基于水翼艇的現代控制理論實驗設計

王端松，杜成濤，張 坦，張金仲

（皖西學院電氣與光電工程學院，安徽 六安 237012）

1 前言

現代控制理論作為一門科學技術，已經廣泛地運用于我們社會生活的方方面面，如航空航天、海洋領域和工業機器人等領域。現代控制理論的實驗教學是理工科院校重要的教學環節[1]，然而，在現代控制理論實驗教學領域，面臨著如下問題：控制技術在近二、三十年得到飛速發展，新理論和新的控制方法不斷出現，內容包含大量的公式證明以及矩陣的運算，理論較強且比較抽象，如果不與實際的物理系統相結合，非常難以理解，學習難度較大。以往的教學實驗大多屬于演示性或驗證性實驗，與實際工程結合不緊密，變量的值雖然能隨意改變，但是意義單一，學生做實驗做完就忘，限制了學生動手能力和創新能力的培養。因此，有必要在實驗課程的教學中引入實際物理系統，將理論知識賦予物理意義，幫助學生更好地理解和掌握現代控制的理論知識。

雖然在現代控制理論的實驗教學中有專家學者引入了能控性、能觀性、極點配置的實驗，并且通過MATLAB 編程進行仿真，但是各模塊的仿真實驗很多都是獨立的，不能系統地聯系在一起，使得知識點碎片化，仍然無法使學生獲得真實且直觀的感受。為此，南京郵電大學的丁潔等人設計了基于飛控平臺的現代控制理論綜合實驗[2],包括飛行器的數學模型建立、狀態觀測器設計和跟蹤控制實驗。張勇[3]教學團隊以倒立擺平臺作為載體，通過對倒立擺進行數學建模、穩定性分析、能控性判斷和極點配置等設計了綜合實驗，改變了傳統的教學模式，取得了一定的教學實踐效果。南京航空航天大學張苗[4]教學團隊以直流電機為例，進行實驗課程探索，從控制系統建模到模型線性化、狀態空間表達式建立、能控性和能觀性分析、狀態反饋和狀態觀測器設計，將理論知識和實踐更好地結合在一起，很好地改善了實驗課程的教學效果。邢景虎[5]教學團隊為了解決現代控制理論教學實驗中學生學習積極性不高、理論性較強的問題，設計了基于單級倒立擺的仿真及實物實驗，取得了良好的教學效果。

受以上文獻啟發，本文針對現代控制理論實驗教學領域的不足，擬結合筆者的科研經驗，探索基于水翼艇的現代控制理論綜合實驗設計。本實驗側重于理論結合實際，從工程角度理解理論知識，培養學生分析問題、解決問題以及學以致用的能力，可以有效激發學生的學習興趣，培養學生的研究能力和創新精神。

2 水翼艇狀態空間建模

筆者在現代控制理論實驗課程的教學過程中，以美國的PCH 水翼艇作為教學案例，從系統數學模型建立出發，并轉化為狀態空間表達式分析系統的性能。

船舶在水面上為六自由度運動，分為沿x軸的縱蕩運動、沿y軸的橫蕩運動、沿z軸的垂蕩運動，對應的縱向速度、橫向速度和垂向速度分別用u，v，w表示，以及橫搖、縱搖、艏搖（分別關于x，y，z軸的角運動），對應的角速度分別用p，q，r表示，如圖1 所示。

圖1 水翼艇固定-隨體坐標系示意圖

水翼艇運動較為穩定的條件下，可以看作是在平衡點附近的微擾運動。PCH 水翼艇縱向運動的線性化方程為[6]：

其中，h表示垂蕩位移，θ為縱搖角度，δe和δf分別表示水翼艇的艏翼角度和尾翼角度。Zs和Ms為干擾量。為了方便，在本文中假設外部環境干擾為0，即Zs=Ms=0。水翼艇的縱向運動狀態縱搖角度和垂蕩位移通過控制艏翼角和尾翼角來改變，當控制輸入和外部干擾為零的情況下，如果初始狀態不穩定，水翼艇會由給定的初始狀態進行縱向運動，能量逐漸衰減到靜止的平衡狀態。

根據水翼艇的縱向運動線性化方程，水翼艇的數學模型使用狀態空間表達式可以表示為：

通過MATLAB 指令eig(A)可以求出，此時閉環系統的特征值為-9.8594，-4.7731，0.009±0.8441i，從特征值可以看出，由于具有正實部的特征根，所以系統此時是不穩定的。此時如果設置水翼艇的初始狀態為垂蕩位移h=1.5m，縱搖角θ=5°，輸入u=[0 0]T，通過搭建simulink 仿真程序，可以得到水翼艇的運動狀態曲線，在沒有控制輸入和環境干擾的條件下，水翼艇垂蕩位移和縱搖角運動曲線為正弦震蕩，不能由給定的初始狀態衰減到穩定狀態，所以系統不能收斂，也驗證了系統的不穩定性。

3 水翼艇狀態反饋實驗設計

3.1 狀態反饋

狀態反饋是將系統的每一個狀態變量乘以相應的反饋系數，然后反饋到輸入端與參考輸入相加形成控制律，作為受控系統的輸入[7]。

對于由狀態空間表達式（2）表示的受控系統，狀態線性反饋控制律u為[8]：

其中，v為r×1 維參考輸入，K為r×n維狀態反饋增益陣。

把方程（3）帶入（2）可得狀態反饋閉環系統的狀態空間表達式為：

可以簡記為：∑K((A+BK),B,C)。

3.2 極點配置

極點配置問題就是選擇合適的狀態反饋矩陣，將閉環系統的極點配置在根平面期望的位置上，來獲得期望的動態性能。為了實現對水翼艇縱向運動的控制，需要對系統進行極點配置，保證閉環系統是穩定的[9]。

設置水翼艇縱向運動系統的期望特征值為λ1,2=-3±3j,λ3=-5,λ4=-6，可以看出，一對共軛復根為系統的主導極點。

首先，可以通過MATLAB 對水翼艇的能控性和能觀性進行驗證。該系統的可控性矩陣秩為4，即rank(B,AB,A2B)=4，能觀性矩陣秩rank[CT(CA)T(CA2)T(CA3)T]T=4，所以閉環系統是完全能控且能觀的，可以通過狀態反饋對系統進行極點配置。

用MATLAB 編程求取系統的狀態反饋增益陣K：

此時如果設置水翼艇的初始狀態為垂蕩位移h=1.5m，縱搖角θ=5°，輸入u=[0 0]T，水翼艇的運動狀態曲線如圖2 所示。狀態空間1 和2 分別為垂蕩位移和縱搖角，從圖中可以看出，在執行機構沒有動作的情況下，水翼艇的垂蕩位移和縱搖角運動曲線由初始狀態經過短暫的調整分別到達平衡點，其導數值也達到平衡點，證明了極點配置的有效性。

圖2 水翼艇縱向運動狀態反饋的狀態響應曲線

4 結語

本文通過對水翼艇的縱向運動方程進行建模，進而轉化為狀態空間表達式，通過判斷求取系統的極點，由極點的分布情況判斷系統的穩定性。然后，通過設計狀態反饋增益陣實現對水翼艇縱向運動系統的極點配置，保證閉環系統的穩定性。通過MATLAB 仿真證明了有效性。