改進滑?？刂齐p降壓式逆變器的動力學特性

陶 慧，艾朋偉

（河南理工大學電氣工程與自動化學院，焦作 454000）

電力電子變換器是一種強非線性時變系統，存在著倍周期分岔、Hopf 分岔及混沌等非線性行為[1-2]，這些非線性行為會影響系統的穩定運行。近年來，DC-AC逆變器的非線性研究受到廣大學者的關注。文獻[3]首次研究了比例控制的H 橋逆變器的分岔和混沌現象。文獻[4]研究了H 橋逆變器在比例積分控制下的非線性行為，采用快變穩定性定理進行了理論分析，給出了各電路參數的穩定工作范圍。文獻[5]研究了準比例諧振PR（proportional resonant）調節下一階H 橋逆變器的非線性現象，建立了系統一階離散數學模型，并運用雅可比矩陣進行了理論分析。文獻[6]在文獻[5]的基礎上研究了三相并網逆變器的非線性現象，建立了三相逆變器的離散數學模型。但上述研究都是對線性控制下H橋逆變器的非線性行為進行分析。

滑?？刂剖且环N典型的非線性控制方式，具有響應速度快、魯棒性好、自適應性強等優點，其與改進指數趨近律結合還能夠有效消弱抖振[7]。因此，改進指數趨近律滑?？刂圃谀孀兤骺刂浦杏袕V闊的應用前景。文獻[8]結合分岔圖和折疊圖，研究了改進指數趨近律滑?？刂葡碌腍橋逆變器，發現其具有非常豐富的動力學行為。

上述線性控制與非線性控制逆變器研究都以傳統的H 橋逆變器為研究對象。而隨著電力電子技術的發展，對逆變器性能的要求也越來越高。傳統的H 橋逆變器結構簡單、應用廣泛，但存在橋臂直通問題，在實際工程中，需要設置死區時間，但如果死區時間設置不當，會引起輸出電壓的嚴重畸變。為此，吳婷等[9]提出一種對稱電感配置的雙降壓式逆變器，該電路結構在同一橋臂的兩開關管之間放置濾波電感，解決了橋臂直通問題。雙降壓式逆變器具有無需設置死區時間、可靠性高、電能質量高和直流電壓利用率高等優點，因此廣泛應用于對電能質量和可靠性要求較高，以及高電壓和高功率輸出的場合。文獻[10]研究了比例控制下雙降壓式逆變器的非線性行為，通過分岔圖和折疊圖分析了比例系數對系統穩定性的影響，但沒有進行穩定性理論分析。

本文將改進指數趨近律滑模控制引入到雙降壓式逆變器中，并對其動力學特性進行研究。首先分析系統工作原理，利用頻閃映射法建立系統的離散模型，然后結合數值仿真方法研究控制參數和外部參數對系統穩定性的影響，最后利用快變穩定性定理進行理論分析。本文研究將為雙降壓式逆變器的控制提供新思路，為改進指數趨近律滑?？刂品绞较履孀兤鞯脑O計和調試提供一定的理論依據。

1 逆變器的工作原理及離散模型

1.1 工作原理

采用改進指數趨近律滑模控制具有抖振小、響應快、魯棒性強等優點。改進指數趨近律滑?？刂齐p降壓式逆變器的電路原理如圖1 所示。該逆變器由主電路和控制電路兩部分組成：在主電路中，E為直流電壓，VT1～VT4為4 個全控型開關，D1～D4為4 個續流二極管，逆變側的濾波器由電感L1～L4和電容C組成，R為負載；在控制電路中，首先將參考電流iref=Imsin(ωt)與電感電流iL比較得到誤差信號e，即e=iref-iL，然后將誤差e輸入至改進指數趨近律滑?？刂破鞯玫娇刂齐妷簎con，最后將控制電壓ucon作為調制波與雙極性三角波utri進行調制得到驅動VT1～VT4的脈寬調制PWM（pulse width modulation）信號，根據半周期工作方式驅動各開關管。

圖1 改進指數趨近律滑模控制雙降壓式逆變器的電路原理Fig.1 Circuit principle of a double buck inverter with improved exponential approach law sliding mode control

采用半周期工作方式的PWM 控制策略如圖2所示[10]。控制電壓ucon與0 V 相比較可得到實現半周期工作的方波信號，將方波信號與PWM 信號相與可得到開關管VT1、VT4的驅動信號SVT1,VT4；然后將方波的反相信號與PWM的反相信號相與得到開關管VT2、VT3的驅動信號SVT2,VT3。此運行模式可以減小器件的開關損耗和導通損耗。

圖2 PWM 控制策略Fig.2 PWM control strategy

為了方便分析，假設所有開關管、二極管及電感電容均為理想器件，且取L1=L2=L3=L4=L；S表示開關管的狀態，當S=1時開關管導通，當S=0時開關管截止。根據iL的正負及開關管、二極管的狀態，系統可分為以下4種工作狀態。

（1）當iL>0 時，若ucon＞utri，則S= 1，開關管VT1、VT4導通，VT2、VT3截止；若ucon

式中：iL為電感電流；uo為輸出電壓。

（2）當iL<0 時，若uconutri，則S=0，開關管VT1～ VT4截止，續流二極管D2、D3導通。此時系統的主電路狀態微分方程為

采用改進指數趨近律滑模控制，控制電壓ucon可表示為[7]

式中：K1為比例系數，K1>0；K2為滑?？刂葡禂?，K2>0。

PWM控制下的占空比d為

式（3）和式（4）組成了控制電路的狀態方程。

1.2 離散模型

采用頻閃映射方法進行建模，以開關周期T作為頻閃采樣的時間間隔。令Xn=[iL,n,uo,n]T，Xn為第nT時刻的狀態變量矩陣，狀態變量iL,n為第nT時刻的電感電流，uo,n為第nT時刻的輸出電壓。

由式（1）和式（2）可得

其中

式中：Ai為狀態矩陣，i=1，2，3，4；Bi為輸入矩陣；X為系統狀態變量矩陣，X=[iL,uo]T。

主電路的離散數學模型為

式中，I為二階單位矩陣。

對式（3）離散化可得第n個開關周期的控制電壓為

式中，iref,n為第n個開關周期的參考電流。

根據準靜態思想可得

由式（4）和式（10）可得第n個開關周期的占空比dn為

由于占空比具有飽和特性，需對dn進行限幅處理，即

整個系統的離散模型由式（6）～（13）組成。

2 控制參數對系統穩定性的影響

常用的非線性動力學數值研究方法有分岔圖、折疊圖、時域波形和頻譜圖。分岔圖通過對不同周期下狀態變量輸出波形的同一位置進行采樣得到，可以反映出分岔臨界點并分辨出系統出現的分岔類型。折疊圖通過對穩定后的多個正弦周期進行采樣并將采樣點一一疊加得到，可以直觀地反映系統整個輸出周期的穩定狀態。當折疊圖是1 條正弦曲線時，系統穩定運行；當折疊圖是2 條以上曲線或不規則的點分布整個區域時，系統工作在不穩定狀態。時域波形通過在Matlab/Simulink 中搭建電路仿真得到，可以定量描述系統振蕩周期與時鐘周期的關系，進而判斷系統的穩定性。頻譜圖通過對狀態變量的時域波形進行快速傅里葉變換FFT（fast Fourier transform）分析得到，能夠觀察到對應時域波形中所含的諧波成分及總諧波失真THD（total harmonic distortion），進而判斷系統穩定性與電能質量優劣。

本文分別采用分岔圖、折疊圖、時域波形及其頻譜圖等研究控制參數對系統穩定性的影響。電路參數分別設置為E=180 V，R=10 Ω，L=5 mH，C=50 μF，fs=5 kHz，f=50 Hz，iref=12 sin(100πt)。

2.1 控制參數K1 對系統穩定性的影響

令K2=0.1，其他電路參數保持不變，K1以0.003 的步長從0 變化到1，在電感電流波形峰值和谷值處分別采樣，繪制出以K1為參數的分岔圖如圖3所示。將圖3與文獻[8]中相關分岔圖4對比發現，本文系統沒有出現H橋逆變器的多種倍周期同時存在的特殊分岔現象；狀態變量在峰值處與谷值處采樣的分岔特性相同，系統的非線性復雜度大大降低，這是因為系統的半周期工作方式減少了半個周期內開關管的開關個數，以及對稱電感配置的雙降壓式逆變器具有較H 橋逆變器更加對稱的電路結構。

圖3 以K1 為參數在峰值與谷值處采樣的分岔圖Fig.3 Bifurcation diagrams sampling at peak and valley with K1 as parameter

圖4 K1 分別取0.20、0.43、0.80 時的折疊圖Fig.4 Folding diagrams when K1 takes 0.20,0.43 and 0.80 respectively

從圖3 可看出，當0

K1分別取0.20、0.43、0.80 時的折疊圖如圖4 所示。圖4（a）中呈現1條正弦曲線，且K1=0.20處于分岔圖（見圖3）的0～0.35 區間，說明此時系統處于穩定運行狀態；圖4（b）中呈現2 條正弦曲線，且K1=0.43 處于分岔圖（見圖3）的0.35～0.45 區間，說明此時系統處于周期2狀態；圖4（c）呈現出大量復雜無規律的點填充了大部分區域，且K1=0.80處于分岔圖（見圖3）的0.45～1.00區間，說明此時系統處于混沌狀態。可見，折疊圖（見圖4）與分岔圖（見圖3）的分析結果一致，驗證了系統離散模型和數值仿真的正確性。

K1分別取0.20、0.43、0.80 時的時域波形（含峰值附近局部放大圖）和頻譜圖如圖5～圖7所示。在頻譜圖中，橫坐標f表示頻率，縱坐標Mag表示各頻率下的諧波相對基波的百分比。由圖5（a）可知，iL為正弦波形，振蕩周期等于時鐘周期；由圖5（b）可知，iL中主要存在基波分量和開關頻率及其附近諧波分量，此時THD 較小為6.36%，系統處于穩定運行狀態。圖6（a）中iL的振蕩周期是時鐘周期的2倍；圖6（b）中iL主要存在基波分量、開關頻率和0.5開關頻率及其附近諧波分量，此時THD 為8.27%，系統處于倍周期狀態。圖7為K1=0.80 時的時域波形和頻譜圖。圖7（a）中iL的時域波形失去周期性，變得混沌；圖7（b）中存在大量多種非基波頻率與開關頻率的諧波分量，此時iL的THD較大為11.63%，系統處于混沌不穩定狀態?？梢?，時域波形及頻譜圖的分析結果與折疊圖及分岔圖的分析結果一致。

圖5 K1=0.20 時的時域波形和頻譜圖Fig.5 Time-domain waveform and frequency spectrum at K1=0.20

圖6 K1=0.43 時的時域波形和頻譜圖Fig.6 Time-domain waveform and frequency spectrum at K1=0.43

圖7 K1=0.80 時的時域波形和頻譜圖Fig.7 Time-domain waveform and frequency spectrum at K1=0.80

2.2 控制參數K2 對系統穩定性的影響

令K1=0.20，其他電路參數保持不變，K2以0.003的步長從0變化到1，在電感電流波形峰值處采樣，繪制出以K2為參數的分岔圖如圖8 所示?？梢钥闯?，當0

圖8 以K2 為參數的分岔圖Fig.8 Bifurcation diagram with K2 as parameter

研究表明，當K2取不同值時系統的折疊圖與圖4類似，時域波形及其頻譜圖與圖5～圖7類似，這里不再贅述。

2.3 控制參數的穩定工作域

確定控制參數的穩定工作域對系統的設計至關重要。這里保持系統其他參數不變，圖9給出了控制參數K1和K2構成的二維平面穩定性邊界，曲線下方區域為系統穩定工作域，上方區域為系統不穩定區域。

圖9 系統在K2 -K1 平面上的穩定性邊界Fig.9 Stability boundary in the space of K2 versus K1

2.4 改進滑模控制對系統性能的影響

將改進滑?？刂婆c傳統滑模控制進行對比，分析改進滑?？刂茖ο到y性能的影響。在改進滑?？刂葡履孀兤鞲鲄档姆€定區間取值，令K1=0.20、K2= 0.10，傳統滑?？刂频目刂谱兞繛閡con=ae+bsgn(e)，a= 0.2，b= 0.1，其他電路參數取默認值。對系統穩定后輸出電壓的時域波形進行FFT分析可得輸出電壓uo的頻譜圖如圖10所示。從圖10（a）可以看出，傳統滑?？刂葡履孀兤鬏敵鲭妷夯ǚ至糠禐?7.76 V，THD為1.87%；從圖10（b）可以看出，改進滑?？刂葡履孀兤鬏敵鲭妷夯ǚ至糠禐?02 V，較傳統滑模控制高4.24 V，THD為1.19%，較傳統滑?？刂频?.68%，奇數低次諧波明顯減少。

圖10 傳統滑?？刂坪透倪M滑模控制下逆變器輸出電壓uo 的頻譜圖Fig.10 Frequency spectrum of the inverter output voltage uo under conventional and improving sliding mode control

傳統滑模控制和改進滑?？刂葡履孀兤鬏敵龅挠泄β嗜鐖D11所示，其中實線1、2、3、4分別為傳統滑?？刂葡履孀兤鬏敵龅幕ǚ至坑泄β?、直流分量有功功率、2 次諧波有功功率及3 次諧波有功功率，虛線5、6、7、8分別為改進滑?？刂葡履孀兤鬏敵龅幕ǚ至?、直流分量、2次諧波分量及3次諧波分量的有功功率。可以看出，實線2、3、4和虛線6、7、8 表示輸出的有功功率在系統穩定后近似衰減到0，實線1 表示的基波分量有功功率穩定到478 W，虛線5 表示的基波分量有功功率穩定到520 W。通過對比可知，改進滑模控制比傳統滑?？刂铺岣吡四孀兤鬏敵龅挠泄β?，減小了逆變器的損耗。

圖11 傳統滑?？刂坪透倪M滑?？刂葡履孀兤鬏敵鲇泄β蔉ig.11 Active power output of inverter under conventional and improving sliding mode control

綜上，改進指數趨近律滑模控制提高了系統輸出電壓的質量及輸出功率，其在逆變器控制中有著廣泛的應用前景。

3 其他電路參數對系統穩定性的影響

令K1=0.20、K2=0.10，研究輸入電壓E、濾波電感L、開關周期T等外部參數對系統穩定性的影響。

令直流電壓E以1 V 的步長從0 V 變化到600 V，其他參數保持不變，繪制出在電感電流峰值處采樣的分岔圖如圖12（a）所示?？梢钥闯觯? V260 V時，系統由倍周期進入混沌狀態。因此，要使系統穩定運行，直流電壓E的取值應小于227 V。

圖12 其他電路參數的分岔圖Fig.12 Bifurcation diagrams of other circuit parameters

令電感L以0.03 mH 的步長從0.3 mH 變化到5.3 mH，其他參數保持不變，繪制出以電感L為分岔參數的分岔圖如圖12（b）所示。可以看出，隨著L的減小，系統從穩定運行經倍周期進入混沌；隨著L的進一步減小，系統回到倍周期狀態，這一現象稱為切分岔。因此，要使系統穩定運行，L的取值應大于4.2 mH。

令開關周期T以1 μs 的步長從100 μs 變化到500 μs，其他參數保持不變，繪制出以T為分岔參數的分岔圖如圖12（c）所示?？梢钥闯?，隨著T的增大，系統從穩定運行經倍周期進入混沌，因此要使系統穩定運行，T的取值應小于228 μs。

由上述分析可知，除控制參數外，其他電路參數E、L和T對系統的穩定性也具有重要影響。在實際工程中，要選擇合適的參數取值使系統工作在穩定狀態。

4 穩定性分析

常用的穩定性理論分析方法有李雅普諾夫指數法和雅可比矩陣法，兩者都要求系統的離散數學方程可導。因為改進指數趨近律滑?？刂齐p降壓式逆變器的離散模型不可導，所以這兩個方法對于本文不再適用。文獻[11]提出一種快變穩定性定理，解決了離散數學模型不可導的穩定性判斷問題，填補了非線性控制逆變器判斷穩定性的空白。為此，本文采用快變穩定性定理進行理論分析。該定理的基本思想是取電流下降段M個開關周期，分別將每個開關周期的占空比和下一個周期的占空比相減后再除以兩者差值的絕對值，把計算出的M個數相加即得到穩定系數Q，具體計算公式為

式中，N0為電感電流下降段的某個開關周期。本文取N0=1 825，M=15。

若在M個開關周期內占空比一直保持單調變化，即Q=M時，則系統處于穩定狀態；若Q

圖13 K1 與E 為參數的穩定性判斷結果Fig.13 Results of stability judgment with K1 or E as parameter

5 結 論

本文從非線性動力學角度出發，以雙降壓式逆變器為研究對象，引入改進指數趨近律滑?？刂?，建立了系統的離散數學模型，對其進行數值仿真與理論分析，得到了如下結論。

（1）結合分岔圖、折疊圖、時域波形及其頻譜圖等分析了不同控制參數下逆變器的非線性行為，確定了控制參數K1和K2的二維穩定工作域。

（2）除控制參數外，給出了其他電路參數E、L、T的穩定工作范圍。

（3）利用快變穩定性定理進行了穩定性理論分析。

本文研究結果表明，改進滑?？刂铺岣吡四孀兤鞯妮敵鲭妷嘿|量及輸出功率，揭示了改進指數趨近律滑模控制雙降壓式逆變器的非線性本質，為實際工程中提高逆變器工作穩定性的設計及調試提供了重要的理論依據。