，只要給她時間，可以“再造一個格力”。

在繪制輻角主值所在范圍時，輻角所在的終邊是一條過原點的射線，作圖時處理成過原點的直線是argz＞α，就輸入y＞tan(α)x。

第一步，代數區輸入:y＞tan(-π/3)x∧y＜tan(π/3)x；/就可看到圖形是一個無界的，位于第一與第二象限，夾在之間的部分，包括x 正半軸的無界連通開區域/

觀察組患者的護理的滿意率為100%,顯著高于對照組的護理滿意率。差異具有顯著的統計學意義(p<0.05)。(如表3)

點擊滑動條a后的按鈕，繪圖區就可以觀察圖形了。會發現當0＜a＜1 時，如圖3 所示的0＜a＜1 區域，圖形為:除去圓心在x正半軸上，位于右半平面上的圓外的區域，是連通無界的；當a＞1 時，如圖4 所示的a＞1 區域，圖形為圓心在x負半軸上，位于左半平面上的圓域，是連通有界的；a=1 是左半平面無界區域，單連通的。因滑動條停留在a=1 時，圖形顯示為一條線，因此，要通過第三步來觀察，也可在GeoGebra 5 中輸入上述步驟，再導出GIF 圖，就可觀察動態的圖形效果。

在平面點集中通常要了解復數不等式所確定的范圍是否是區域，并且要了解它的連通情況，這里通過幾個典型案例讓學生利用手機操作就可分析圖形情況。

可得到如圖2 所示的圓外無界區域，是復連通的。

圖5 截取圓環區域Fig.5 Intercept the ring area

圖6 復數方程根Fig.6 Complex equation roots

圖7 圓內接正十邊形Fig.7 The circle is inscribed with regular decagons

圖8 GIF 導出圖設置Fig.8 GIF export diagram settings

通過上面兩個類型的介紹，關于復數域點集繪制圖像基本都可掌握，需注意當所遇到的表達式不清楚是何種形式時可在運算區先化簡，代數區輸入表達式一般需去根號，才可繪制圖形。

2 運用GeoGebra 制作GIF 圖

Matlab、AutoCAD 等數學軟件、繪圖軟件的功能強大，應用范圍廣，運用他們繪制的圖形展示效果好，但對老師要求卻很高，需要熟練掌握相應的計算機程序語言[2-5]。此外，使用這些軟件制作課件，耗時多、效率低[6]，因此在這里介紹GeoGebra 6 書寫操作過程形成GGB 文件，再由GeoGebra 5 導出GIF 圖，提高教師制作動態課件的效率，提升課堂效果。

案例3 求解復數方程z6-3+2i=0，并把各解在復平面上表出。

2.1 GeoGebra 6 復數域解方程并繪圖

(4)地層多重劃分：地層多重劃分方案請參照中國地層表(2014)最新標準。注意宇、界、系、統及宙、代、紀、世等的用法。

分析所用樣品均采用隨機取樣的方法，所有試驗組的各項指標均測定3次，利用Origin 9.0統計數據繪圖和SPSS 17.0軟件進行鄧肯均數差異顯著性分析。

2.2 GeoGebra 繪制正多邊形

劉徽“割圓術”的思想無論是在數學課程的極限還是常數項級數的講解中，一直是課程講解的重要案例引入，教師在給學生闡述其思想時往往通過動畫講解，更能增強課堂的直觀效果，激發學生的學習興趣。

小學語文教學不應該只局限于課本上幾篇簡單的文章和詩歌，老師應該多鼓勵學生們進行課外的閱讀來輔助語文學習，只要是文字優美的符合小學生認知規律和能力都可以鼓勵學生進行廣泛閱讀，通過課外閱讀他們也可以體會到文字的魅力也可以有效地提升學生們的語感，間接性的提高學生們的口語表達能力，同時也能為以后學生的寫作打下堅實的閱讀和寫作基礎。

案例4 制作正n 邊形的GIF 圖。

GeoGebra 6 代數區輸入

合理的水分和養分的施予對于葡萄生長是非常重要的。傳統的澆灌過程，往往是使用大水漫灌或溝渠灌溉的方法，這種方式不僅受到地形的影響，操作過程中耗水量大，水資源利用效率低下。傳統的施肥方式則是由人工直接施撒，這種方式很容易造成施肥不均勻，造成燒苗或肥力不足沒效果，從而直接影響到植株的生長和葡萄的產量。水肥一體化技術由于其將肥料溶解到水中，從而避免了直接施肥不均勻的情況，同時節約了成本，也提高了葡萄的經濟效益。

教師在講解級數概念引入時，是通過在原有多邊形的基礎上增加三角形面積來實現，因此，上述過程可作如下更改：

第十步，在繪圖區點右鍵，選繪圖區，就可得到如圖9 所示的正多邊形疊加圖，同理保存成ggb 文件，如：正多邊形疊加圖.ggb,在GeoGebra 5 中打開該文件，導出GIF 圖即可，在常規菜單下換背景顏色為綠色，還可進行視頻摳圖。

圖9 正多邊形疊加圖Fig.9 Regular polygon overlay

3 結語

總之，教學中運用GeoGebra 軟件，便于讓學生對所學的數學知識有更形象、更生動的理解，使繁瑣的計算可以通過軟件解決，增強了學生學習的興趣以及解決問題的能力。