基于PCA-杜芬方程的隧道圍巖狀態突變風險分析

王洪德,王曉晗

(1.大連交通大學 交通運輸工程學院,遼寧 大連 116028;2.遼寧省隧道工程及災害防控專業技術創新中心,遼寧 大連 116028;3.湖北交投鄂西高速公路建設管理有限公司,湖北 恩施 445002 )

在建隧道圍巖情況復雜,容易引發各類災害事故。針對這一問題,國內外學者開展了大量研究工作。董建新等[1]通過數值模擬研究了隧道掌子面前方的先行位移,掌子面擠出位移和掌子面后方的凈空位移情況;梁慶國等[2]通過對39座隧道71個監測斷面圍巖的壓力統計得出,圍巖壓力存在明顯的時間效應,一般在隧道開挖40天左右趨于穩定;楊公標等[3]采用復變函數法和Schwarz交替法,分析驗證了溶洞對隧道位移的影響;宋洋等[4]以強度折減為依據,建立了淺埋偏壓小凈距隧道仿真模型,得出當施工步驟為先行洞內側上部、外側上部開挖及后行洞核心土弧形導坑開挖時對圍巖擾動相對較大;左清軍等[5]通過對滬昆客運專線長昆湖南段姚家隧道的監測資料分析,總結出特大斷面不同圍巖級別下,隧道圍巖徑向位移的速率隨時間和掌子面距離的變化規律;Moussaei等[6]通過硅砂物理模型模擬全斷面圓形隧道,利用粒子圖像測速技術對地表變形進行監測;Prassetyoa等[7]通過瞬態LDP方程研究了飽和地層沿隧道軸線的徑向位移,掌握了掌子面背后的工作狀態;Yertutanola等[8]采用RMR系統和GSI等巖體分類系統,獲得了巖體抗剪強度和變形參數,發現隨著覆蓋層厚度和巖體風化程度的降低,位移曲線總體處于下降趨勢。

影響圍巖穩定性的因素眾多且各因素相互耦合,已有研究大多從單一因素的影響分析入手。鑒于此,本文引入杜芬方程對開挖隧道圍巖突變機理進行研究,并采用PCA方法找出對隧道圍巖位移影響較大的相關因素,以期實現對開挖隧道圍巖狀態的及時掌控,并有針對性地采取必要措施加以防范。

1 隧道圍巖狀態突變機理分析

1.1 風險產生機理

隧道圍巖狀態的突變歷經風險產生、發展和突變三個演化過程,故將隧道圍巖狀態突變分為:風險產生、風險發展和圍巖狀態突變三個階段,突變演化見圖1。

圖1 突變演化機理

在隧道開挖前,圍巖處于穩定狀態,由于開挖對圍巖的擾動,巖土自身平衡被打破,密實度、含水量、圍巖應力狀態、應力路徑和孔隙率等發生改變,從而影響圍巖強度、水位及變形特性,引起地面沉降、圍巖失穩。通常情況下,一個圍巖參數的變化,只會產生單一風險,圍巖處于較為簡單的線性變化狀態。

1.2 風險發展機理

隨著隧道開挖進度的推進,圍巖受到的擾動逐漸增強,隧道開挖風險也由初始的單一風險逐步發展到復雜風險,這個過程稱為風險發展。風險發展階段,雖然圍巖結構應力狀態仍處于較穩定的狀態,但開挖風險已從單一風險逐漸演變成多個風險,直至引起圍巖狀態突變,從而形成較為復雜的非線性變化過程。例如,隨著圍巖強度下降和變形形態改變等多因素作用,隧道圍巖大變形的風險趨勢增強,極易引發圍巖狀態的突變。

2 基于杜芬方程的突變風險分析

2.1 分析方程的可行性

杜芬方程是描述共振現象、調和振動、次調和振動、擬周期振動、概周期振動、奇異吸引子等混沌現象的數學模型。本文采用硬特性杜芬方程[9]來描述隧道圍巖震蕩狀態,建立隧道圍巖震蕩方程:

(1)

式中:x為隧道圍巖當前風險狀態,該狀態隨時間變化而變化;t為隧道圍巖所處時刻;k為隧道圍巖自身抵御外界干擾能力項,本文用隧道圍巖等級權重對其定量賦值[10];F為隧道圍巖受到外界環境的影響項,本文用隧道圍巖所處地質條件及其他自然因素權重表示[11];ω為外界干擾強度變化頻率。

基于杜芬方程分析原理,描述隧道圍巖系統狀態的依據主要包括以下三點:

(1)隧道圍巖狀態的變化過程是一個受圍巖內在因素和外部環境因素相互作用影響形成的一個復雜過程。影響圍巖自身承載力和穩定性的內在因素,以及人因失誤和所處環境等外在因素的相互作用,會造成隧道圍巖狀態函數呈不規則振動變化。從振動理論的分析角度,杜芬方程可用來描述這種非線性振動系統,該系統模型的非線性本質體現在方程右端的余弦函數cosωt。

(2)基于非線性理論,當系統的輸出與輸入不成正比關系時,則該系統稱為非線性系統。隧道開挖過程中,其圍巖參數監測信號的轉化和傳遞是一個非線性的過程,杜芬方程含有的立方項x(t)3體現了其可用來描述非線性系統。

(3)突變理論主要用于研究系統從一種狀態躍遷到另一種穩定狀態的非連續變化現象。系統所處狀態可用一組參數描述,當系統處于穩定狀態時,表示該系統取到唯一極值;當參數在某區間范圍內變化,且函數不止一個極值時,表示該系統處于不穩定狀態。目前常見的突變模型是尖點突變模型。圍巖外部干擾變化頻率ω,可用尖點突變模型描述[12]:

(2)

根據式(2)可找到尖點位置,表明用杜芬方程可描述尖點突變現象。因此,可用杜芬方程來建立隧道圍巖系統震蕩方程,并依此導出圍巖狀態變化風險控制方程。

2.2 圍巖突變風險控制

隧道圍巖系統的狀態突變,極易導致隧道垮塌、底鼓等事故。因此,控制開挖過程中的圍巖狀態不發生突變,是開挖風險控制的關鍵。首先,建立隧道圍巖無調節反饋控制的震蕩方程,并基于此方程推出該工況下的圍巖分岔響應方程;然后,通過分別加入阻尼調節反饋控制和幅值調節反饋控制,推出兩種情境下的隧道圍巖分岔響應方程,即風險控制方程。加入阻尼調節反饋控制,旨在調節式(1)中圍巖自身抵御外界干擾的能力系數k;加入幅值調節反饋控制,旨在調節式(1)外力影響系數F。

基于無調節反饋控制的圍巖狀態仿真,可直接觀測到隧道圍巖系統狀態的突跳行為;而基于含阻尼調節反饋和幅值調節反饋的圍巖狀態仿真,則可觀測到隧道圍巖系統狀態突變行為被抑制的過程,從而明晰隧道圍巖狀態變化機理。

2.2.1 無調節反饋控制的圍巖狀態變化風險控制

基于無調節反饋的隧道圍巖震蕩方程,可推出相應的系統分岔響應方程[13]。

首先,構建含時間t的非自治震蕩方程:

x″+kx′+x+x3=Fcosωt

(3)

為便于分析,用多尺度法將其轉換為不含t的自治系統,引入參數ε,則式(3)改寫為:

x″+εkx′+x+εx3=εFcosωt

(4)

設式(4)的近似解為:

x(t,ε)=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)

(5)

式中:T0=t、T1=εt為獨立的時間變量。記D0=?/?T0,D1=?/?T1,則時間變量導算子變為:

d/dt=D0+εD1

(6)

(7)

考慮主共振影響,即:

ω=1+εσ

(8)

將式(4)～式(7)代入式(3),展開得:

(9)

比較式(9)ε的同次冪,易得D0=i,其解:

(10)

將式(10)代入式(9)中得:

(11)

同時,為保證運算結果能獲得周期解[14],令:

(12)

再設A的表達式為:

(13)

(14)

式中:r、θ為T1的實函數。

將式(13)、式(14)代入式(12),再由歐拉公式化簡后得:

(15)

分離式(15)的實部與虛部,得平均方程:

(16)

令φ=θσT1,可得:

(17)

令等式右邊為0,可得:

(18)

對式(18)合并化簡,得到隧道圍巖系統穩態解分岔響應方程為:

(19)

該方程是一個關于σ和r的隱式方程。式中,變量σ為周期激勵頻率與振子固有頻率的接近程度,表示在開挖過程中隧道圍巖受到的外界刺激頻率與自身頻率的接近程度;變量r為震蕩值,表示圍巖受到刺激的震蕩幅值。若以σ為自變量,r為因變量對式(19)進行數值仿真,便可得到系統在沒有任何控制措施下的系統震蕩情況。當某一σ的取值對應多個r值時,則意味著系統中發生了狀態突變。

2.2.2 含阻尼調節反饋的圍巖狀態變化風險控制

提高隧道圍巖自身抵抗干擾能力是有效控制狀態突變風險的方法之一。在式(3)中加入阻尼調節反饋控制函數u=εcx′,可得到:

ε(k-c)x″+x′+εx3=εFcosωt

(20)

推導式(20)可得到含阻尼反饋控制函數的分岔響應方程:

(21)

與式(12)相比,在阻尼系數k中加入一個控制參數c(代表影響隧道圍巖系統阻尼的行為),阻尼系數因此變為k-c。再以σ為自變量、r為因變量對式(21)進行仿真,可得到隧道圍巖系統在阻尼參數受到控制情況下的系統震蕩情況。調節c的大小,當任一σ取值均對應單一r取值時,表示此時系統狀態突變已被抑制,系統風險得到了控制。

2.2.3 含幅值調節反饋的圍巖狀態變化風險控制

降低外界環境對系統的干擾是另一個有效的系統風險控制方法,式(3)中加入幅值反饋控制u=εfcosωt可得:

x″+εkx′+εx3=εFcosωt

(22)

由此推導出含幅值反饋控制函數的分岔響應方程:

(23)

與式(19)相比,外激勵系數中加入了一個控制參數f,表示隧道圍巖系統受到外界干擾強度的行為,外激勵參數變為F-f。

對式(23)進行仿真,可得到外激勵系數受到控制情況下系統震蕩情況。調節f的大小,當σ取任一值對應r的取值始終只有一個時,表示此時系統狀態突變已被抑制,風險得到了控制。

2.2.4 PCA-杜芬方程可行性分析

杜芬方程可通過調整參數至臨界值,檢測微弱特征信號對系統狀態的影響,敏感度較高,但受限于杜芬方程本身特性,無法將大量的參數同時用于一個方程,而參數的缺失會影響判斷的準確度。PCA可以通過少數幾個主成分來揭示變量間的內部結構,使它們盡可能多地保留原始變量的信息,且彼此互不相關。因此將PCA與杜芬方程耦合使用,可以彌補杜芬方程的缺陷,提高預測結果的可靠度。

3 圍巖狀態影響因素篩選

為確保PCA-杜芬方程的隧道風險評估模型的有效性,本文查閱并統計圍巖狀態突變引發事故的相關資料,參考保康隧道實際工程地質特點,選取開挖進尺、施工工法、支護情況、隧道埋深、地下水溶洞、隧道開挖寬度以及圍巖狀態作為影響隧道圍巖穩定的主要因素。采用主成分分析(PCA)[15],通過矩陣變換對這些影響因子進行降維處理,即先建立協方差矩陣,然后求取其特征向量。某在建隧道圍巖穩定性影響因素的PCA分析結果見表1、表2。

表1 總方差解釋

表2 成分矩陣

通過PCA分析可知,前三個主成分的累計貢獻率為90.178%,大于80%,滿足要求。在選取的主成分中,圍巖狀態因素的貢獻率為92.3%,施工工法的貢獻率為90.9%,支護情況的貢獻率為88.1%。因此,將這三個指標作為參數,代入杜芬方程,用來實現對該條在建隧道圍巖狀態突變風險的分析判斷核心指標。

4 案例分析

保康隧道湖北段位于湖北省境內,全長14.574 km,隧址區處于荊山山脈北段,隧道地質情況以頁巖夾砂巖為主,構造復雜,巖性多樣,受地層巖性、地形地貌及構造的控制,軟弱圍巖(Ⅳ、Ⅴ級圍巖)占全隧總長度的64.3%。選取該條隧道某區段(長700 m)圍巖位移監測數據進行分析,隧道位移變化曲線見圖2。

圖2 隧道位移變化曲線

由圖2可看出,該段隧道圍巖豎向位移(Z向)大于隧道徑向(Y向)及橫向(X向)的位移。這是由于隧道開挖時破壞了圍巖本身的應力,破碎圍巖在重力作用下不斷脫落,而X、Y方向由于圍巖應力變化不大,且圍巖中的孔隙率和含水量較小,故隧道在Z方向的圍巖位移最大;隧道在D1K508+500附近X方向位移達到峰值,在D1K508+550及D1K508+780附近Z方向位移增大。經過實際勘探得知,在D1K508+550及D1K508+780附近由于爆破藥量過大,導致圍巖位移過大,而D1K508+500附近處于圍巖等級變化區間(由IV級圍巖向V級圍巖過度),且因現場環境影響,支護間隔時間較長,導致此區間內圍巖位移過大。

本文基于主成分分析優選指標,確定風險控制方程中系數k、F、c、f的取值,再對風險控制方程進行仿真,最后將仿真結果進行對比。

4.1 控制方程參數的確定

(1)k的取值

隧道圍巖等級決定其自身抵抗干擾的能力,結合實際工程中保康隧道圍巖硬度、地下水及地應力狀況等因素,k可取為0.098 5。

(2)F的取值

圍巖受外界干擾強度用參數F表示,取值范圍為[0,1]。其中,F取0時,表示無干擾;F取1時,表示外界干擾達到最強。由于外界環境隨時間不斷發生變化,故F的取值無法找到明確的初始取值,故結合工程實際測算,設其初始取值0.45。隨著圍巖等級升高,其穩定性降低,F取值隨之增大。

(3)c的取值

c為阻尼調節反饋參數,用來調節k的大小。為體現調節參數k值的變化對隧道圍巖狀態造成的影響,選取多個隧道支護參數作為阻尼調節反饋控制參數,即c1=0.15、c2=0.25、c3=0.35、c4=0.45。結合保康隧道工程實際,不同c值分別代表圍巖處于不進行支護、III級圍巖支護、IV級圍巖支護和V級圍巖支護4個工況。

實際施工過程中根據現場鋼架、錨桿、鋼筋網片等施工作業情況,進行參數c的調整。

(4)f的取值

f為幅值調節反饋控制參數,用來調節F的大小。為了在仿真結果中體現調節參數F變化給隧道圍巖系統狀態帶來的變化,選取多個不同施工工法參數作為幅值反饋控制參數,f1=0、f2=0.11、f3=0.21、f4=0.31分別對應全斷面法、三臺階法、CD法和雙側壁導坑法[16]。實際施工過程中通過現場開挖進尺、裝藥量、炮眼等情況,進行參數f的調整。

4.2 控制方程的仿真

4.2.1 無反饋系統的風險控制方程的仿真

將k=0.098 5,F=0.45代入無反饋控制系統的風險反應方程,仿真結果見圖3。圖3中,橫坐標表示隧道圍巖受到外界擾動頻率與系統自身波動頻率的接近程度,縱坐標表示隧道圍巖的振動幅值。

根據圖3曲線可知,當σ處在區間[0.512,7.272]時,圍巖產生的震蕩幅值r發生突變,使得開挖隧道處于危險狀態(表3)。

表3 無反饋控制函數仿真結果分析

通過分析可以得到:在無反饋控制函數中,隧道在區間[0.512,7.272]持續處于不穩定狀態,即隧道將長時間處于不穩定狀態,這對隧道圍巖施工不利,故下文加入反饋控制函數以提高隧道圍巖的穩定性。

4.2.2 含有阻尼系數的系統風險控制方程的仿真

將k=0.098 5,F=0.45代入式(21)中,并對不同的c取值進行仿真,仿真結果見圖4。

圖4 含阻尼控制函數風險響應方程仿真結果

根據圖4曲線可知,隨著c值的不斷增大,隧道處于不穩定狀態的區間逐漸減小,隧道圍巖產生突變的可能性逐漸降低。當c=0.45時,隧道處于穩定狀態,隧道圍巖不再產生突變。含阻尼系數仿真結果分析見表4.

表4 含阻尼系數仿真結果分析

由表4可知,通過篩選合適的阻尼控制參數,即選取合適的支護參數,能夠使隧道圍巖始終保持穩定狀態。

4.2.3 含有幅值調節的系統風險控制方程的仿真

將k=0.098 5,F=0.45代入式(23)并對不同的f取值進行仿真,結果見圖5,對應的振幅r取得唯一值的區間見表5。

圖5 含幅值調節函數風險響應方程仿真結果

由圖5可知,隨著f值的不斷增大,隧道處于不穩定狀態的區間逐漸減小,隧道圍巖產生突變的可能性逐漸降低。當f=0.31時,隧道處于穩定狀態,隧道圍巖不再產生突變。含幅值調節仿真結果見表5。

由表5可以看出,通過篩選合適的幅值控制參數,即選取合適的施工工藝,控制圍巖的擾動,能夠使隧道圍巖保持穩定狀態。

4.3 應用風險控制方程對未施工區域的仿真

通過TSP法對隧道未來150 m的預報成果可知,D1K509+996-D1K510+043區間內,該段圍巖等級為IV級,巖體較破碎,巖質較軟,節理裂隙較發育,巖體結合較差,局部存在不同巖性的互層等現象。局部含水(推測呈滲水狀-滴水狀),受其影響該段圍巖穩定性較差。

由于巖體中局部含水,在方程中對應為F值變大,在原本的IV級圍巖的支護參數情況下,圍巖會出現狀態突變的可能,隧道處于不穩定狀態,應對這種狀態,可以通過調整c和f的值,使隧道處于穩定狀態(圖6)。

由圖6可知,針對實際工程,該施工區域圍巖巖體較破碎(節理裂隙較發育)且局部含水(呈滲水狀-滴水狀),在原有開挖支護參數條件下,σ在區間[0.66,0.70]內圍巖仍處于不穩定狀態。

為確保隧道施工安全推進,可通過調整c與f數值來實現。c值從0.35增至0.49,增大了28.6%;f值從0.55降至0.45,降低了18.2%。在施工至含水地帶時,支護強度需增加28.6%,施工對圍巖的擾動需降低18.2%。通過計算,在原有IV級圍巖支護條件下,可以通過在含水地帶20 m區間內將拱架間距由100 cm調整為78～85 cm,錨桿間距由12 cm×12 cm調整為10 cm×9 cm。或將錨桿長度由3.5 m砂漿錨桿調整為5.5 m砂漿錨桿。在原有IV級圍巖施工條件下,通過降低裝藥量使單循環開挖進尺為2榀拱架或1榀拱架,或將炸藥藥卷長度縮短14.8%,從而減少開挖時對于圍巖的擾動。

當隧道施工至含水巖層地段時,現場采用減少裝藥量、縮短開挖進尺并加密錨桿間距的措施。施工過程中圍巖狀態始終處于穩定,施工后16日監控量測數據見圖7。

圖7 監控量測數據

圖7表明PCA-杜芬方程用于圍巖狀態評估可行。采用優化措施后,順利施工通過含水地段,圍巖位移處于合理區間,圍巖狀態始終處于穩定狀態。

5 結論

(1)本文將杜芬方程應用于隧道施工過程風險評估,建立了基于PCA-杜芬方程的隧道圍巖狀態突變評估模型,為隧道施工提供了有效的預警手段。

(2)為降低隧道施工至軟弱含水地層的風險,穩定圍巖防止發生狀態突變,經計算須將拱架間距由100 cm調整為78～85 cm,錨桿間距由12 cm×12 cm調整為10 cm×9 cm,長度由3.5 m調整為5.5 m,以增強支護強度;降低開挖進尺、減少裝藥量以降低圍巖擾動,同時及時支護、加快二襯施工、減少工序銜接時間,以防止圍巖狀態突變。

(3)本文結合現場監測數據,應用所建立的隧道圍巖狀態突變分析模型進行計算,發現采取風險控制措施后,隧道圍巖在施工過程中始終處于穩定狀態,表明采取的風險控制措施是可行的,能夠保障隧道施工過程中圍巖穩定。