網球塔結構限制和穩定性分析

鄧 欣 楊 益 鄢 然 李瀅瀅 黃欣琦 王 彪

(西南大學物理科學與技術學院 重慶 400715)

1 引言

通過每層3個網球、頂部1個網球的方式來堆疊建造一座塔,研究這種塔的結構限制和穩定性.當每層使用3個以上的球并且在頂層使用合適數量的球時,情況如何變化?這個問題來源于2022年IYPT(國際青年物理學家錦標賽).

2019年5月23日格魯吉亞物理學家安德里亞在不使用任何膠帶、膠水和其他黏合劑的情況下,僅利用網球表面的摩擦力成功搭建了一座9層小塔,刊登于PhysicsWorld雜志上.

網球塔搭建結構豐富多變,不同搭建結構下,網球塔的受力情況、穩定性和結構限制都將發生變化.網球塔搭建背后的理論依據涉及摩擦學、靜力學、彈性力學等多個學類,該研究在工程、建筑方面有著廣泛的運用,具有重要的研究價值.構建其理論模型將有助于相關建筑結構的研究.

2 3n+1網球塔結構穩定的條件分析

根據受力情況的不同,將3n+1網球塔結構整體分為3個部分,分別分析頂層球與次頂層球間的摩擦因數臨界值、遞推層之間的摩擦因數臨界值、球與地面的摩擦因數要求.

在此處設定網球塔搭建為理想情況,具體是指將網球看成剛性小球,并且按照順序致密排列,因此認為同層球之間不存在作用.本文中網球塔的層數用n來表示(不包括最頂層的網球),從上到下數層數,默認頂層的網球為第零層.

2.1 頂層次頂層球間摩擦因數的分析

2.1.1 角度分析

對于從頂部開始的3層球畫出俯視圖如圖1所示,其中G為頂層球球心位置,A、B、C分別為次頂層3個球的球心位置,D、E、F分別為次頂球下方一層球的3個球的球心,其中K為A網球和B網球的接觸點.角度分析幾何示意圖如圖2所示.

圖1 網球塔幾何分析示意圖

圖2 角度分析幾何示意圖

假設θ角是該研究球的球心與上層球接觸點的連線與豎直方向的夾角,根據幾何關系可以知道

2.1.2 受力分析

由于網球塔結構具有對稱性,取次頂層中一個球進行受力分析,如圖3所示.該球受到自身的重力G、頂層球擠壓的力N0以及頂層球的摩擦力f0,假設該球與頂層球的接觸點與球心的連線和豎直方向的夾角為θ;下層球與其接觸點為A點,A點與球心連線與豎直方向的夾角為φ.

圖3 次頂層某一球受力分析圖

此時根據平衡條件有

N0dsin (θ+φ)+mgdsinφ=

f0[r+dcos (θ+φ)]

2.2 遞推層間摩擦因數的分析

2.2.1 角度分析

如圖4所示,假設φ角是該研究球的球心與上層兩球接觸點的連線中點與豎直方向的夾角,其中K為A網球和B網球的接觸點.

圖4 角度分析示意圖

根據幾何關系可以知道

2.2.2 受力分析

對于遞推層可以根據圖5所示的受力分析圖進行問題簡化.根據上下層的對稱關系,此時θ角的大小與φ角的大小相同.尋找通項公式(其中n表示當前網球層數,不包含最頂端的球,n∈N+,n>2).

圖5 遞推層某一球受力分析圖

圖5所顯示的是網球在豎直平面上的投影,B點是轉動軸(網球與下一層兩球接觸點的連線)的投影點.為方便對單個球的情況進行分析,我們設水平方向受到兩個球對該球的作用力為2Fny,同理豎直方向上的力為2Fnz,繞轉動軸,由力矩平衡方程可得

mgdsinφ+2Fnz·0=2Fny·2dcosφ

解得

再將Fny與Fnz分解在接觸點支持力N的方向,以及分解在摩擦力f的方向上,即對于這個平面,有

Nnl=Fnzcosφ-Fnysinφ

fnl=Fnzsinφ+Fnycosφ

為分析三維受力,可以作出等效力投影分析示意圖,如圖6所示,其中yn、yn+1是選取的坐標軸,為兩球心連線的方向.對實際球心位置進行分析,兩個坐標軸間的夾角α為60°.

圖6 等效力投影分析示意圖

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F(n+1)y=-cosαFny+sinαFnx

可以解得

如圖7所示,對第n層其中一個網球進行受力分析,這個網球會受到4個網球的作用力.以該球球心為原點,建立空間直角坐標系.

圖7 中間層坐標系示意圖

取球半徑為R,由致密結構的幾何關系可得4個接觸點坐標

選取原點為參考點對研究對象進行受力分析,利用結構對稱性,即同層球對該球在同方向上的分力大小相等,且支持力必沿兩球球心可將關于力的平衡和力矩的平衡的6個方程簡化為以下3個獨立方程

∑Fy:f(n+1)y+f(n-1)y+N(n+1)y+N(n-1)y=0

∑Fz:2f(n+1)z+2f(n-1)z+

2N(n+1)z+2N(n-1)z=mg

其中f為摩擦力,N為支持力,下標(n+1)表示下層球對該球的作用力,下標(n-1)為上層球對該球的作用力.

由摩擦力與壓力方向正交,可得以下2個獨立方程

f(n+1)xN(n+1)x+f(n+1)yN(n+1)y+

f(n+1)zN(n+1)z=0

f(n-1)xN(n-1)x+f(n-1)yN(n-1)y+

f(n-1)zN(n-1)z=0

在x、z方向上整體受力有

又支持力必沿兩球球心連線,故

則下層球與該球之間的靜摩擦因數通過摩擦力與壓力作比得到

243[96n(3n+1)-9]·[1024(3n+1)2+

摩擦因數與層數關系如圖8所示.

圖8 摩擦因數與層數關系圖

2.3 底層球與地面間摩擦因數的分析

球與地面間摩擦受力分析如圖9、圖10所示.

圖9 地面摩擦受力分析示意圖(1)

圖10 地面摩擦受力分析示意圖(2)

以底層球與地面接觸點D為平衡點,由力矩平衡方程可以得到

Fxl1=Fzl2

其中

可以解得

以底層球質心Q為平衡點,有

Fxl3+f1r=Fzl4

解得

由μ1N1≥f1,可以解得地面的摩擦因數

由此可以求出球與地面間的摩擦因數臨界值.

3 一層多球的摩擦因數條件

圖11 一層多球幾何分析示意圖(1)

圖12 一層多球幾何分析示意圖(2)

頂層和次頂層球間的受力關系如圖13所示.

圖13 次頂層球受力分析圖

由圖13分析可得滿足平衡條件

次頂層球繞接觸點連線的軸由力矩平衡可得

N0dsin (θ+φ)+mgdsinφ=

f[r+dcos (θ+φ)]

對于正四邊形,由圖14所示的幾何分析圖可以得出角度關系

圖14 一層4球幾何分析圖

代入計算可得此時頂層和次頂層間的摩擦因數應該滿足條件

μ≥ 1.538 59

對于正五邊形,由圖15所示的幾何分析圖可以得出角度關系

圖15 一層5球幾何分析圖

代入計算可得此時頂層和次頂層間的摩擦因數應該滿足條件μ≥2,由此可知,一層4球和一層5球的情況下,要想搭建成功需要的摩擦因數大于3n+1結構所需的摩擦因數.

4 總結

綜上所述,可以得到以下結論:

(1)mn+1結構搭建的網球塔,越低的層級所需的摩擦因數越小,最高一層網球需要的靜摩擦因數最大.

(3)一層4球和一層5球的情況下,要想搭建成功需要的摩擦因數應大于3n+1結構所需的摩擦因數.