應用GeoGebra軟件分析帶電粒子在復合場中的運動

徐 雪

(貴州師范大學物理與電子科學學院 貴州 貴陽 550025)

隨著課程標準的修訂與高考評價體系的實施,高考命題的立意逐步發生改變,從知識引領到能力引領,從三維目標到核心素養,從物理知識到物理觀念.在2022年高考全國甲卷理綜第18題中設計了帶電粒子從靜止開始在勻強電場和勻強磁場中的運動,本文將借助該道例題的物理模型,應用GeoGebra軟件對帶電粒子在復合場中的運動展開研究.

1 GeoGebra軟件介紹

GeoGebra軟件是結合幾何(geometry)和微積分(algebra)的動態數學軟件,由美國佛羅里達州亞特蘭大大學的數學教授 Markus Hohenwarter 開發,逐步從歐洲推廣到各國,從數學應用到物理[1].GeoGebra功能齊全并易于操作,集幾何、代數、表格、圖形、統計、微積分于一體,軟件界面有繪圖區、指令區、代數區、工具欄、選項欄,如圖1所示.繪圖區制作圖形,指令區輸入代數表達式,代數區顯示繪制圖形的代數特征以及指令區輸入的代數,工具欄提供作圖工具.通過基本圖形繪制出各種復雜模型,結合函數及數學方程可建立各種物理模型.筆者將借助GeoGebra軟件研究帶電粒子在復合場中的運動,彌補傳統教學技術的不足,提高模型建構能力;彌補空間想象力的不足,提高理解能力;彌補抽象思維能力的不足,提高分析推理能力.

圖1 GeoGebra的操作界面

2 GeoGebra軟件應用

2.1 試題

【例1】(2022年高考全國甲卷理綜第18題)空間存在著勻強磁場和勻強電場,磁場的方向垂直于紙面(xOy平面)向里,電場的方向沿y軸正方向.一帶正電的粒子在電場和磁場的作用下,從坐標原點O由靜止開始運動.下列4幅圖中,可能正確描述該粒子運動軌跡的是( )

2.2 課件制作

2.2.1 模型制作原理

首先,分析帶電粒子在復合場中的受力情況,不計重力的情況下,帶電粒子在復合場中會同時受到洛倫茲力和電場力的作用.其次,結合動力學方程即牛頓第二定律微分方程,將粒子的受力情況與運動情況建立聯系.最后,建立微分方程組,求得帶電粒子的運動學方程,也就建立了該模型最核心的數學方程式[2].

設一帶電粒子質量為m,帶電荷量為q,在正交勻強電磁場中xOy平面上運動,磁感應強度為B,其方向垂直平面向外,電場強度為E,其方向沿y軸正方向.帶電粒子的初始位置在坐標原點,用v0x和v0y分別表示帶電粒子的初速度在x軸和y軸方向上的分量.求出帶電粒子在電磁場中的運動方程.

解析：帶電粒子受到的電場力為

F電=qE

受到的洛倫茲力為

F洛=qv×B

因此帶電粒子在電磁場中的受力為

F=qE+qv×B=q(E+v×B)

根據牛頓第二定律

可得微分方程

當t=0時將初始條件

代入方程,微分方程組可解得

2.2.2 課件制作步驟

(1)設置參量數值.在指令欄中輸入時間、質量、電荷量、磁感應強度、電場強度、初速度分量等各物理量的具體數值,并確定各物理量的取值范圍.

(2)輸入軌跡函數.確定帶電粒子任意時刻的位置P,在指令欄中輸入vx、vy隨時間變化的速度方程,再輸入x、y隨時間變化的位置方程.此處需要注意運用If條件語句,以vx為例,輸入:

cos(qBt/m)+v0ysin(qBt/m))

其含義為:如果B=0,則

vx(t)=v0x

否則

同理輸入其余方程確定粒子運動的速度以及P的位置坐標.

(4)確定其余點,畫速度方向.以P點為參考點,找P1點和P2點坐標位置與P點坐標的關系,P1為[x(P)+vx(t),y(P)],P2為[x(P),y(P)+vy(t)],利用向量工具連接P與P1、P2得到x軸、y軸的速度分量.再由P1、P2坐標確定A坐標位置為(P1,P2),用向量工具連接P、A即為粒子合速度方向.

(6)改變參量,開啟動畫.開啟對P點的跟蹤,便可顯示帶電粒子在復合場中運動的軌跡,最后效果圖如圖2所示.

圖2 帶電粒子在復合場中的運動軌跡

2.3 帶電粒子在復合場中運動的可視化

2.3.1 單個粒子運動軌跡的可視化

以2022年高考全國甲卷理綜第18題為例進行操作演示.磁場方向垂直紙面向里,與所預設條件相反,故B為負值;電場方向沿y軸正方向,與預設條件相同,故E為正值.帶正電的粒子由靜止開始運動,電荷量q為正值,初始速度為零,即沿坐標軸上的速度分量都為零.隨機改變B、m、E、q的大小,粒子運動軌跡都是一條擺線,如圖3所示.通過控制變量,還可直觀感受到磁場變大時,擺線幅度減小;電場變大時,擺線幅度增大.當改變電磁場的方向時,擺線所在的坐標象限會相應改變.一題變多題,一種情景變多種情景,不僅加深學生的理解和認知,而且學生從“聽見”到“看見”的過程中能在頭腦中主動建構物理模型,提高模型建構能力.

圖3 改變參量前后的粒子運動軌跡

2.3.2 多個粒子運動軌跡的可視化

假設磁場方向垂直紙面向外,磁感應強度的大小B=1 T,電場沿y軸正方向,電場強度的大小E=2 N/C,粒子質量m=1 kg,電荷量q=1 C.當初速度不為零時,粒子的軌跡又將如何變化?

情況一:粒子沿x軸方向以初速度v0x射出,改變v0x的大小,觀察粒子運動軌跡的變化.

(1)當粒子以一定初速度沿x軸正半軸射出,速度v0x的大小依次設為0.5、1、1.5、2、2.5、3、3.5、4等數值,其所對應的運動軌跡順序依次為從上到下的短擺線,當v0x=4時,其所對應運動軌跡為最下面一條擺線,如圖4所示.

圖4 粒子沿x軸正半軸射出的運動軌跡

(2)若再繼續增大v0x的值分別為5、6、7、8、9、10,其所對應的運動軌跡順序依次為由里到外的長擺線,如圖5所示.

圖5 粒子速度繼續增大的運動軌跡

(3)若當粒子以一定初速度沿x軸負半軸射出,v0x的數值為別為1、2、3、4、5,則所對應的粒子運動的軌跡順序依次是由下到上的長擺線,如圖6所示.

圖6 粒子沿x軸負半軸射出的運動軌跡

情況二：粒子沿y軸方向以初速度為v0y射出,改變v0y的大小,觀察粒子運動軌跡的變化.

(1)當粒子以一定初速度沿y軸正半軸射出,速度v0y的大小依次設為2、3、4、5、6等數值,其所對應的運動軌跡順序依次為由里到外的長擺線,如圖7所示.

圖7 粒子沿y軸正半軸射出的運動軌跡

(2)當粒子以一定初速度沿y軸負半軸射出,速度v0y的大小依次設為2、3、4、5、6等數值,其所對應的運動軌跡順序依次為由里到外的長擺線,如圖8所示.

圖8 粒子沿y軸負半軸射出的運動軌跡

由粒子在復合場中的運動方程,模擬出任意情況下帶電粒子的運動軌跡.在教學中,讓學生既具有物理觀念、科學思維,也具有發現物理美的眼睛.正如莊子所言:判天地之美,析萬物之理.“理”是物理學中的概念、定律、公式,是自然界遵從統一的物理規律方程;“美”是物理世界中的色彩、線條、圖畫,是自然界所呈現的和諧統一的圖景.教師要善于引導學生用美的眼睛去欣賞物理學,揭示物理規律的統一美、物理公式的簡潔美、物理圖像的和諧美.

2.4 定性分析帶電粒子在復合場中的運動

2.4.1 試題情境

【例2】(1988年高考全國卷物理試題)設空間存在向下的勻強電場和垂直紙面向里的勻強磁場,如圖9所示.已知一離子在電場力和洛倫茲力的作用下,從靜止開始自A點沿曲線ACB運動,到達B點時速度為零.C點是運動最低點.

圖9 例2題圖

【例3】(2022年高考廣東卷物理試題)如圖10所示,磁控管內局部區域分布有水平向右的勻強電場和垂直紙面向里的勻強磁場.電子從M點由靜止釋放,沿圖中所示軌跡經過N、P兩點.

圖10 例3題圖

2.4.2 定性分析

(1)運動軌跡分析

在例2和例3兩題中,只需要定性描述帶電粒子在復合場中運動.依據兩題所創設的物理情境,設計相應模擬動畫.在原有設計程序基礎上,調節滑動條,使動畫中電場、磁場方向與問題情境保持一致,確定粒子電性以及速度,模擬帶電粒子運動路徑.在兩題情境中,分別以A、M為運動起點,且由靜止釋放.例2和例3的運動軌跡分別如圖11和圖12所示,模擬軌跡與題圖中的軌跡完全符合.從兩題中可看出,粒子運動情境各有不同,但運動規律始終如一.從局部區域的運動到整體周期性運動,學生對粒子運動軌跡分析從靜態局部分析走向動態全過程分析,對粒子運動認識會更深刻,提高理解能力.

圖11 模擬例2運動軌跡

圖12 模擬例3運動軌跡

(2)運動速度分析

基于已有設計,開啟對合速度v的跟蹤,可直觀演示粒子運動時的速度變化.如圖13和圖14所示.用帶箭頭的線段表示粒子運動的速度,箭頭的方向表示速度的方向,線段的長短表示速度的大小.可明顯看出,例2中的離子從A點到C點速度逐漸增大,C點到B點速度不斷減小,因此C點是速度最大的點;例3中的電子從M點運動到P點,速度隨運動軌跡發生周期性變化,M點的速度與P點的速度相同且為零.學生從多角度、多維度定性分析粒子運動,既對粒子運動認識更全面,也增加了對抽象物理量變化過程的感性認識.定性分析是定量研究的基礎,下面筆者將運用GeoGebra軟件定量研究帶電粒子的運動.

圖13 例2中粒子速度變化

圖14 例3中粒子速度變化

2.5 定量研究帶電粒子在復合場中的運動

2.5.1 試題

【例4】(2013年高考福建卷)空間存在著范圍足夠大的勻強磁場和勻強電場,磁場的方向垂直于紙面(xOy平面)向外,磁感應強度為B,電場的方向沿y軸正方向,電場強度為E.一帶正電粒子的質量為m,電荷量為q,不計重力.

(1)粒子在電場和磁場的作用下從坐標原點O點由靜止開始運動,求釋放后的粒子在運動過程中能達到的最大速度.

(2)粒子在電場和磁場的作用下從坐標原點O點以初速度vy沿y軸正向發射,求出發射后的粒子在運動過程中的最大速度.

2.5.2 配速法

配速法是指給帶電粒子配上一對等大反向的速度,其中一個速度所產生的洛倫茲力與電場力相抵消,另一個速度產生的洛倫茲力使粒子做圓周運動.配速法的目的是產生抵消電場力的洛倫茲力,將“多力”問題轉化為“多速度”問題,因分運動具有獨立性,在求解速度問題上會更容易.

(1)粒子靜止在坐標原點,給粒子配上一對等大反向的速度v1、v2,v1產生的洛倫茲力qv1B與電場力Eq相抵消,v2產生的洛倫茲力為qv2B,如圖15所示.此時粒子運動是以速度v2繞O做勻速圓周運動,同時又以速度v1做勻速直線運動,粒子合速度v合為v1、v2的矢量合成速度,如圖16所示[3].

圖15 例4(1)問配速法

圖16 例4(1)問運動合成分析

(2)粒子在坐標原點以速度vy沿y軸射出,同樣地給粒子配上一對等大反向的速度v1、v2,v1產生的洛倫茲力qv1B與電場力Eq相抵消,此時v2與vy的合速度為v,v產生的洛倫茲力為qvB,如圖17所示.因此,帶電粒子以速度v繞O′做勻速圓周運動,同時又以速度v1做勻速直線運動,粒子的合速度v合為v、v1的矢量合成速度,如圖18所示.

圖17 例4(2)問配速法

圖18 例4(2)問運動合成分析

2.5.3 定量研究

(1)通過GeoGebra課件演示帶電粒子運動過程中合速度的方向、大小的改變,讓學生感受運動一個周期的粒子速度的變化,看出粒子在x坐標軸上的速度為零,如圖19所示.緊接著進行定量研究,如圖20所示,由于v1與v2的大小不變且大小相等,當粒子達到擺線最高點時,合成速度達到最大值,此時v合=v1+v2,只需求出v1就能算出v合的最大值.先定性后定量,利于學生分析速度的變化,進一步推理出最大速度,提高分析推理能力.

圖19 感受合速度變化特點

圖20 分析最大速度

(2)同樣地先通過動畫演示,讓學生感受粒子以初速度vy沿y軸正向發射后的速度變化特點,如圖21所示.隨后定量研究運動一個周期的粒子速度達到的最大值,分速度v的方向改變但大小保持不變,分速度v1的方向、大小均保持不變.當粒子運動到長擺線最高點時,分速度的矢量合達到最大值,vmax=v1+v,如圖22所示.

圖21 感受合速度變化特點

圖22 分析最大速度

v2與vy合成的合速度

此時粒子的最大速度為

3 總結

通過應用GeoGebra軟件研究帶電粒子在復合場中的運動,發現該軟件能將復雜的粒子運動過程可視化,對物理教學具有重要作用和價值.第一,對培養學生建模能力可謂是錦上添花,更有助于理解和分析抽象的物理過程;第二,拓寬學生思維,由一問變成多問,由一解變成多解,由一題變成多題,同時啟發學生“多題歸一”;第三,發揮物理學科育人功能,開展美育教育,感受物理美,欣賞物理美,創造物理美;第四,有利于試題改編與校對,確保學校出題的科學性和有效性,提高教師教學水平.一言以蔽之,GeoGebra軟件讓物理學可視化,也讓物理學的美可視化.但當我們在享受計算機帶給教學益處的同時,也不應忘記教學初心,計算機輔助教學卻永遠是輔助而不能成為“代替”.