小學數學現實問題解決中的“思維斷點”：成因及對策

孫謙

摘要：小學生的思維能力發展尚處在較低水平，在解決現實問題的過程中經常會出現“思維斷點”。例如，已有的生活現實無法順利連接概念、已有的知識經驗無法順利提取應用、現有的知識體系無法順利拓展延伸，導致抽象化、概念化、同化與順應時思維發生斷裂。多維度貫通理解、結構化整體聯結、跨領域高通路遷移，可以有效化解這些“思維斷點”。

關鍵詞：小學數學；現實問題解決；思維斷點

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出，義務教育階段的數學學習要聚焦“現實世界”中的問題，“引導學生在探索真實情境所蘊含的關系中，發現問題和提出問題，運用數學與其他學科的知識與方法分析問題和解決問題”［1］。小學生的思維能力尚處在初級階段，解決相關現實問題時經常會出現“思維斷點”。

一、三種“思維斷點”現象

（一）已有的生活現實無法順利連接概念，抽象化時思維發生斷裂

小學階段，很多數學概念的學習都是由現實問題引出，進而在學生豐富的感性經驗基礎上展開的：通過實物操作和剪、折、畫、描等，獲得具身體驗，然后進一步形式化和抽象化，對概念形成初步理解。但是，學生有時并不能把豐富的具身體驗有效轉化為理解概念的支架，更不能在多種表征方式和概念內部元素之間建立相應的聯系，具體的形象思維與抽象的邏輯思維產生斷裂。

例如，《分數的初步認識》一課，面對“一個蛋糕平均分給兩個小朋友，用‘數學的方式’表示每個小朋友分得多少個蛋糕”的現實問題，學生通過切蛋糕、說過程，對“每個小朋友分得‘半個’蛋糕”很快就達成共識，但只有極個別學生提出可以用“12（或21）”來表示每個小朋友分得的蛋糕，且這種表示方式受到了大多數學生的質疑和否定，有的學生甚至認為 “這不是數學的方式，因為12（或21）不是‘一個’數”。從學生的回答中不難看出，課堂上具體、形象的操作過程，并沒有內化為具有數學特質的活動經驗，當然也就無法成為數學概念理解的“觸發器”。

（二）已有的知識經驗無法順利提取應用，概念化時思維發生斷裂

從認知的角度來看，問題的解決需要學生具備與之相關的知識和技能，并與他們的生活經驗息息相關，但小學生已有的知識和經驗往往與“現實世界”問題對接不上。

例如，《認識面積》一課，教學了面積概念后，教師讓學生解決現實問題：比較一個長方形和一個正方形面積的大小。不少學生先現場測量長方形和正方形紙片，發現長方形的長是6厘米、寬是4厘米，正方形的邊長是5厘米，再通過計算（6+4）×2=20、5×4=20，得出兩個圖形的面積相等的結論。很明顯，學生將周長當成了面積，剛剛抽象出的面積概念并沒有形成現實性理解，面對問題時思維產生了斷裂——仍然囿于一維空間（周長）范圍內，而沒有發展到二維空間（面積）。

（三）現有的知識體系無法順利拓展延伸，同化與順應時思維發生斷裂

有意義的數學學習主要通過同化和順應兩種方式展開，在這個過程中，思維也會出現斷裂，具體表現為已有的知識體系無法“同化”新的學習內容或者現有的知識無法“順應”發展到更高層面。

例如，教學小數的數位順序，教師呈現學生以前見過的自然數計數器實物模型，讓學生思考：利用計數器能否表示出小數？如果可以，該怎么表示？大部分學生認為不可以，少部分學生認為可以把個位上的一個算珠平均分為10份，個別學生能想到個位往右還可以繼續添加數位，而在這些“新”數位上的算珠應該越來越小。作為十進制核心概念的現實模型，計數器中所反映的位值原理學生早已掌握牢固，并已經形成了結構模型（整數數位順序表和計數器）。但是，他們的思考只停留在具體形象階段，把算珠當作“物”來均分表示小數，而不能從計數器表征的十進制、位值制的角度自然推衍，導致自然數模型無法順利拓展，從而正確表示出小數。

二、“思維斷點”的成因分析

思維發展是一個縱向深入、橫向擴展的復雜過程，其發展過程不是一條完全不間斷（逐漸量變）的線，而是包含從舊內容到新內容轉化（漸進過程存在中斷）的線，既有量變，也有質變，所以思維發展既有連續性，也有階段性。［2］縱觀學生面對數學現實問題時的種種思維斷點現象，不難看出思維斷點主要出現在不同層級思維轉換的節點上。究其背后的成因，可以從思維的轉換性、整體性和自調性三個方面來分析。

（一）思維轉換性不強，導致問題數學化過程不暢

思維轉換性是指從不同角度去觀察同一現象或思考同一問題，以獲得對研究對象更全面的認識，尋求更完滿的解決方案。解決“現實世界”問題，更強調代入具身動作與情感體驗。其間，形象思維和抽象思維在不停地切換。為此，需要借助皮亞杰提出的“群”觀念，將不同方式表征的“小群”統整在更大的“群”之下，并建立“小群”與“小群”內部的一一對應關系，才能順利完成思維方式的轉化。這對于小學生來說具有不小的難度，帶來的直接結果就是無法將現實問題“數學化”，后續的問題解決也就無從談起。

（二）思維整體性不強，導致解決問題時站位不高

思維整體性是指在研究問題時，全方位地去觀察和思考問題所涉及知識的整體及局部的內在結構。“現實世界”問題所蘊含的知識大多呈現為多樣、零散和內隱的狀態，這就需要學生脫離具體情境的束縛，從問題本質出發進行整體思考，將零散知識圍繞一定的原則和標準組織形成新的結構，在更大范圍內和更高層次上遷移應用，進而順利地解決問題。小學生大多缺乏對知識進行高位的整體化、結構化的意識和經驗，由此導致獲得的大多是無意義的“惰性知識”，即當他們面對復雜的現實問題時，往往只能根據問題本身呈現的現實信息，去關聯可能和問題相關的單個知識點，“惰性知識”難以“活化”，無法在問題解決中發揮作用。

（三）思維自調性不強，導致解決問題時難以實現遷移

思維自調性是指存在于思維之中的自我意識，常常表現為個體認知過程中的一種元認知能力。解決“現實世界”問題的每一個階段，都需要進行深入的分析和理解，需要元認知的持續參與，對知識不斷進行動態篩選，對方法不斷進行調整優化，對過程不斷進行回顧檢驗，實現知識與方法的近遷移與遠遷移。“元認知能力不足”的學生大多采用“一遍遍記憶以達到閉著眼睛就能做”的學習方法，對所學知識不知如何應用于生活，面對新問題時常常無法和其他知識建立聯系，不會開拓新的通道和新的方法，也就無法順利地解決問題。［3］

三、“思維斷點”的化解之策

“現實世界”問題的順利解決，有賴于學生思維的轉換性、整體性和自調性的高水平發展。教學實踐中，可以通過開展多維度貫通理解、結構化整體關聯、跨領域高通路遷移的學習活動，有效化解思維斷點。

（一）多維度貫通理解

小學數學的學段知識內容相互關聯，由淺入深，層層遞進，這樣的特點決定了學生的學習活動也要以有序的方式展開。在教師引導下開展有序的學習活動，可以促進思維連續性的一般發展。但是，想要針對性地破解思維斷點問題，還要特別關注不同思維轉換的內在邏輯，提升學生不同類型、層次思維方式的轉化能力，這就需要經常開展圍繞一個知識點的多維度貫通理解學習活動。

1.貫通表征與意義

有研究表明，學生常常可以處理好單純的表征活動，而在需要兼顧意義和表征時就會出現困難。［4］表征與意義的貫通，首先要以豐富的表征為基礎，引導學生用不同的具體方式呈現出對知識的理解，從不同的角度獲得對知識的具身體驗。然后，要進行意義凝練，提供適當的教學支持，以激發學生對多重表征開展有效對比，發現其中的共同結構。

例如，前文提到的對“12”的理解，就可以圍繞“一個蛋糕平均分給兩人，每人分得多少？”這個問題展開，讓學生用喜歡的方式表達自己的想法。學生可以用動作（操作）表征“一個蛋糕等分兩份、一人分得一份”的過程，用圖像表征“一個圓對折后其中一份涂上陰影”，用文字表征“每人分得半個”，用數學符號表征“每人分得12個”等。然后聚焦“12”，讓學生思考：“用這樣的數表達是否合理？從其他的表達方式中能否體會到為什么要用12表達？”學生展開合理聯想，操作中的 “均分”“2份”“每人1份”就對應著分數的三個部分——“分數線”“分母”“分子”，所以用12表示，有理有據，意在其中，從數中體現分的過程。除此之外，還有學生說，“12”就可以理解為“一分為二”，所以分得的結果就是“半個”。至此，多種表征建立了密切的聯系，學生形成了關于分數概念的豐富理解。這是一個從同一性角度探尋本質的過程，有效修復了表征與意義之間的思維斷裂。

2.貫通過程與對象

數學內容可以分為“過程”和“對象”兩個方面，“過程”指向動態的、可操作性的法則、公式、原理等，而“對象”指的是靜態的數學定義的結構和關系。概念的過程和對象存在緊密的依賴關系，將動態過程轉變為靜態認知，要將過程和對象之間的元素建立一一對應關系。

例如，小學階段三角形的概念“三條線段首尾相接圍成的圖形叫作三角形；三角形有三個頂點、三條邊和三個角”，其定義方式就是“過程操作+對象結構”。但是，學生在經歷一系列觀察三角形、拼搭三角形的過程后，僅能指出靜態的對象結構，卻無法概括出動態的形成過程，過程與對象產生了“斷裂”。對此，可以引導學生將拼搭時用到的三條線段對應三角形的三條邊，每兩條線段之間的連接處對應三角形的三個頂點，每兩條線段張開的部分對應三角形的三個角，實現“動靜結合、自如轉換”。

（二）結構化整體聯結

解決數學現實問題的過程可以理解為“數學化”的過程，需要建立現實問題和解決問題的數學結構之間的通路。“數學化”的過程能否順利開展與思維的抽象、推理和建模等能力息息相關，從中反映出了個體思維的深刻程度。通過結構化整體聯結，促進抽象能力、推理能力和建模能力的發展，將現實生活與數學知識順利勾連，進而順利解決問題。

首先，任何現實問題的解決都要經歷知識提取和應用的環節。事實上，只有經過結構化整體聯結的知識，才能順利地被提取并應用。通過學習，剛開始獲得的知識都是以零散的“點”的狀態存在的，很容易被遺忘。當這樣的“點”足夠豐富并經過“再組織”的方式聯結起來，就能形成網絡狀的知識體系。網絡狀的知識體系不斷縮減，就能以“元”的狀態長時間儲存在腦海里。當面對相關的新問題時，長時儲存的“元”狀態知識會以“線”的方式順利提取出來，并可以靈活地加以應用。就算知識結構中的部分知識記憶喪失了，也會有線索重新把相關知識組織起來。

例如，對于“面積”概念，可以如下頁圖1所示對知識進行分析和“再組織”，形成內涵豐富的網絡狀知識體系。

其次，現實問題中存在的日常數學概念需要轉化為科學數學概念。結構化整體聯結的方式為日常概念到科學概念建立了一條通路。日常概念表現出概念最原始、最基本的方面，并因為與生活聯系緊密而顯示出“活力”；科學概念則是對事物本質屬性概括、抽象的表達，它以一種相對穩定的方式出現。

可見，日常概念和科學概念是基于相同對象的不同概念表現形式，存在本體上的一致性，所以要利用整體、聯系的思維方式，打通不同

體系之間的壁壘，將日常概念和科學概念融通——既能根據需要將原始、基本的日常概

念“上升”到高級、抽象的科學概念，也可以由純數學的科學概念“復歸”到現實生活中的日常概念。這種上升與復歸的活動，伴隨著思維經歷“具體—抽象—具體”的聯結、互通的過程，由“零碎的認識”發展到“整體性把握”，增強了思維的深刻性。

例如，學生經常將數學概念中的“角”理解為日常生活中的桌角、墻角等。基于這樣的認知起點，在“認識角”的過程中，讓學生找一找桌角、墻角的共同之處，發現“它們都有尖尖的點，點都連接著一些直直的線”。之后，引導學生抓住這些共同特征，思考并嘗試概括“角是什么樣子的？它包括哪些部分？”，促進學生形成結構化整體認識，對于角的理解自然而然從日常概念上升到數學概念。最后，讓學生帶著對概念的理解回頭看生活中的實物，剖析其中“隱藏”的各種不同的角，從數學概念成功“復歸”到現實生活。

（三）跨領域高通路遷移

數學現實問題順利解決的內在機制是正向遷移。依據新舊任務之間相似程度的高低，正向遷移又分為低通路遷移和高通路遷移：低通路遷移，只能達成相似的“具體與具體”之間的簡單關聯，如讓學生“刷題”熟悉各種題型；高通路遷移，則不斷形成“具體與抽象”以及“抽象與抽象”交錯的復雜認知結構，從而能夠聯結不相似的“具體與具體”。［5］問題解決需要圍繞問題重新組織已有的知識，建立全新的聯系，形成全新的結構，創造性地開拓出一條全新的通路。高通路遷移能否發生，取決于學生的思維是否達到高級水平。不同于一般思維只需要機械應用先前獲得的經驗，高階思維需要將獨立的經驗聯系到一起去尋找解決方案，并且這種聯系從未發生過。這種新的聯系一旦無法建立，思維也就囿于原有水平，無法發展至高階思維的層次，思維斷點就此產生。

數學現實問題具有現實性、情境性和綜合性的特點，涉及的知識常常是跨領域的。跨領域高通路遷移，可以讓學生思維始終保持在高位運轉的狀態，靈活切換思考和分析問題的角度，思維水平不斷得到提升。促進跨領域高通路遷移，應從知識和學習者兩個角度去考量。從知識的角度來說，對涉及的跨領域知識需要深入挖掘，覆蓋這些知識產生到應用的全過程，并將跨領域知識從符號表征、邏輯形式兩個方面進行關聯和融合，還要考慮知識背后蘊含的價值、觀念和思想，在理解的基礎上形成系統的知識體系和科學的思維方式。從學習者的角度來說，需要在原有任務和新任務之間建立一種全新的、從未發生過的聯系和通道。這是一個不斷嘗試、反復試錯、持續修正的過程，需要學習者在問題解決的全過程中始終保持對自我的監控和反思，發現自己思維的局限性并努力克服，注意“揚長避短”，善于吸納他人的合理意見并及時進行調控，更好地實現問題解決。

小學數學課程內容由“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”四個學習領域組成，跨領域高通路遷移活動一般涉及其中兩到三個領域。例如，學習了面積概念及簡單的面積計算之后，讓學生想辦法測算出一個蘋果表面面積的大小，就是 “圖形與幾何”與“綜合與實踐”之間的跨領域高通路活動；學習了小數的意義之后，讓學生利用學過的圖形（長方形、正方形、三角形、圓形等）、工具（直尺、計數器等）或者生活實物來表示0.12，說明這樣表示的理由并對多

種方法進行比較，就是跨“數與代數”“圖

形與幾何”“綜合與實踐”三個領域的高通路活動。當然，跨領域高通路遷移不只是知識層面，也發生在思想方法層面。例如，學生通過對加法運算律的探究，掌握了不完全歸納法的基本步驟“觀察→猜想→舉例→驗證”，研究乘法的運算律時也可以采用這樣的方法。

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：11.

［2］ 林崇德.試論思維的心理結構研究［J］.北京師范大學學報，1986（1）：26.

［3］ 朱小虎.基于PISA的學生問題解決能力研究［D］.上海：華東師范大學，2016：140.

［4］ 陸世奇，徐文彬.小數理解的現狀及其教學改進［J］.課程·教材·教法，2019（4）：

5965.

［5］ 劉徽.“大概念”視角下的單元整體教學構型——兼論素養導向的課堂變革［J］.教育研究，2020（6）：6477.

本文系教育部重點課題“小學教師結構化教學能力的生成機制與培育策略研究”（編號：DHA230386）的階段性研究成果。