基于牛頓環的拓展性實驗方案設計*

李雪琴 唐艷妮 劉 芯 何楚洹 蘆 靜

(火箭軍工程大學基礎部 陜西 西安 710025)

牛頓環由牛頓在1675年首先在實驗中觀察到,是一種典型的薄膜等厚干涉現象,能充分表現出光的波動性.利用牛頓環干涉測量平凸透鏡曲率半徑是大學物理實驗教學的基本內容,為了擴展學生思維,加深對光的等厚干涉原理的理解,提升知識的綜合應用能力,本文基于牛頓環等厚干涉原理,從實驗內容與實驗方法方面進行拓展,設計了多種不同的拓展性實驗方案,如圖1所示,較大地豐富了牛頓環等厚干涉的實驗內容,能夠激發學生的實驗探究熱情.

圖1 基于牛頓環的拓展性實驗方案設計

1 牛頓環干涉的基本原理

將一塊曲率半徑較大的平凸透鏡的凸面放在一塊平板玻璃上,這種結構即為牛頓環儀,如圖2所示.在牛頓環儀的透鏡凸面和平板玻璃間會形成一層空氣薄膜,當平行的單色光垂直入射牛頓環儀,入射光將在這層空氣薄膜的上下兩表面依次反射,產生具有一定光程差的兩束相干光.兩束反射的相干光在相遇時的光程差取決于產生反射光的薄膜厚度,薄膜厚度相同處產生的兩束相干光的光程差相等,將形成同一級干涉條紋,即為薄膜等厚干涉,其光路如圖2所示.牛頓環儀中薄膜厚度從中心接觸點到邊緣逐漸增加,干涉圖樣是以接觸點為中心的一系列明暗交替的同心圓環即牛頓環,且通常情況下干涉圖樣中央為暗斑,如圖3所示.

圖2 牛頓環干涉光路

圖3 牛頓環干涉圖樣

牛頓環不同級次暗紋直徑Di、Dj與平凸透鏡的曲率半徑R、薄膜介質的折射率n、入射光波長λ滿足下列關系

(1)

2 實驗內容拓展

2.1 牛頓環干涉法測量介質折射率

根據式(1),在已知平凸透鏡曲率半徑的情況下,通過控制變量法可以測量透明薄膜介質折射率或入射單色光的波長.保持牛頓環曲率半徑不變,入射單色光波長不變的情況下,改變牛頓環儀中填充的透明介質折射率,觀察到的牛頓環同一級次的暗紋直徑的大小將會發生改變.對同一牛頓環,采用同一鈉光燈作為光源,對折射率分別n1、n2的透明介質薄膜,相同級次暗紋直徑應滿足下列關系式

(2)

因此可以通過測量不同介質薄膜產生的牛頓環暗紋直徑,間接測量透明介質的折射率,例如測量不同質量濃度的氯化鈉溶液的折射率.首先,在空氣介質中調出清晰的牛頓環干涉圖樣,先用讀數顯微鏡測量此時某級干涉條紋的直徑Di1、Dj1;然后在牛頓環儀的兩個玻璃片中間滴入不同質量濃度的氯化鈉溶液,使平板玻璃與平凸透鏡之間形成一層均勻的液體薄膜,再測液體薄膜干涉條紋的直徑Di2、Dj2;最后通過牛頓環裝置中空氣膜和待測液體膜的干涉條紋直徑與折射率的關系式(2),求出待測液體的折射率.

2.2 牛頓環干涉法測量單色光波長

在已知介質折射率的前提下,可以通過測量不同單色光牛頓環干涉圖樣相同級次的直徑,間接測量入射光的波長.在牛頓環實驗中,通常采用波長為589.3 nm 的鈉黃光作為光源產生明暗相間的環形等厚干涉圖樣,其他不同波長的單色光照射在牛頓環裝置上,也可以形成牛頓環干涉圖樣,但是同一級次的干涉圓環直徑將會有所變化.對同一牛頓環,平凸透鏡曲率半徑和薄膜介質折射率不變,用波長分別為λ1、λ2的單色光照射同一牛頓環,根據式(1),相同級次暗紋直徑應滿足下列關系式

(3)

對同一個牛頓環儀,以波長為589.3 nm鈉黃光為參考光源,分別測量鈉光與待測單色光形成的牛頓環相同級次的直徑,通過式(3)即可求得未知單色光的波長.高壓汞燈發出的光線為復色光,可通過加裝濾光片獲取不同波長的單色光,形成等厚干涉牛頓環,如圖4所示.通過測量牛頓環干涉圖樣不同級次的直徑,可分別計算得到汞燈可見光范圍內不同光譜線的波長.

(a) (b) (c)圖4 汞燈不同波長光譜線牛頓環干涉現象

2.3 利用牛頓環實驗測定玻璃的彈性模量

牛頓環干涉圖樣中央為一暗斑,表明暗斑區域空氣薄膜厚度處處相等且為零,即此處平凸透鏡和平板玻璃之間發生了形變(圖5陰影部分).中心暗斑的大小由光學平板玻璃與平凸透鏡接觸端壓力決定,接觸壓力越大,形變越大,牛頓環中央暗斑越大.

圖5 牛頓環儀形變示意圖

根據彈性力學理論,玻璃的彈性模量E與牛頓環中央暗斑半徑r,滿足下列關系[1]

(4)

由式(4)可知,若測出施加的外力F、平凸透鏡曲率半徑R,以及平凸透鏡體積V、平板玻璃體積V′,則可通過對接觸面受到的壓力及其產生的形變間接測量玻璃的彈性模量.

牛頓環儀在不同接觸壓力下的形變量用牛頓環干涉圖樣中央暗斑的面積來表征,接觸壓力越大,牛頓環干涉圖樣中央暗斑的面積越大[2].為了觀察和測量牛頓環儀在不同壓力下的形變量,我們采用3D打印的方式設計了一個牛頓環加壓裝置,實物結構如圖6(a)所示,剖面結構如圖6(b)所示.中央圓盤中間有一個圓形凹槽,內部放置平凸透鏡與平板玻璃,構成牛頓環儀,中央圓盤下方由3根立柱支撐;最上方的圓形蓋板通過3根連接柱連接下方的托盤,可在托盤加載不同質量的砝碼,蓋板中央有一個圓形孔洞,可用讀數顯微鏡從正上方觀察和測量牛頓環干涉圖樣.實驗中通過加載不同質量的砝碼改變牛頓環儀接觸面壓力,在不同壓力下用讀數顯微鏡分別測出中央暗斑左右切點位置,從而確定中央暗斑半徑r.

(a)實物結構圖 (b)剖面結構圖圖6 牛頓環加壓裝置

平凸透鏡曲率半徑的測定可在空氣介質條件下,以波長λ= 589.3 nm的鈉光源照射牛頓環儀,通過讀數顯微鏡測量不同級次暗環直徑,根據式(1)計算得到.平板玻璃的體積可分別利用游標卡尺及千分尺測出其直徑與厚度計算得到.考慮到平凸透鏡、平板玻璃材質相同,因此可用天平測量平凸透鏡、平玻璃板的質量而間接測出平凸透鏡的體積.將上述各個物理參量測量出來代入式(4)即可計算出玻璃的彈性模量.

3 實驗方法拓展

3.1 分光計測量透鏡曲率半徑

由圖2可知,牛頓環第k級暗紋半徑rk及對應張角θk與平凸透鏡曲率半徑R滿足下列關系

rk=Rsinθk

(5)

取空氣介質折射率近似為1,即得

(6)

(7)

以上兩式相減即得[3]

(8)

由式(8)可得,在已知入射光波長情況下,如果能夠測量出各級暗紋的張角θ1、θ2,即可計算出平凸透鏡的曲率半徑R.

要用分光計觀察和測量牛頓環,必須將分光計的望遠鏡改造成一個顯微鏡.實驗中將望遠鏡物鏡換成短焦距凸透鏡(f=65 mm),使其與望遠鏡的物鏡構成一個顯微鏡[4],用來觀察牛頓環現象,改造后的實驗裝置如圖7所示.

圖7 分光計觀察和測量牛頓環實驗裝置

鈉光燈發出的光線經平行光管后出射平行光,經45°傾角的半透半反鏡反射后垂直照射牛頓環,調節望遠鏡使其對準牛頓環儀中心,前后移動望遠鏡目鏡進行調焦,使看到的牛頓環圖樣位于改裝后的顯微鏡系統的視場中央位置,并且保證左右兩側看到的牛頓環級數盡可能相同且清晰.

一方面由于分光計望遠鏡改裝后的等效顯微鏡系統只能繞著分光計中心轉軸轉動,不能平移,另一方面等效顯微鏡視場直徑較小,只能清晰地觀察到小角度范圍內的牛頓環圖樣,所以實際測量時選擇第5環至第10環暗紋對應的張角進行測量.將各級暗紋對應的張角代入式(8),可計算出透鏡曲率半徑.

3.2 激光牛頓環干涉法測量透鏡曲率半徑

傳統的牛頓環儀由一個曲率半徑很大的平凸透鏡和一塊光學平板玻璃構成,使用波長λ=589.3 nm的鈉光光源測量透鏡曲率半徑,這種方法的主要缺陷是牛頓環儀兩鏡面的接觸點由于壓力產生變形,導致測量誤差較大.由于氦氖激光的相干長度很大,遠大于平凸透鏡厚度對應的光程,因而可僅用一個平凸透鏡鏡片構成激光牛頓環儀進行測量,避免了傳統牛頓環儀形變的影響,光路設計如圖8所示.波長為632.8 nm的氦氖激光經擴束鏡和準直鏡后,出射光為平行面光源,經45°傾角的半透半反鏡后,垂直照射到待測透鏡,在待測透鏡正上方即可用讀數顯微鏡觀察到激光牛頓環現象.

圖8 激光牛頓環干涉光路示意圖

由于氦氖激光的相干長度遠大于平凸透鏡的厚度,如圖9所示,當氦氖激光光線1垂直入射到平凸透鏡時,在平凸透鏡上下表面分別發生反射,反射光線2、反射光線3滿足相干條件,產生干涉現象,在透鏡厚度相同的地方形成同一級次條紋,即可觀察到激光牛頓環干涉圓環.

圖9 平凸透鏡氦氖激光干涉光路原理圖

設平凸透鏡片中心最大厚度為H,第k級暗環半徑為rk,第k級暗環對應的透鏡厚度為h,透鏡折射率為n,令e=H-h,對第k級暗環

2nh=kλ

(9)

(10)

忽略高階小量e2,則第k級暗環半徑

(11)

第k+m級暗環半徑

(12)

兩式相減

(13)

將式(13)變為暗環直徑平方差,可得曲率半徑公式[5]

(14)

從上式可以得到氦氖激光的牛頓環與鈉光牛頓環干涉現象明顯的不同在于氦氖激光的牛頓環中心附近干涉級最大.

由于直接觀察激光牛頓環會對人眼造成損傷,所以我們在顯微鏡的目鏡端連接CCD,用顯示器觀察和測量激光牛頓環,如圖10所示.利用讀數顯微鏡測量不同級次激光牛頓環暗紋直徑,代入式(14),可計算得到平凸透鏡的曲率半徑.

圖10 CCD顯示的激光牛頓環干涉圖樣

3 結論

在傳統牛頓環實驗的基礎上根據牛頓環干涉圖樣的形態分布與影響因素,對牛頓環實驗進行實驗內容與實驗方法方面的拓展.拓展實驗方案融合了牛頓環等厚干涉原理、彈性力學理論、透鏡組合成像及3D打印技術等,將波動光學原理、幾何光學原理及光學儀器的調節和使用融為一體,知識綜合性、應用性較強,在有效拓展學生思維能力的基礎上,能夠提高學以致用的實踐創新能力.