高中概率統計的大單元教學分析

黎華斌

【關鍵詞】高中數學；概率統計知識；大單元教學

前言

概率統計涉及的思想方法與其他模塊的數學知識相比有很大差別，即實用性強，教師如果在短時間內上完全部課程，就會導致學生的習題訓練少，不能進行客觀分析，解相關問題時難以得分．基于此教師要優化高中數學概率統計知識，以大單元教學的模式整合教學內容，科學分配課時，讓學生能夠深入學習與思考概率統計方面的知識，提升數學核心素養．

一、概率統計的教學要求

概率部分的知識在高中數學人教版教材必修二中有提及，要求學生在初中概率知識基礎上，深化理解概率的概念與性質，如什么是樣本點、樣本空間、事件與它們之間的基本關系等，從數學的角度知道隨機現象，提升學生的數學抽象素養．同時該部分內容講解了概率的計算，并分別提出古典概型（使用計算原理排列數組合數分析）、乘法公式和加法公式（條件概率和全概率公式），提出幾種特殊的隨機變量中的均值方差、概率分布，隨機變量的分布等，此部分的內容對培養學生數學運算、建模與邏輯推理能力有重要意義．

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中對于概率統計部分的知識要求學生在日常生活中學會數據的收集，能夠使用統計的基本方法進行決斷，從而培養學生的數據分析核心素養，掌握統計部分的知識包括數據的數字特征、直觀表示、數據的收集等，以及抽樣的方法、獲取數據的途徑、用樣本估計統計等知識，利用科學的方法分析數據，掌握一元線性回歸模型，使用2x2列聯表進行檢驗，

二、基于高考試卷對概率統計考題的分析

對近五年高考數學試卷中概率統計考題進行分析，筆者發現試卷中以考查學生的數學運算能力與邏輯推理能力為主呈現概率統計的知識，主要內容有排列內容、計數原理、古典概型、多項式運算、二項式定理、利用隨機變量分析事件、分布問題、獨立性檢驗等，注重學生對概率統計知識的本源學習．例如，2021年高考數學全國甲卷中第2題就是考查頻率分布直方圖中讀取數據的知識，考查學生的數學運算能力：第10題考查的是排列組合問題與古典概型的綜合運用，考查學生的邏輯思維能力，第17題考查的是樣本頻率、獨立性檢驗，考查學生對不確定性問題的統計決斷能力．另外近幾年的考題也越來越體現生活化，不再固定于一個知識點，而是利用實際生活情境引導學生靈活運用所學的概率統計知識．

三、高中概率統計大單元教學的研究

（一）概率統計大單元教學的目標

從逆向角度分析學生掌握的知識，大單元教學的目的是讓學生在概率統計知識的學習中，建立能夠用樣本估計總體與統計推斷的思想，進而解答生活中與概率統計有關的不確定的問題，統計的過程是需要學生在研究完基礎問題之后，能夠合理使用調查方法，收集對應的數據信息，然后通過數據的處理，對其進行推斷．因此，概率統計大單元的教學目標為：1．通過完整的統計推理過程，能夠了解問題結果的判斷標準有好有壞，而不是通過對與錯判斷，基于此選擇適合的調查形式，有效整理數據的圖表；2．學習分層抽樣、隨機抽樣，讓學生能夠在不同的情境中選擇最正確的抽樣方法，抽取最有代表性的樣本，發展學生的抽象概念；3．學生學會使用概率分布直方圖，了解各種呈現數據的圖標的優缺點，特別是扇形統計圖、頻率分布直方圖等；4.了解頻率分布直方圖，能夠正確計算并判斷數據的中位數、頻率、眾數、方差等，知道這些數據特征，建立分析數據的數學素養；5．學會獨立性檢驗，知道怎樣計算并利用其判斷產生相關問題錯誤的概率：6．了解相關性的定量分析方法與定性，知道散點圖分析數據是正相關還是負相關，了解求解系數r的相關公式與對應范圍，進而正確計算出r的值：7．學會線性回歸方程，可以將非線性回歸方程轉化為線性回歸方程，從最小二乘法算線性回歸方程系數的角度，計算線性回歸方程系數，通過方程的轉化體會復雜問題的解決；8.了解決定系數R2，了解判斷回歸模型好壞的幾種方法，如殘差平方和、殘差圖等，

在學生完成概率的部分知識學習后，如概率乘法公式、排列組合等，教師就可以引導學生進一步學習更有深度的知識內容，用于更精準地計算隨機變量的均值及方差：1．通過計數原理的分析，學會分類分析結果、分析結果，讓學生知道什么是分布計數原理，形成數學建模素養．2．學生通過組合數的計算與排列數的計算的學習，掌握概率統計相關題型的解法，順利解答分配問題、定序問題等；3．學生學會二項式定理，可以從計數原理的角度理解二項式系數，并利用賦值的方法分析系數和問題，形成數學運算核心素養；4．學習概率的本質定義；5學會概率的計算方法；6．學會特殊的隨機變量概率分布、均值方差計算方法．

（二）概率統計大單元課時設計

概率統計大單元教學設計的邏輯順序就是從簡單到復雜解釋清楚基本概念，引入復雜的情境培養學生基本概念的運用能力．基于此課時的設計為：教授樣本空間、樣本點、隨機事件的基本概念（1課時），通過上節課講述的概念解釋古典概型，進行復雜古典概型概率的計算（1課時）；教授概率的性質，并事件、積事件、交事件的概念與其概率的計算（2課時）；獨立事件的概率運算法則（1課時）；習題課（1課時）；頻率分布直方圖（1課時）；通過對頻率分布直方圖的分析，估計方差與平均數（1課時）；通過對頻率分布直方圖估計百分位數（1課時）；習題課（1課時）；計數原理的學習（2課時）．

（三）概率統計大單元教學過程分析

1．數據特征的教學

在初中學生初步學習了統計的相關知識，如幾何數據的眾數、中位數、頻率與平均數，了解了樣本與總體的概念．但是初中與高中對于這些數學要素的運用在不同的情境，即初中階段學生學習的數據背景是直接的、靜態的，而高中階段相關數據的背景則是動態的、估計的．高中教材中使用的是頻率分布直方圖為學生呈現數據特征與數據的計算，教師可以直接使用教材中給出的圖示創建情境，帶領學生通過對比判斷出數據特征，以此感受統計推斷中蘊含的數學思維、不確定思維，同時知道對于統計判斷評價的標準是“好和壞”．教師可以在講授此部分內容之后，再以此為情境直接教授學生抽樣方法：知道如何才可抽出適合的樣本，在學生學會此部分知識之后在教授后面的知識點．教師通過重新調整教學內容進行大單元教學，讓學生了解初中與高中階段對于概念統計知識學習的差異，同時不會在后期學習時再重新復習之前的內容，既能減少反復學習，又能幫助學生明確在統計知識的學習中選擇合適方法的重要性，從而確定學習目標，在高中數學教學中，根據數據特征的推斷與計算，選擇最適合的方法是概率統計領域中比較重要的內容，也是易錯點，教師在此重新整合知識點進行教學，可以簡化教學流程，加強學生的理解．

2．雙變量數據分析的教學

高中階段的雙變量數據分析的教學主要內容是相關性分析、地理性檢驗、建立回歸方程預測等．此部分知識內容是存在矛盾點的，如果從操作方法角度教學，只要學生正確計算、記住結論就能在考試中獲得滿分，基于此教師會將教學重點放在數學建模與數學運算上．但是這種教學方法對學生的深入學習是有影響的．如果教師在建模與計算基礎上進行教學，還從根本上講述概念的由來，那么能夠更好地幫助學生學習公式模型，加深記憶．但是這種方法對學生的要求較高，需要學生自主構建知識體系，需要教師為學生提供更多自主思考與合作探究的時間內化知識．雖然教材中將相關性的知識放在獨立性檢驗的前面，但是經過作者教學實踐發現相關性部分的內容較多，且獨立性檢驗的知識點比較集中，兩者關聯性不大，所以也可以將獨立性檢驗的內容放在相關性部分前面進行教學，所以教師先進行對變量進行獨立性檢驗的教學，然后具體研究相關性也是可以的．

獨立性檢驗，就是檢驗兩個變量之間是否有關系，兩個變量是獨立的前提下，這兩個變量無論怎樣取值也都是互相獨立的，再根據獨立事件的概率計算進行倒推，得到頻數的估計值，若此與對應的實際統計值相近，則表明這兩個變量是獨立的，如果與對應的實際統計值相差較多，則表示兩個變量是有關系的，假設不成立．這種說法有一定風險，即在互相獨立的時候的確可能出現差距較大的問題，因為統計的不確定性特點，小概率事件發生的可能性小，但也會發生，在講述完上述知識點之后，學生一般都能理解，并根據此推理，可知頻數估計值與實際統計值的差值有四個，怎樣將這幾個差值組成一個能夠進行獨立性檢驗的統計量？小概率事件發生的可能性是多少？這兩個問題是學生在學習此部分知識之后仍然會產生疑問．下面教師來幫助學生答疑解惑：差值能夠確定正負號，若使用差值的方法分析，可以將其標準化，即將差值的平方和都除以對應的頻數估計值，將上面四個標準化的差值相加，組成新的統計量x2，此處所說的“標準化”，是對隨機變量的標準化，根據方差與均值的性質，能夠推導出標準化后的值Z是0，方差為1．而此處的偏差也服從正態分布，所以標準后的差值則服從標準正態分布，所以近似服從自由度是1的X2分布，因為這部分內容不是高中生必須掌握的，所以教師通過表格為學生呈現局部概率的分布數據，但是這種簡單的描述還不能讓學生對知識形成透徹地了解，根據相關性的分析來說，如果學生數學素養不足，教師可以嘗試直接給出幾個關鍵的形式，例如高中階段涉及的X2概率分布圖，教師可以直接講解，只要學生了解就可以，并能根據表格中的X2概率的關系進行正確判斷．這一過程強調學生對整個發展過程的理解，弱化個別知識點的深入了解．

獨立性檢驗講解之后再進行相關性知識的教學就簡單得多，只要學生能夠判斷出變量的相關性，并能在散點圖中計算r值．在計算方面能夠根據殘差平方和、殘差圖中計算r，R2等值；在建模方面可通過構建非線性回歸方程、線性回歸方程．教學重點是能夠根據計算進行統計判斷，難點是理解公式概念、精準計算．例如，相關系數的范圍是-1≤r≤1，對相關系數范圍的理解，可總結為“多維向量夾角的余弦值角度”，另外線性回歸系數的公式推導依據是最小二乘法，可以理解為差值是用差的完全平方進行處理的．人教版高中數學教材中對于∑的運算性質理解，可以通過求導的形式讓學生加強理解，需要教師為學生講述清楚，并單獨使用一節課講解概念，在學生們理解了之后再專門開展一節建模課，如此才能讓學生更扎實地掌握知識，對于非線性回歸方程的內容，此部分雖然是難點，但是原理比較簡單，教師需要帶領學生多練習，在解題中理解本質．

3．計數原理的教學

在解答隨機變量的概率分布問題的時候，學生可能出現的障礙就是在隨機變量中各個取值包含的事件，事件的概率是使用什么方法分析的？用概率的性質計算還是用等可能結果的分析，這兩種方法總結為樣本空間的分析．學生在解答這部分知識相關問題的時候，容易出現結果分析不準確的情況，作為計算原理的基礎運用知識的講解，教師需要結合本班學生的數學學情，思考講解到哪個深度，如果學生們數學素養較高，教師就可帶領學生深入分析；如果學生整體數學素養一般，就只簡單介紹樣本空間的分析，緊扣分布技術原理分析，必要時可借助樹狀圖進行演示教學，讓學生了解排列與組合的順序性與無序性．

4．實際情境分析

順序是學生學習計數原理的重難點，需要教師為學生展示，并引入情境展示．如分配情境、定序情境等．而教師帶領學生進行深入分析的時候可以不以順序展開，直接引入多樣化的情境帶領學生分析，體會排列數組合數的工具性，讓學生在實際情境中獲得感悟．

教師借助實際情境可以帶領學生在具體的情境中進行邏輯推理與數據分析．例如，歷史中分賭金的問題，請學生對結果進行分析求值，因為是預測，可以體現統計推斷的意義：另外通過高爾頓板與保險問題，n次傳球后小明拿到球的概率等，利用學生感興趣的事件讓其使用概率統計知識解答問題，內化知識點，能夠達到對知識的一般認知到形式認知．

總的來說，大單元教學可以培養學生的邏輯推理能力、理性思維能力、建模能力、計算能力．例如，解二項式定理問題的時候需要用到數學推理與數學模型；在解排列組合問題的時候需要學生綜合地進行推理判斷；在解概率問題的時候要運用推理與模型思想等．另外在本單元的教學中教師還要培養學生數學抽象思維，例如，樣本空間就是抽象的概念，需要學生將已有經驗轉化為新知，構建知識網絡．

結論

綜上，高中概率統計知識的教學很重要，是學生后期學習高等數學的基礎，但是學生要想完全掌握概率統計知識是不容易的，需要有更多知識做基礎．所以教師在教授概率統計知識的時候要結合學生的經驗循序漸進地展示概率基本概念與本質，逐漸深化內涵，讓學生慢慢了解難度更大的知識．教師要先設置明確的大單元教學目標，然后整合高中階段概率與統計的知識，能夠有的放矢地合理安排課時，輔助學生深度理解概率統計的知識，