利用整體法巧解兩道動力學難題

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

對于同一平面內相互作用的幾個質點,無論各質點的加速度是否相同,都可選擇整體為研究對象在某一方向應用牛頓第二定律列方程.特別是對于多個相互作用物體的相對運動問題,利用這種整體法來解答,可化繁為簡,巧妙快捷.

1 推導系統牛頓第二定律的表達式

以相互作用的兩個質點沿同一直線運動為例,設質點A和B的質量分別為m1和m2,在某一時刻的加速度分別為a1和a2,合外力大小為F,作用點在質點A上,相互作用力大小為f,若利用隔離法對各質點分別應用牛頓第二定律列方程,則有

F-f=m1a1f=m2a2

由兩個方程相加得

F=m1a1+m2a2

可見,這個方程不含內力,是把相互作用的兩個質點視為整體而列出的動力學方程.這表明,在同一直線上運動的兩個質點受到的合外力,等于各質點的質量與對應加速度乘積的矢量和.

由于相互作用的內力是成對出現的,而且是互為相反數,因此對質點組利用整體法列出的動力學方程中不含有內力.對于方程右邊的各項,分別對應合外力的一個分力,即

F1=m1a1F2=m2a2

下面利用質心坐標公式和質心運動定理推導質點組的系統牛頓第二定律表達式.對于平面直角坐標系內的質點組,系統質心的橫坐標為

取二階導數可得系統質心在x軸方向的加速度為

由質心運動定理可知在x軸方向的合外力為

Fx=(m1+m2+…+mi)aCx=

m1a1x+m2a2x+…+miaix

即

Fx=∑miaix

這表明,對于做變速運動的各質點組成的整體,在某一方向受到的合外力等于各質點的質量與對應加速度分量之積的矢量和.無論各質點受到外力的作用點是否相同,力的作用線是否重合,各質點的加速度是否相同,各矢量是否共線,都可對質點組整體在某一方向應用牛頓第二定律列出一個動力學方程.

綜上可見,對于平面質點組或者連接體在平面內發生的變速運動,都可對整體在某一方向上應用牛頓第二定律列出一個動力學方程,只與該方向的合外力有關,而與相互作用的內力無關.表達式的一般形式為

F=∑miai

2 應用系統牛頓第二定律的表達式

對有關質點組的動力學問題,常規解法是利用隔離法由牛頓第二定律列方程,顯得很繁瑣,且易于出錯.而對質點組整體應用牛頓第二定律即利用系統牛頓第二定律列方程,實際是一種整體法,只需分析整體受到的外力以及各質點加速度的大小和方向,不必考慮相互作用的內力,由此可化繁為簡,化難為易.

【例1】[1]系統如圖1所示,滑輪與繩的質量忽略,繩不可伸長.設系統所有的部位都沒有摩擦,物體B借助導軌(圖中未畫出)被限定在沿物體C的右側面運動,已知物體A、B、C的質量分別為mA、mB、mC,試求物體C運動的加速度aC.

圖1 例1題圖

原解[1]:取物體系統為研究對象,由于A、B、C組成的系統在水平方向上動量守恒,則

mAvA=(mB+mC)vC

(1)

再隔離A和B,由于A和B相對于C的加速度大小相等,設為a,則A對地的加速度為aA=a-aC,方向向右;B對地的加速度可分解為兩個分量,豎直向下的分量aBy=a,水平向左的分量aBx=aC.設繩的拉力為T,分析A水平方向和B豎直方向的受力情況,根據牛頓第二定律,對A有

T=mAaA

即

T=mA(a-aC)

(2)

對于B,在豎直方向有mBg-T=mBaBy,即

mBg-T=mBa

(3)

聯立方程(2)、(3)得

(4)

又因為A、C均做初速度為零的勻加速直線運動,由速度公式得

vA=aAt=(a-aC)t

(5)

vC=aCt

(6)

聯立方程(1)、(4)、(5)、(6)可得

點評:在慣性系中應用牛頓第二定律列方程,要注意加速度是對地的絕對加速度.除了列出動力學方程,還需列出動量守恒方程,并且能夠判斷物體做勻加速運動,利用運動學公式列出兩個方程.

新解：以地面為參考系,設A向右運動的加速度大小為aA,B向下運動的加速度大小為aBy,B與C一起向左運動的加速度大小為aC,則A與B相對于C運動的加速度大小為

a=aBy

由于A與C運動方向相反,則相對加速度大小為

a=aA+aC

對A、B整體在細繩張力方向由牛頓第二定律有

mBg=mAaA+mBaBy

對A、B、C整體在水平方向由牛頓第二定律有

0=mAaA-(mB+mC)aC

聯立上式可得

點評:首先要設置各質點加速度物理量的符號,明確各加速度之間的關系,即物體B運動的加速度在水平方向的分量與物體C的加速度相同,在豎直方向的分量與物體A相對于物體C運動的加速度大小相等.整個解題過程只需對加速度設置4個未知量,列出4個方程,其中兩個方程用來反映某一方向的相對加速度與絕對加速度的關系;另外兩個方程用來反映質點組在某一方向受到的合外力與加速度和質量的關系.

【例2】[2]如圖2所示, 在一質量為M的小車上放一質量為m1的物塊,它用細繩通過固定在小車上的滑輪與質量為m2的物塊相連,物塊m2靠在小車的前壁上而使懸線豎直.忽略所有摩擦,問:(1)當用水平力F推小車使之沿水平桌面加速前進時,小車的加速度多大?(2)如果要保持m2的高度不變,力F應該多大?

圖2 例2題圖

原解:(1)[2]分析小車和兩個物塊受力如圖3所示.各力之間的關系為T1=T′1=T2=T′2,N=N′.以小車為參考系,物塊m1和m2的相對加速度分別為a1和a2,則二者大小相等,即a1=a2.

圖3 分析各質點受力

設小車的加速度大小為a,方向向右,若以小車為參考系,則m1受到向左的慣性力大小為m1a,對m1沿水平方向由牛頓第二定律有

T1-m1a=m1a1

對m2沿豎直方向有

m2g-T2=m2a2

聯立各式得

對m2沿水平方向有

N=m2a

對小車沿水平方向有

F-N′-T′1=Ma

聯立這3個方程,考慮到T1=T′1,N=N′,可得

(2)[3]如果m2的高度保持不變,則相對加速度a1=0,由

可得

代入小車的加速度關系式可得推力大小為

點評:對于第(1)問,在非慣性系中應用牛頓第二定律列方程時,需對m1考慮慣性力.對于第(2)問,是利用第(1)問所得加速度代入特殊條件來求作用力,需對作用力的表達式式進行化簡,難度較大.

新解:(1)以地面為參考系,設小車的加速度大小為a,物塊m1的加速度大小為a1,物塊m2向下運動的加速度分量a2y.若物塊m1相對于小車向右運動,則m1相對于小車運動的加速度大小為a′=a1-a.物塊m2向下運動的加速度分量與物塊m1相對于小車運動的加速度大小相等,即a2y=a′.對m1、m2整體在沿繩移動方向由牛頓第二定律有

m2g=m1a1+m2a2y

對三者整體在水平方向由系統牛頓第二定律有

F=m1a1+(M+m2)a

聯立方程可得

(2)若物塊m2的高度保持不變,則三者的相對位置保持不變,加速度相同,對整體在水平方向由牛頓第二定律有

F=(M+m2+m1)a

對m1和m2整體在沿繩方向由系統牛頓第二定律有

m2g=m1a

聯立方程可得

點評:對第(1)問,需首先對加速度設置未知量符號,并且設定物塊m1相對于小車的運動方向,以便確定相對加速度與各加速度之間的數量關系.此外,物塊m2的加速度在水平方向的分量與小車的加速度相同,在豎直方向的絕對加速度等于相對加速度.在應用系統牛頓第二定律列方程時,需選擇不同的整體作為研究對象,并且選擇正方向,分析整體受力情況以及各物體的加速度大小和方向.

還需討論小車向左或向右運動的受力條件以及兩個物體相對于小車向左或向右運動的條件[2].若推力F維持小車剛好靜止不動,則m1和m2一起加速運動,因此二者的加速度大小相等,即為

由于例1是例2的特例,那么在解題時應用的規律和方法具有某些相似之處,利用例2第(1)問的結果,令F=0,可得小車的加速度為負值,其絕對值跟例1的結果相一致.

3 結束語

綜上可見,由于模型中相互作用的物體個數較多,相對運動過程比較復雜,如果利用隔離法進行解答,過程繁瑣,難度較大,而且易于出錯.在地面參考系中利用整體法對質點組列出動力學方程的解法最簡單.關鍵是在地面參考系中對3個物體分別設置加速度物理量符號,并且能夠確切分析相對加速度與3個加速度之間的數量關系.在利用整體法對質點組列動力學方程時,要明確選擇研究對象與正方向,其中在水平方向以3個物體為研究對象;在沿繩移動方向以兩個物體為研究對象.利用整體法對質點組列動力學方程,不必分析系統內相互作用的力,可減少未知量與方程的個數,由此可化繁為簡,顯得巧妙快捷.此外,應用系統牛頓第二定律列方程要比應用質心運動定理列方程簡便,有助于拓展解題思路和方法,提高解題的效率和效果.