追根溯源，深化理解

桑坤

摘要：調查發現，“簡便”是學生對豎式運算順序的主要認知依據。對此，教師帶領學生展開一場對“豎式”追根溯源的探尋，借助相關史料，引導學生在不斷地“猜想—驗證”中，明了豎式的“前世今生”，深化對豎式的理解。

關鍵詞：小學數學；豎式；數學史料；質疑精神

一、教學背景

三年級教學“兩、三位數除以一位數”時，有學生會問：在用豎式計算加法、減法、乘法的時候都是從低位算起，為什么在用豎式計算除法的時候就要從高位算起？除法豎式是否也能從低位算起？受到之前學習的加法、減法和乘法豎式計算經驗的負遷移，學生產生這樣的疑惑是非常自然的。這個問題也具有

研究的意義和價值。筆者翻閱了各個版本小學數學教材后發現，只有北師大版小學數學三年級下冊《除法》單元中對這一問題有所提及（見圖1），但并未作出詳細的解釋與說明。圖中女孩的回答僅僅是：“從低位算起，有時很麻煩！”但“麻煩”并不意味著不能從低位算起。

鑒于此，筆者在所執教的六年級一個班做了一次“關于‘豎式’，你知道多少？”的學情調查，想了解一下即將畢業的小學生對于“豎式”知道些什么、思考過什么、是否產生過質疑。具體調查內容如下：（1）在用豎式計算乘法的時候，我們是從低位算起，是否也可以從高位算起？你是怎么想的？試著將你的想法寫出來。（2）在用豎式計算加法、減法和乘法的時候，我們是從低位算起，為什么除法豎式卻從高位算起？是否也可以從低位算起？你是怎么想的？試著將你的想法寫出來。

關于問題1，所有學生都認為可以從高位算起，但基本上都認為從高位算起比較麻煩（圖2所示即為一名學生的回答）。關于問題2，64%的學生認為可以從低位算起，同樣認為從低位算起比較麻煩；36%的學生認為不可以從低位算起（圖3所示即為一名學生的回答）。

從調查的結果來看，“是否簡便”是學生對豎式運算順序的

主要認知依據。而對于豎式的書寫格式，以及豎式的運算順序等規定的緣由，學生沒有做過多思考，屬于“接受型學習”。即使有一些疑惑，

可能也在教師“就是這樣規定的”“從來如此”等簡單粗暴的解釋下，被按回了心里。這無疑扼殺了學生的創造性，限制了學生探究能力的發展。

如何抓住學生的質疑，讓他們對“豎式”的相關內容有更為深入的了解？筆者認為，可以帶領學生展開一場對“豎式”追根溯源的探尋，借助相關史料，引導學生在不斷地“猜想—驗證”中，明了豎式的“前世今生”，深化對豎式的理解。

二、教學過程

（一）問題引領，自主探尋揭本質

1.問題引領，聚焦本質

師同學們，今天我們一起研究的關鍵詞是——豎式。

關于“豎式”，你們都知道些什么呢？

生我們已經學習了加法、減法、乘法和除法豎式。

生我們學習的豎式中，有整數和小數的豎式。

生用豎式計算加法、減法、乘法的時候，都是從低位算起的。

生用豎式計算除法的時候，是從高位算起的。

師對于我們一直在用的豎式，你是否產生過一些疑惑？

生在用豎式計算加法、減法、乘法的時候都是從低位算起，為什么在用豎式計算除法的時候就要從高位算起呢？

生除法豎式是否也能從低位算起？

師為你們善于思考、敢于質疑的學習品質點贊

。今天這節課，我們就圍繞這兩個問題，開啟我們的探索之旅。

2.合作交流，探尋本質

師對于“除法豎式為什么要從高位算起？”“除法豎式是否也能從低位算起？”這兩個問題，大家有什么想法？四人小組交流，將你們的思考過程寫下來。

（學生交流、匯報。）

生我們小組交流后的思考是這樣的：豎式計算除法的時候是可以從低位算起的，（展示做法，如下頁圖4所示）以58÷2這道除法豎式為例，但計算的過程會比較麻煩，步驟比較多。

生我們同意第一小組的想法，如果是三位數除以一位數的豎式，步驟會更多、更麻煩。

生我們還可以借助小棒來理解。例如，（展示做法，如圖5、圖6所示）在列豎式計算32÷2時，先分十位，再分個位只需要平均分2次；而從個位分起，需要平均分3次。

師我們在研究問題的時候，都是從簡單到復雜的。之前，大家舉的例子都是能夠整除、沒有剩余的情況，那不能整除、有剩余的情況是否也一樣呢？大家試著再舉例說明。

（學生討論、匯報。）

師我們通過舉例子、擺小棒，用自己的方法對除法豎式的計算順序進行了分析與說明。大家明確了兩點：（1）豎式計算除法的時候是可以從低位算起的；（2）從低位算起會比較麻煩，步驟較多。這是同學們共同思考的成果，為大家點贊。

（二）回顧歷史，追溯除法豎式的根源

師通過自主探究，同學們清楚地認識到用豎式計算除法從高位算起的緣由。可是，對于即將小學畢業的你們，僅僅知道這些

是遠遠不夠的，我們需要進一步探尋除法豎式背后的故事。除法豎式是如何演變成現在的樣子的？接下來，我們就一起走進數學歷史的長河中去一探究竟。歷史上出現過許多看起來極其煩瑣的除法豎式計算方法。

（出示圖7）我們先來看清代《御制數理精蘊》一書中介紹的一種極具特色的除法計算方法。原書中對計算過程的描述為：“法以六十四石為實列于下，八人為法列于上，因法之八大于實之首位之六，故將法退一位書之。再看實足法幾倍，今足八倍，故書八于法上。乃以得數之八與法之八相因得六十四書于實下，與實相減恰盡，得數為八石也。”請結合這個豎式和這段文字，同桌互相說一說這個除法豎式的計算過程。

（學生同桌交流。）

師（出示下頁圖8）這一計算過程可以用現在的語言結合圖示作出解釋。第一步，把被除數“64”寫在下面，除數“8”寫在上面。因為除數“8”大于被除數最高位上的“6”，所以要退一位寫。這實際上是運用乘法計算除法，相當于思考“8乘以多少等于64”。第二步，看被除數最多包含除數的幾倍，可以看出最多包含8倍，所以在除數上面寫“8”。第三步，將得數“8”與除數“8”相乘得“64”，寫在被除數“64”的下面。第四步，與被除數相減，恰好得“0”。說明得數就是“8”。這種豎式書寫格式和我們現在什么計算的格式比較像？

生像乘法的豎式。

師確實，它是在利用乘法豎式的寫法來計算除法。這本書中對于比較復雜的除法也采用了同樣的計算方法，（出示圖9）如9225÷45。同桌互相說一說被除數、除數、商在哪？

生其中的“九二二五”是被除數“9225”，“四五”是除數“45”，上面的“二〇五”是商“205”。

師誰還有補充？

生把豎式中的除數“四五”移到左側，加上“丿”，就和我們現在所寫的除法豎式很接近了。

師你觀察得很仔細，（出示圖10）我們整理一下看看。現在，對于除法豎式的書寫格式和從高位算起的緣由，大家是否有不同的體會了？

生現在除法豎式的書寫格式，其實是從乘法豎式得來的，只是稍

微做了調整。

生我知道了除法豎式可以從低位算起，并通過舉例得到了證明，但從高位算起更簡便。

（三）融入乘法，建構豎式的“前世今生”

師剛才我們一直在研究除法豎式，想不想了解一下乘法豎式的運算順序和書寫格式是怎么發展的？

生（齊）想。

師在乘法豎式計算中，我們是從低位算起的，而在歷史上并非一直如此。比如，（出示下頁圖11、圖12）“135×12”豎式的計算方法是這樣的。

請同學們根據這兩道乘法豎式，同桌合作完成探究。探究內容如下：（1）同桌互相說一說兩道豎式的計算過程，它們分別是從哪一位算起的？（2）兩種算法有什么不同的地方？（3）比較現在乘法豎式的計算過程，你有什么想說的？

生左邊的豎式是將135分成“100＋30＋5”，分別和12相乘來計算的；右邊的豎式是將12分成“10＋2”，分別和135相乘來計算的，都是從高位算起的。

師說得真好！從歷史上的算法來看，我們現在所規定的從“從低位算起”并不是唯一的。從計算的過程和步驟中，我們能體會到“從低位算起”書寫的簡約與

方便。同學們，今天我們一起探尋了乘法、除法豎式的“前世今生”，從歷史的視角探尋了豎式的演變過程。希望通過這節課的學習，你們對“豎式”

能有更多不一樣的認識。最后，我們能否大膽猜測一下：在若干年后，豎式是否還會發生變化？會發生怎樣的變化？

三、教學思考

對于數學規定，如果教師按部就班地施教、學生不假思索地接受，這些約定成俗、理所應當的規定就如水中的浮萍，容易導致學生“一學就懂，一做就錯”。因此，教師需要

引導學生把目光聚焦于數學規定背后所隱藏的思考過程。“數學是積累的科學，它本身就是歷史的記錄。或者說，數學的過去融合在現在與未來之中。”［1］以“史”化人的理念給當下的數學課堂注入了新的能量。將數學知識背后所蘊含的數學思想、數學精神、數學史等相關

內容與數學知識進行聯結，能讓學生在感受數學理趣的同時，厘清數學知識的來龍去脈，并深化理解。

本課中，筆者先呈現了數學史料中除法的豎式格式及其計算過程，讓學生初步感受古代的除法豎式與現在的乘法豎式很像。然后，引導學生帶著這樣的感受，一步一步地揭開除法豎式的秘密，從而讓學生對“除法豎式為什么從高位算起？”這一問題有更為清晰且深刻的理解。緊接著，筆者順勢引出乘法豎式的相關數學史料，讓學生在小組交流與合作中繼續思考。

六年級學生有能力自主探究豎式的“前世今生”，體會與感悟現在的豎式與過去的豎式的異同，從根本意義上理解我們所認為的“約定俗成”“簡便”的深層含義。在演算、證明的過程中，學生提升了分析問題、解決問題的能力；在回顧歷史、審視計算方法的過程中，學生深化了對知識的理解。

當然，數學史料的使用不是簡單的呈現，而應融入具體的教學情境中。具體地，筆者創設了兩處認知沖突，助力學生的探究學習，同時培養學生的質疑精神。其一，除法豎式通常從高位算起，是否也能從低位算起？其二，乘法豎式通常從低位算起，是否也能從高位算起？調查發現，學生目前的認知僅停留在除法豎式從高位算起、乘法豎式從低位算起的簡單理解層面。這樣的兩處認知沖突，從兒童的認知視角出發，翻轉約定俗成，在充分體現知識之間的密切聯系的同時，激發學生自主探究的意識，引領學生積極、主動地參與探究活動，并在探究活動中更好地感悟數學的理性與嚴謹，更好地理解數學知識的內涵與外延。

參考文獻：

［1］ 郜舒竹.小學數學這樣教（第2版）［M］.上海：華東師范大學出版社，2021：6469.