浮沉子不可逆現象的探究*

苗燕茹 姚關心 許新勝

(安徽師范大學物理與電子信息學院 安徽 蕪湖 241002)

1 引言

2021年全國大學生物理學術競賽中提出了這樣一個探究性的問題:將一個簡單的浮沉子放在一個裝滿水的長豎直管中,管中壓力的增加會迫使浮沉子下沉,當達到一定深度時,即使壓力變回初始值,沉浮子也不會返回初始位置.對浮沉子這種不可逆現象的研究工作也有不少報道[1-2],但都主要集中在浮沉子的制作方法和不同運動狀態的描述上,而對浮沉子的不可逆現象的物理本質研究相對較少.本文將對不同狀態浮沉子進行動力學分析,給出浮沉子不可逆現象的合理解釋.

2 浮沉子的動力學理論分析

2.1 浮沉子模型

一個上端開有小孔、內部注有液體并留存一部分氣體空間、可以實現上浮和下沉的物體被稱為浮沉子,其示意圖如圖1所示.

2.2 浮沉子運動特點

浮沉子初始漂浮于水面上,對密封裝置施加外力后,裝置液面上方空氣體積減小,壓力增大,浮沉子向下運動,當浮沉子下沉至一定深度且處于無速度狀態時撤去所施加的壓力,此時會出現一種最常見的現象——浮沉子回復至初始位置,稱為可逆轉的浮沉子. 但一定條件下,會出現撤壓后不會回復的情況,稱為不可逆轉的浮沉子.

大量實驗表明,在液面以下存在一個可以使浮沉子可逆與不可逆狀態發生改變的臨界位置[3],且在此處浮沉子速度為零(浮沉子加速度方向在此處實現了從撤壓向上到撤壓向下的轉變).針對浮沉子運動過程中的特點,建立相應的浮沉子物理模型,其示意圖如圖2所示.

(a)浮沉子靜止漂浮;(b)對裝置施力F1,浮沉子靜止懸浮于液體中且無下沉深度;(c)對裝置施力F2,浮沉子下沉Δh且處于臨界位置圖2 浮沉子的3種平衡狀態示意圖

2.3 浮沉子動力學過程理論分析

采用不同規格且頂端開有直徑為1～2 mm小孔的玻璃瓶制作浮沉子(利用玻璃瓶,所展示的相關可逆或不可逆現象更為明顯且對原理分析無影響).

由阿基米德原理(忽略浮沉子的外殼體積)和力的平衡

mg=ρgh2S

(1)

mg=ρgh′2S

(2)

mg=ρgh″2S

(3)

式(1)、(2)、(3)中,m為浮沉子質量,S為浮沉子截面積,ρ為液體密度,g為重力加速度,h2為圖2(a)中位于液面以下的氣柱長度,h′2為圖2(b)中浮沉子內氣柱長度,h″2為圖2(c)中浮沉子內氣柱長度.聯立式(2)、(3)有

h′2=h″2p′=p″

(4)

式(4)中,p′、p″分別為圖2(b)和圖2(c)中浮沉子內上方氣體壓強.

對3種狀態下的浮沉子進行受力分析,根據力的平衡有

mg+p0S=pS

(5)

mg+p′0S=p′S

(6)

mg+p″0S+ρgΔhS=p″S

(7)

式(5)、(6)、(7)中,p0、p′0、p″0分別為圖2(a)～圖2(c)中外部容器上方氣體的壓強,p為圖2(a)中浮沉子內上方氣體壓強,Δh為圖2(c)中浮沉子下沉深度.

對圖2(b)和圖2(c)狀態下的浮沉子底端進行分析有[3]

p′+ρgh′3=p′0+ρg(h′2+h′3)

(8)

p″+ρgh″3=p″0+ρg(h″3+h″2+Δh)

(9)

式(8)中h′2、h′3分別為圖2(b)中浮沉子內氣柱長度、水柱長度,式(9)中h″2、h″3分別為圖2(c)中浮沉子內氣柱長度、水柱長度.

化簡式(8)、(9)可得

p′=p′0+ρgh′2

(10)

p″=p″0+ρg(h″2+Δh)

(11)

若把空氣的壓縮過程看成等溫壓縮過程[4],則有

p(h2+h1)S=p′h′2S

進一步可求得

(12)

結合式(4)、(11)、(12),浮沉子的臨界位置的表達式可寫為

(13)

為了更加直觀地看出浮沉子自身參數對Δh的影響,聯立式(1)、式(13)可寫成

(14)

若要讓圖2(b)中的浮沉子下沉,需要對裝置進行施壓,使外部容器上方氣體壓強增大.此狀態下必有

p′0

聯立式(10)、(11),其中Δh>0,得

p′

顯而易見,此式與式(4)相矛盾.

為了滿足式(4)成立,聯立式(10)、(11),得到

p′0=p″0+ρgΔh

(15)

即在浮沉子下沉Δh后,立即減小外部容器內氣壓p″0,并使之小于p′0,才能使得等式成立.

但僅在外界大氣壓作用下,外部壓強最低只能降回到圖2(a)中的情況,即與大氣壓相等.所以這里p″0的取值范圍為[p0,p′0),在此情況下,控制浮沉子下沉深度Δh與p″0之間的變化,才能滿足式(4).即浮沉子下沉后只有減壓才能使之在水下達到受力平衡位置(即臨界位置),從而產生不可逆現象.

但是,若減壓過度或下降高度與減壓不匹配,將會導致

p′0≠p″0+ρgΔh

例如減壓過度,會使得p″

h′2>h″2

則式(3)變為

mg>ρgh″2

代入式(7)發現使浮沉子下沉的力大于使之上升的力,不可逆現象由此發生.

3 浮沉子運動規律實驗驗證

3.1 實驗方案及數據記錄

采用制作材料規格相同、頂端開有直徑為1～2 mm小孔的玻璃瓶進行浮沉子制作,浮沉子和外部容器帶有刻度,其最小分度值為1 mm.

選取質量、截面積、長度都相同的浮沉子,使用配重銅絲增改其質量,并確保在改變浮沉子整體質量的同時不改變其排水體積(即把所加配重銅絲放至浮沉子內部),測量出每次實驗相對應的h2(液面以下氣柱高度)和Δh(臨界位置深度),如表1所示.

表1 浮沉子質量m對h2和Δh的影響

選取橫截面積相同的浮沉子,使用配重銅絲維持其質量不變,測量出每次實驗相對應的h2(液面以下氣柱長度)和Δh(臨界位置深度),如表2所示.

表2 浮沉子截面積S對h2和Δh的影響

利用相關軟件繪制不同實驗參數下關于h2和Δh的散點圖,如圖3～圖6所示.

圖3 質量m與氣柱高度h2之間的關系

圖4 質量m與臨界位置深度Δh之間的關系

圖5 截面積S與氣柱高度h2之間的關系

圖6 截面積S與臨界位置深度Δh之間的關系

3.2 實驗結果分析

由圖3～圖6可知,浮沉子自身參數會對臨界位置產生影響,具體表現如下:隨著浮沉子質量的增加,其液面以下氣柱高度增加,臨界位置深度逐漸減小,而截面積的增加所帶來的影響與上述相反.

實驗中還觀察到:浮沉子若要發生不可逆,則其初始位置就必須與液面齊平或與液面極接近.由式(13)可得,當h1為零時,由于h1所在的這一項含有p0,對于浮沉子臨界位置深度Δh而言變小了很大一部分,所以在浮沉子完全浸沒時,相比于有露出的情況下,臨界位置深度Δh更小.

4 結論

通過上述理論分析和實驗數據結果表明:

(1)浮沉子下沉后只有減壓才能使之在水下達到受力平衡位置.產生不可逆現象的根本原因為過度放壓.

(2)浮沉子的自身參數(質量m、截面積S)是通過影響液面以下氣柱高度h2進而影響臨界位置的深度.