基于GeoGebra軟件的立體幾何數(shù)學(xué)實驗*

李必船 何園園

(合肥市廬陽高級中學(xué) 安徽合肥 230000)

一、研究背景

現(xiàn)代意義的數(shù)學(xué)實驗是以信息技術(shù)和專業(yè)數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用為特征,通過構(gòu)建實驗?zāi)Ｐ?在信息化和智能化環(huán)境中進(jìn)行的探究型教學(xué)模式。實驗過程中強(qiáng)調(diào)學(xué)生的獨立操作和自主探究,有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展,因而是一種適應(yīng)課程改革與發(fā)展,體現(xiàn)立德樹人精神的新型數(shù)學(xué)教學(xué)模式。所以,在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中引入數(shù)學(xué)實驗可謂是正當(dāng)其時。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要以六大核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng),其中“直觀想象”是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括:借助空間形式認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型,探索解決問題的思路。

反思我們的教學(xué),普遍存在不重視直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)問題,教師往往更愿意將時間花在邏輯推理和數(shù)學(xué)計算上,對于沒有圖形的例題,直接通過課件給出,然后再引導(dǎo)學(xué)生探究。這樣的教學(xué)直接剝奪了學(xué)生訓(xùn)練直觀想象素養(yǎng)的機(jī)會,也為其他素養(yǎng)的發(fā)展埋下隱患。為了調(diào)查即將升入高三的學(xué)生的直觀想象素養(yǎng),筆者將2022年高考數(shù)學(xué)試卷中的兩道立體幾何試題發(fā)給學(xué)生進(jìn)行測試,從測試的結(jié)果看,學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)嚴(yán)重不達(dá)標(biāo),最直接的體現(xiàn)是不能根據(jù)語言描述繪制準(zhǔn)確的圖形,從而導(dǎo)致后續(xù)的邏輯推理和數(shù)學(xué)計算沒有依托,成為空中樓閣。這引發(fā)了筆者對即將到來的高三數(shù)學(xué)教學(xué)的思考。

二、基于GeoGebra軟件開展立體幾何實驗的可行性

(一)實驗的理論依據(jù)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》指出:立體幾何的教學(xué)重點是幫助學(xué)生逐步形成空間觀念,應(yīng)遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則,提供豐富的實物模型或利用計算機(jī)軟件呈現(xiàn)空間幾何體,幫助學(xué)生認(rèn)識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,進(jìn)一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能。所以,解決問題的關(guān)鍵是提供空間幾何體的模型,模型的直觀性一方面降低了思維的難度,另一方面提高了學(xué)生探究的有效性,避免部分學(xué)生陷入空想,增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心,提高探究的興趣。

立體幾何中的實物模型難以呈現(xiàn)空間幾何體的動態(tài)變化,也難以保證讓所有學(xué)生都能得到動手操作的機(jī)會,所以利用計算機(jī)軟件建立數(shù)字化的模型就成為首選的方法。2019年版人教A版普通高中數(shù)學(xué)教科書推薦的GeoGebra軟件是一款專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件,其3D視圖功能可以實現(xiàn)空間幾何體的動態(tài)演示,是立體幾何教學(xué)的好幫手。該軟件是一款跨平臺的免費軟件,可以安裝在各種電腦、手機(jī)和智慧課堂的平板電腦中,為實現(xiàn)立體幾何實驗提供了可靠的工具。

(二)實驗的硬件設(shè)備

智慧課堂系統(tǒng)為實驗操作、成果提交、交流和討論提供了便捷的平臺,教師在系統(tǒng)中發(fā)布實驗任務(wù),學(xué)生在平板電腦上進(jìn)行實驗操作,得到實驗結(jié)果后通過截圖提交成果,提交后即可在班級中進(jìn)行展示與交流,通過與其他同學(xué)的實驗作品進(jìn)行比較,學(xué)生可以獲得更多的實驗感受。交流與展示可以由教師在大屏幕上進(jìn)行點評,還可以通過智慧課堂系統(tǒng)中“學(xué)生講”的功能實現(xiàn),它能夠讓學(xué)生的平板投屏到教室的主屏幕上,學(xué)生只需在自己的平板電腦上操作就可以在全班展示實驗操作與實驗結(jié)果。所以,智慧課堂系統(tǒng)是理想的實驗平臺。

(三)實驗的教學(xué)模式

基于GeoGebra軟件的立體幾何實驗?zāi)Ｊ降幕緝?nèi)容包括制訂實驗?zāi)繕?biāo)、制訂實驗內(nèi)容、制訂實驗步驟、建立實驗?zāi)Ｐ汀W(xué)生自主實驗、提交實驗結(jié)果、實驗原理分析與驗證、實驗總結(jié)與拓展。

實驗?zāi)繕?biāo)和內(nèi)容要有明確的核心素養(yǎng)導(dǎo)向性,要處理好與數(shù)學(xué)常規(guī)教學(xué)的關(guān)系。作為數(shù)學(xué)課程的有機(jī)組成部分,數(shù)學(xué)實驗課為學(xué)生提供了動手實踐、動眼觀察、動腦思考的時間和空間,是常規(guī)課堂教學(xué)有益的補(bǔ)充,重點是在真實的情境中通過循序漸進(jìn)的訓(xùn)練提高學(xué)生運用信息技術(shù)解決數(shù)學(xué)問題的能力,提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。實驗步驟要追求簡潔性和確定性,避免因為操作步驟煩瑣而造成時間上的過度消耗,使教學(xué)方向出現(xiàn)偏差,影響教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn)。實驗步驟的確定性是有效教學(xué)的重要保證,步驟的設(shè)計要反復(fù)推敲,考慮各種可能,既要保證學(xué)生在實驗操作中的創(chuàng)造性,又要保證能得到準(zhǔn)確的實驗結(jié)果。

實驗?zāi)Ｐ偷慕⒂袃煞N形式,對于平面上的函數(shù)與幾何問題,應(yīng)該以學(xué)生自主建立模型為主,既提升學(xué)生的信息技術(shù)素養(yǎng),又提高實驗過程的完整性;包括立體幾何在內(nèi)的其他實驗,以教師建立實驗?zāi)Ｐ秃蠓窒斫o學(xué)生的形式為主,提高實驗的有效性和準(zhǔn)確性。

實驗結(jié)果的交流展示與實驗原理分析以學(xué)生講評和討論為主,教師做好串聯(lián)、并聯(lián)與總結(jié),改變填鴨式的教學(xué)方式,推進(jìn)探究式的教學(xué),這是核心素養(yǎng)目標(biāo)實現(xiàn)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。實驗原理的驗證環(huán)節(jié)是指學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識、方法與技能,建立問題的數(shù)學(xué)模型,進(jìn)行邏輯推理與數(shù)學(xué)計算,從理論上檢驗實驗結(jié)果的正確性。因為已經(jīng)通過實驗感知到幾何元素之間的依存關(guān)系,學(xué)生能夠在較高的層面上理解問題的本質(zhì),為使用數(shù)學(xué)方法驗證結(jié)論提供了素養(yǎng)方面的支持,驗證結(jié)論的過程也是數(shù)學(xué)素養(yǎng)鍛煉與提升的過程。

數(shù)學(xué)實驗要實現(xiàn)上述目標(biāo),絕不是一兩節(jié)課就能夠?qū)崿F(xiàn)的,學(xué)生的實驗操作能力、教師的實驗設(shè)計與實驗教學(xué)能力都需要通過多次的實踐才能提高。所以,數(shù)學(xué)實驗不能流于表演,要落到實處,形成穩(wěn)定的校本課程,才能真正發(fā)揮實驗教學(xué)對于核心素養(yǎng)的提升作用。

三、基于GeoGebra軟件開展立體幾何實驗的案例研究

(一)高考試題呈現(xiàn)

2022年全國乙卷理科數(shù)學(xué)第9題(文科第12題):已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點為O,底面的四個頂點均在球O的球面上,則當(dāng)該四棱錐的體積最大時,其高為( )

這兩道試題屬于立體幾何中的典型試題,基于棱錐和球面考察學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)計算能力。從課程標(biāo)準(zhǔn)的角度看,這兩道試題的解決步驟完美呈現(xiàn)了課標(biāo)的要求,第一步是借助直觀圖認(rèn)識棱錐與球的位置關(guān)系、形態(tài)變化,學(xué)生需要根據(jù)語言描述繪制直觀圖;第二步是利用直觀圖或軸截圖建立形與數(shù)的聯(lián)系,構(gòu)建幾何問題的函數(shù)模型,確定棱錐的底面外接圓的半徑與球的半徑滿足的關(guān)系;第三步是對函數(shù)模型進(jìn)行計算,運用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)模型的最值,得到幾何問題的答案。

參試學(xué)生中有約30%的學(xué)生因不能正確畫出直觀圖而導(dǎo)致失分,在能畫出直觀圖的學(xué)生中,只有約60%的學(xué)生能夠正確分析幾何元素的關(guān)系,推出棱錐的底面外接圓的半徑與球的半徑滿足的關(guān)系并建立函數(shù)關(guān)系式。所以,較高的直觀想象素養(yǎng)是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要前提,是探索解題思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、形成數(shù)學(xué)結(jié)論的思維基礎(chǔ)。

(二)實驗設(shè)計整體思路

數(shù)學(xué)實驗內(nèi)容的選擇要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的抽象性,不能局限于一題一例,好的實驗內(nèi)容應(yīng)該是以解釋一類現(xiàn)象為目標(biāo)的綜合性問題,背景比較復(fù)雜,通過實驗抽象出數(shù)學(xué)模型,數(shù)學(xué)模型在不同的條件下產(chǎn)生不同的實驗結(jié)果。數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)是一個有機(jī)的整體,解決綜合性問題最能體現(xiàn)核心素養(yǎng)的水平,對核心素養(yǎng)的提升作用也最顯著。

事實上,各種棱錐的外接球問題大多可以轉(zhuǎn)化為圓錐的外接球問題,如2022年高考全國乙卷理科數(shù)學(xué)第9題中的四棱錐的體積問題可以轉(zhuǎn)化為圖1中圓錐OO′的體積問題,2022年新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷第8題中四棱錐的體積問題也可以轉(zhuǎn)化為圖2中的圓錐PO′的體積問題,只需要求出棱錐的底面外接圓的半徑就可以實現(xiàn)轉(zhuǎn)化。所以,本案例的實驗?zāi)Ｐ椭黧w為球的內(nèi)接圓錐,其一般性體現(xiàn)在兩個方面:一是圓錐的頂點和底面可以通過拖動實現(xiàn)變化,讓學(xué)生在真實的環(huán)境中直觀體驗幾何體的演變過程。二是可以在圓錐內(nèi)構(gòu)造各種正棱錐,其底邊邊數(shù)通過一個整數(shù)型滑動條n控制,如圖1是四棱錐,圖2是三棱柱,以提高實驗的普適性,還可以呈現(xiàn)當(dāng)邊數(shù)n→+∞時,棱錐趨近于一個圓錐的過程。

圖1

圖2

數(shù)學(xué)實驗的設(shè)計還要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,通過觀察獲得結(jié)論的正確性,需要通過邏輯推理和數(shù)學(xué)計算進(jìn)行驗證,所以,實驗設(shè)計不能僅限于觀察,還要有分析原理和驗證結(jié)論的環(huán)節(jié)。

基于以上的分析,本案例的整體思路是利用GeoGebra軟件制作實驗?zāi)Ｐ?球的內(nèi)接圓錐和內(nèi)接棱錐,其中圓錐PO′的底面圓在球面上運動,正n棱錐(底面邊數(shù)n可通過滑動條控制)的底面頂點在圓錐的底面圓上。

實驗活動甲:如圖1所示,當(dāng)頂點P與球心O重合時,觀察并驗證圓錐和棱錐的最大值。

實驗活動乙:如圖2所示,當(dāng)頂點P在球面上時,觀察并驗證圓錐和棱錐的最大值。

(三)建立實驗?zāi)Ｐ?/h3>

第1步:在“3D繪圖區(qū)”作點O=(0,0,0),以O(shè)為球心、半徑為1作球面a,以O(shè)為圓心,作半徑為1的圓c。

第2步:在z軸上作點O′,過O′點作與z軸垂直的平面p,與球面交于圓d,隱藏平面p。

第3步:在“2D繪圖區(qū)”建立整數(shù)型滑動條n,取值范圍為[3,10]。在圓d上任取一點A,以z軸為旋轉(zhuǎn)軸,將點逆時針旋轉(zhuǎn)(360/n)°,得到點B。作以A、B為頂點,邊數(shù)為n的正多邊形poly1。拖動滑動條n可以改變圓d的內(nèi)接正n邊形的邊數(shù)。

第4步:在z軸上取一點P,以多邊形poly1為底面,P為頂點建立棱錐b。

第5步:以O(shè)′為底面圓心,P為頂點,線段O′A為底面半徑建立圓錐e。

第6步:連接線段OO′、線段OP、線段OA、線段O′A,隱藏坐標(biāo)系。

(四)實驗過程設(shè)計

1.實驗活動甲:頂點與球心重合的圓錐和棱錐

(1)實驗操作:將n的值設(shè)置為4,P與球心重合,得到四棱錐P-ABCD(四棱錐b)和圓錐PO′(圓錐e),在球O內(nèi)拖動點O′改變棱錐和圓錐的形狀。

(2)實驗觀察:通過觀察,說出四棱錐b與圓錐e的體積的最大值。

通過實驗與觀察獲得結(jié)論:如圖3和圖4所示,在實驗?zāi)Ｐ椭型蟿訄A錐的底面圓心O′可以實現(xiàn)圓錐和棱錐的連續(xù)變化,圖3中的棱錐和圓錐體積較小,將O′向上拖動時棱錐和圓錐的體積逐漸增大,到圖4的位置時,體積分別為0.26和0.4,再向上拖動O′點時棱錐和圓錐的體積逐漸變小,所以四棱錐b體積的最大值是0.26,圓錐e體積的最大值是0.4。

圖3

圖4

(3)數(shù)學(xué)建模:已知球O的半徑為1,設(shè)圓錐PO′的底面半徑為r,請結(jié)合實驗?zāi)Ｐ屯瞥鏊睦忮Fb的體積V1和圓錐e的體積V2。

數(shù)學(xué)建模是最高層次的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),通過實驗設(shè)計,為數(shù)學(xué)建模問題提供一個直觀的觀測和實踐平臺,利于學(xué)生領(lǐng)悟問題的本質(zhì)、建立元素之間的整體聯(lián)系。通過循序漸進(jìn)的實驗步驟,將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為一個較為簡單的“問題串”,學(xué)生通過“問題串”形成的思維階梯可以到達(dá)思維的最高一級。較高層次的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不是一朝一夕能夠?qū)崿F(xiàn)的,循序漸進(jìn)、螺旋式上升才是正確的途徑。

(4)驗證結(jié)論:

因為f′(t)=2t-3t2=t(2-3t),

結(jié)論的驗證就是基于數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理和數(shù)學(xué)計算,因為有實驗的輔助,推理和計算的過程不再抽象和枯燥,難度相對降低。對比來看,上文引用的高考題如果采用常規(guī)的教學(xué)方式進(jìn)行分析講解,大部分學(xué)生能夠掌握,但缺乏舉一反三的能力,因為習(xí)題教學(xué)往往難以延伸擴(kuò)展,對學(xué)生解決一般性問題的素養(yǎng)提升作用有限。采用實驗方式進(jìn)行教學(xué)的優(yōu)點是學(xué)生能夠體驗到更多的情況,學(xué)生的理解程度和素養(yǎng)提升幅度比常規(guī)教學(xué)更大。

2.實驗活動乙:頂點在球面上的圓錐和棱錐

(1)實驗操作:將n的值設(shè)置為3,P在球面上,坐標(biāo)為(0,0,1),在球O內(nèi)拖動點O′改變棱錐和圓錐的形狀。

(2)實驗觀察:通過觀察,說出三棱錐b(三棱錐P-ABCD)與圓錐e(圓錐PO′)的體積的最大值。

實驗結(jié)論:如圖5所示,三棱錐b體積的最大值是0.51,圓錐e體積的最大值是1.24。

圖5

(3)數(shù)學(xué)建模:已知球O的半徑為1,設(shè)圓錐PO′的高為h,請用h表示三棱錐P-ABCD的體積V1和圓錐PO′的體積V2。

圖6

(4)驗證結(jié)論:

V1和V2可以用函數(shù)f(h)=2h2-h3(0

因為f′(h)=4h-3h2=h(4-3h),

實驗最后,可以留給學(xué)生一個課后的拓展性問題:如果圓錐的頂點在球半徑的中點呢?

四、結(jié)語

實驗是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要形式,是常規(guī)教學(xué)的必要補(bǔ)充,對于提高教學(xué)質(zhì)量、提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有不可替代的作用。數(shù)學(xué)實驗要與信息技術(shù)深度融合,考慮學(xué)生的差異性,設(shè)計合理的實驗?zāi)繕?biāo),實驗中加強(qiáng)對學(xué)生的引導(dǎo)和個別指導(dǎo),實現(xiàn)真正的手眼腦并用,避免流于形式的表演。立體幾何實驗?zāi)Ｐ偷闹谱髻M時費力,需要教師學(xué)習(xí)新的軟件和技術(shù),這既是教師的職業(yè)要求,也是教師的成長之路。