剖析過程 反思結(jié)果
——例談高中數(shù)學(xué)反思性解題教學(xué)

杜勇飛

(江蘇省如皋市長江高級中學(xué),江蘇 如皋 226500)

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生在談讀書時,提出了“由薄到厚、由厚到薄”觀點(diǎn),其實(shí)在數(shù)學(xué)解題中亦是如此.在對學(xué)生進(jìn)行解題教學(xué)時,大量的習(xí)題訓(xùn)練雖然可促進(jìn)學(xué)習(xí)“由薄到厚”的發(fā)展,但僅僅依靠這一點(diǎn)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠,還應(yīng)堅(jiān)持“由厚到薄”的原則,引領(lǐng)學(xué)生對解題過程進(jìn)行總結(jié)、歸納和反思,促使其在有效的反思中,探究問題的本質(zhì)和規(guī)律,提升數(shù)學(xué)解題能力.對此,在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》的“課程目標(biāo)”中,也提出了“敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)”的學(xué)習(xí)態(tài)度和求學(xué)精神.鑒于此,高中數(shù)學(xué)教師在日常解題教學(xué)中,必須遵循課程標(biāo)準(zhǔn)中的“教學(xué)建議”,不僅要加強(qiáng)教學(xué)方法指導(dǎo),還應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生積極開展解題反思,使其在反思、剖析中,真正提升自身的數(shù)學(xué)解題能力.

1 高中數(shù)學(xué)反思性解題教學(xué)重要性

反思屬于元認(rèn)知范疇,反思性解題就是聚焦解題過程進(jìn)行再思考,對解題的結(jié)果進(jìn)行再探究,結(jié)合教學(xué)反思指導(dǎo)未來的思維活動,促使學(xué)生在反思中發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造,并由此實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的深入探究和學(xué)習(xí).在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,積極開展反思性解題教學(xué),彰顯出顯著的價值:首先,由于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn),很多問題都存在著多種解題思路和方法.鑒于此,積極開展反思性解題教學(xué),可促使學(xué)生在反思中厘清各種解題思路,并由此尋找到最為簡單的解題思路和方法.而在這一過程中,學(xué)生的發(fā)散思維也隨之得以提升,并加深了數(shù)學(xué)知識的理解和應(yīng)用.其次,在反思性解題中,也為學(xué)生提供了多角度分析問題、解決問題的機(jī)會,使其在問題反思的過程中,逐漸形成更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思想,為提升解題效率帶來極大的保障.最后,鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn),數(shù)學(xué)題目之間存在極強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性,通過必要的解題反思,可促使學(xué)生在反思中進(jìn)行總結(jié)、歸納,真正掌握某一類數(shù)學(xué)題目的解答方式[1].

2 高中數(shù)學(xué)反思性解題教學(xué)實(shí)踐分析

2.1 反思解題錯誤

學(xué)生在解題過程中,受到多種因素的制約,常常因?yàn)楹雎躁P(guān)鍵條件而產(chǎn)生各種各樣的錯誤.在反思性解題中,應(yīng)聚焦這些解題錯誤,引領(lǐng)學(xué)生對這些錯誤展開反思,明確錯誤產(chǎn)生的原因,最終促使學(xué)生在反思中進(jìn)步和發(fā)展.

例1已知拋物線C:x2=4y上存在動弦AB,其長度為3,求AB中點(diǎn)Q到準(zhǔn)線l的最小距離?

在這一問題中,部分學(xué)生常常對題目條件分析不夠透徹,直接根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”的定理進(jìn)行求解:

2.2 反思解題過程

數(shù)學(xué)解題過程不僅僅是數(shù)學(xué)知識鞏固、遷移和應(yīng)用的過程,也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和能力的重要階段.因此,在反思性解題教學(xué)中,還應(yīng)聚焦學(xué)生的整個解題過程,對整個數(shù)學(xué)解題過程展開全面、深層次反思,如:已知條件和目標(biāo)問題關(guān)系?現(xiàn)有解題方法的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)?在解題過程中共運(yùn)用了哪些推理依據(jù)等.

這一解題思路最為常見,但計(jì)算量比較大,學(xué)生在求解二元一次方程組時,常常會出現(xiàn)錯誤.鑒于此,在反思性解題教學(xué)中,就應(yīng)聚焦整個解題過程,通過有效的反思,嘗試轉(zhuǎn)換解題思路,從不同的角度進(jìn)行探究,最終在多種解題思路對比中,找到最為簡便的解題思路.

在這一題目中,通過對整個解題過程進(jìn)行反思,可促使學(xué)生在題目已知條件和所求結(jié)論反思、解題思路反思中,通過對比分析,不僅找到了簡便的解題思路,還在反思中拓展了自身的解題思維,為其更好地解題奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)[2].

2.3 反思數(shù)學(xué)思想方法

在高中數(shù)學(xué)解題中,常常蘊(yùn)含著大量數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法,如:消元法、換元法、反證法、配方法,以及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、模型思想、化歸思想等.鑒于此,在反思性教學(xué)中,教師還應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生對整個題目,以及解題過程展開深層次分析,思考解題中一共運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想,以及這些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用條件和應(yīng)用方法等.

分析針對這一數(shù)學(xué)題目,按照正常的解題思路,先采用了消元、配湊的方式,得出:

最終運(yùn)用基本不等式即可輕松完成題目的解答.但是在反思性解題教學(xué)中,學(xué)生完成題目解答之后,還應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生對整個題目展開反思,分析在解答本題目中一共運(yùn)用了哪些解題方法和數(shù)學(xué)思想,并在反思的過程中歸納總結(jié)數(shù)學(xué)思想和方法的應(yīng)用條件等,旨在通過必要的反思,深化數(shù)學(xué)思想方法的具體應(yīng)用.

2.4 反思數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)

高中數(shù)學(xué)雖然問題的形式千變?nèi)f化,但數(shù)學(xué)本質(zhì)基本相同.鑒于此,在反思性解題教學(xué)中,應(yīng)通過整個解題過程,對其本質(zhì)問題進(jìn)行深層次剖析,使學(xué)生在反思中加深數(shù)學(xué)問題的理解,并形成深刻的認(rèn)知.

圖1 橢圓E和直線l相交圖

求:(1)橢圓E的方程

在解答(2)時,需要先假設(shè)直線l的斜率存在,且不為零,且直線l方程為y=kx-2.

在反思性解題中,待學(xué)生完成解題之后,就引領(lǐng)學(xué)生圍繞這一問題開展深層次得反思,并在反思的過程中探究這一問題的本質(zhì).在這一過程中,由于學(xué)生的知識、能力有限,教師從“結(jié)論一般化、條件和定點(diǎn)一般后是否成立”的角度展開探究,使學(xué)生在問題探究中,深刻理解問題的本質(zhì),并在反思和拓展中,提升了數(shù)學(xué)解題能力[3].

3 數(shù)學(xué)反思性解題教學(xué)啟示

鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn),聚焦解題中的錯誤、過程、數(shù)學(xué)思想、本質(zhì)問題展開深層次反思是提升學(xué)生解題能力的關(guān)鍵.因此,高中數(shù)學(xué)教師在組織和開展反思性解題教學(xué)時,應(yīng)努力轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的灌輸式解題教學(xué)方式,給學(xué)生預(yù)留預(yù)足夠的思考空間,并結(jié)合不同的題目,確定反思的主題和內(nèi)容,借助針對性的指導(dǎo),使學(xué)生在反思的過程中,拓展數(shù)學(xué)思維,并提升自身的數(shù)學(xué)解題能力;同時,教師還應(yīng)定期布置反思性的數(shù)學(xué)作業(yè),使學(xué)生在日常反思性作業(yè)訓(xùn)練中,逐漸掌握反思的能力,形成良好的反思習(xí)慣,并在積極的反思過程中提升自身的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)[4].

綜上所述,反思作為一種有效的解題方式,通過必要的解題反思,可促使學(xué)生在錯誤中反思、解題過程中反思、解題思想和方法中反思、數(shù)學(xué)問題本質(zhì)中反思,加深對數(shù)學(xué)知識的理解,并在反思中拓展自身思維品質(zhì)等,真正提升自身的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).