剖析過程 反思結果
——例談高中數學反思性解題教學

杜勇飛

(江蘇省如皋市長江高級中學,江蘇 如皋 226500)

著名數學家華羅庚先生在談讀書時,提出了“由薄到厚、由厚到薄”觀點,其實在數學解題中亦是如此.在對學生進行解題教學時,大量的習題訓練雖然可促進學習“由薄到厚”的發展,但僅僅依靠這一點還遠遠不夠,還應堅持“由厚到薄”的原則,引領學生對解題過程進行總結、歸納和反思,促使其在有效的反思中,探究問題的本質和規律,提升數學解題能力.對此,在《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》的“課程目標”中,也提出了“敢于質疑、善于思考、嚴謹求實”的學習態度和求學精神.鑒于此,高中數學教師在日常解題教學中,必須遵循課程標準中的“教學建議”,不僅要加強教學方法指導,還應帶領學生積極開展解題反思,使其在反思、剖析中,真正提升自身的數學解題能力.

1 高中數學反思性解題教學重要性

反思屬于元認知范疇,反思性解題就是聚焦解題過程進行再思考,對解題的結果進行再探究,結合教學反思指導未來的思維活動,促使學生在反思中發現、創造,并由此實現數學問題的深入探究和學習.在高中數學解題教學中,積極開展反思性解題教學,彰顯出顯著的價值:首先,由于數學學科的特點,很多問題都存在著多種解題思路和方法.鑒于此,積極開展反思性解題教學,可促使學生在反思中厘清各種解題思路,并由此尋找到最為簡單的解題思路和方法.而在這一過程中,學生的發散思維也隨之得以提升,并加深了數學知識的理解和應用.其次,在反思性解題中,也為學生提供了多角度分析問題、解決問題的機會,使其在問題反思的過程中,逐漸形成更為嚴謹的數學思想,為提升解題效率帶來極大的保障.最后,鑒于數學學科的特點,數學題目之間存在極強的關聯性,通過必要的解題反思,可促使學生在反思中進行總結、歸納,真正掌握某一類數學題目的解答方式[1].

2 高中數學反思性解題教學實踐分析

2.1 反思解題錯誤

學生在解題過程中,受到多種因素的制約,常常因為忽略關鍵條件而產生各種各樣的錯誤.在反思性解題中,應聚焦這些解題錯誤,引領學生對這些錯誤展開反思,明確錯誤產生的原因,最終促使學生在反思中進步和發展.

例1已知拋物線C:x2=4y上存在動弦AB,其長度為3,求AB中點Q到準線l的最小距離?

在這一問題中,部分學生常常對題目條件分析不夠透徹,直接根據“兩點之間線段最短”的定理進行求解:

2.2 反思解題過程

數學解題過程不僅僅是數學知識鞏固、遷移和應用的過程,也是培養學生數學思維和能力的重要階段.因此,在反思性解題教學中,還應聚焦學生的整個解題過程,對整個數學解題過程展開全面、深層次反思,如:已知條件和目標問題關系?現有解題方法的優點和缺點?在解題過程中共運用了哪些推理依據等.

這一解題思路最為常見,但計算量比較大,學生在求解二元一次方程組時,常常會出現錯誤.鑒于此,在反思性解題教學中,就應聚焦整個解題過程,通過有效的反思,嘗試轉換解題思路,從不同的角度進行探究,最終在多種解題思路對比中,找到最為簡便的解題思路.

在這一題目中,通過對整個解題過程進行反思,可促使學生在題目已知條件和所求結論反思、解題思路反思中,通過對比分析,不僅找到了簡便的解題思路,還在反思中拓展了自身的解題思維,為其更好地解題奠定了堅實的基礎[2].

2.3 反思數學思想方法

在高中數學解題中,常常蘊含著大量數學思想和數學方法,如:消元法、換元法、反證法、配方法,以及數形結合思想、分類討論思想、模型思想、化歸思想等.鑒于此,在反思性教學中,教師還應引領學生對整個題目,以及解題過程展開深層次分析,思考解題中一共運用了哪些數學思想,以及這些數學思想的應用條件和應用方法等.

分析針對這一數學題目,按照正常的解題思路,先采用了消元、配湊的方式,得出:

最終運用基本不等式即可輕松完成題目的解答.但是在反思性解題教學中,學生完成題目解答之后,還應帶領學生對整個題目展開反思,分析在解答本題目中一共運用了哪些解題方法和數學思想,并在反思的過程中歸納總結數學思想和方法的應用條件等,旨在通過必要的反思,深化數學思想方法的具體應用.

2.4 反思數學問題的本質

高中數學雖然問題的形式千變萬化,但數學本質基本相同.鑒于此,在反思性解題教學中,應通過整個解題過程,對其本質問題進行深層次剖析,使學生在反思中加深數學問題的理解,并形成深刻的認知.

圖1 橢圓E和直線l相交圖

求:(1)橢圓E的方程

在解答(2)時,需要先假設直線l的斜率存在,且不為零,且直線l方程為y=kx-2.

在反思性解題中,待學生完成解題之后,就引領學生圍繞這一問題開展深層次得反思,并在反思的過程中探究這一問題的本質.在這一過程中,由于學生的知識、能力有限,教師從“結論一般化、條件和定點一般后是否成立”的角度展開探究,使學生在問題探究中,深刻理解問題的本質,并在反思和拓展中,提升了數學解題能力[3].

3 數學反思性解題教學啟示

鑒于數學學科的特點,聚焦解題中的錯誤、過程、數學思想、本質問題展開深層次反思是提升學生解題能力的關鍵.因此,高中數學教師在組織和開展反思性解題教學時,應努力轉變傳統的灌輸式解題教學方式,給學生預留預足夠的思考空間,并結合不同的題目,確定反思的主題和內容,借助針對性的指導,使學生在反思的過程中,拓展數學思維,并提升自身的數學解題能力;同時,教師還應定期布置反思性的數學作業,使學生在日常反思性作業訓練中,逐漸掌握反思的能力,形成良好的反思習慣,并在積極的反思過程中提升自身的數學綜合素養[4].

綜上所述,反思作為一種有效的解題方式,通過必要的解題反思,可促使學生在錯誤中反思、解題過程中反思、解題思想和方法中反思、數學問題本質中反思,加深對數學知識的理解,并在反思中拓展自身思維品質等,真正提升自身的數學綜合素養.