帶電粒子在等邊三角形分界勻強磁場中周期性運動軌跡分析*

李 崢

(重慶求精中學 重慶 400015)

黃海洋

(復旦大學自然科學試驗班 上海 200433)

1 問題的提出

帶電粒子在勻強磁場中的運動往往涉及圓心、半徑及運動時間的確定,通常的解題思路為根據速度方向或入射點、出射點的情況確定圓心,根據圓心確定運動軌跡,根據幾何關系確定半徑,根據偏轉的圓心角確定運動時間.由于帶電粒子在磁場中運動的約束條件,其運動往往具有對稱性和周期性[1].

【例題】如圖1所示,邊長為L的等邊三角形ABC內、外分布著兩方向相反的勻強磁場,三角形內磁場方向垂直紙面向外,兩磁場的磁感應強度大小均為B[2].頂點A處有一粒子源,粒子源能沿∠BAC的角平分線發射不同速率的粒子,粒子質量均為m、電荷量均為+q,不計粒子重力及粒子間的相互作用力,則發射速度v0為哪一值時粒子能通過B點( )

圖1 例題情境圖

粒子通過B點以后在洛倫茲力的作用下將繼續運動,那么具體的情況又如何呢?筆者對粒子運動情況及運動軌跡做了初步的分析.

2 粒子的運動軌跡分析

2.1 從A點出發的帶電粒子軌跡分析

通過分析計算,筆者發現通過B點的粒子經過一定時間后均能回到A點,利用GeoGebra作出其運動的軌跡,分別如圖2至圖9所示.

圖2 r=L的粒子軌跡

圖3的粒子軌跡

圖4的粒子軌跡

圖5的粒子軌跡

圖6的粒子軌跡

圖7的粒子軌跡

圖8的粒子軌跡

圖9的粒子軌跡

通過運動軌跡分析,我們可以初步得到以下結論:

(1)所有通過B點的帶電粒子之后的運動軌跡一定過A點.

(2)所有的運動軌跡都是關于過入射點A點的豎直軸線軸對稱.

(3)所有的運動軌跡在從A點出發到回到A點的過程中不重復.

(4)粒子回到A點時速度方向與入射速度方向相反.

進一步討論分析,我們發現其運動時間及對應的路程存在以下的遞推關系:

(1)當n=2k+1(k=0,1,2,3,…)時,對應的運動時間

即

將n=2k+1(k=0,1,2,3,…)代入得

整理可得

(2)當n=2k(k=1,2,3,…)時,對應的運動時間

即

整理可得

對應的運動路程

整理可得

綜上可得

帶電粒子回到A點之后會繼續運動且具有周期性,其完整的運動情況又如何呢?筆者通過分析,作出了該情況下對應軌跡,如圖10至圖17所示.

圖10 r=L的粒子軌跡

圖11的粒子軌跡

圖12的粒子軌跡

圖13的粒子軌跡

圖14的粒子軌跡

圖15的粒子軌跡

圖16的粒子軌跡

圖17的粒子軌跡

圖18 與回到A點相比軌跡增加部分

圖19 時的完整運動軌跡

2.2 從BC中點出發的帶電粒子軌跡分析

若帶電粒子從BC中點垂直于邊界進入三角形磁場,那么運動情況又如何呢?

圖20 的粒子軌跡

圖21 的粒子軌跡

圖22 的粒子軌跡

圖23 的粒子軌跡

圖24 的粒子軌跡

圖25 的粒子軌跡

通過分析,軌跡具有以下特點:

(1)運動軌跡具有高度的對稱性,且運動具有周期性.

(3)設其運動的周期為T0,則

3 結束語

帶電粒子在勻強磁場中的周期性運動通常可以利用對稱性進行分析和求解,特別是針對分界磁場,通過計算在某邊界兩邊的運動時間,通過對稱性找到對應的總時間,但這個過程中需要特別注意其具有軸對稱還是中心對稱的性質.其運動的周期通常可以采用單邊界兩側運動時間乘以對應邊數,再減去重復情況進行處理.