基于BOPPPS教學模式的線性代數混合式教學設計研究

班曉倩 周龍橋 林府標

摘要為落實線性代數課程教學目標，切實提升財經類高校的人才培養質量，文章整合教學內容，在BOPPPS教學模式的基礎上改進形成了融合概念學習、能力提升、應用強化和鞏固反饋四個環節的線上線下混合式“四輪教學法”，同時展示了課程思政的融入技巧，并通過分析教學實踐的數據，驗證了該教學模式的有效性，對財經類高校公共數學課程的教學具有一定的借鑒價值。

關鍵詞線性代數；“BOPPPS教學模式”；四輪教學法；課程思政

中圖分類號：G424? ??????????????????????????文獻標識碼：A??? DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2023.21.040

Research on Mixed Teaching Design of Linear Algebra Based on "BOPPPS Teaching Mode"

BAN Xiaoqian， ZHOU Longqiao， LIN Fubiao

（School of Mathematics and Statistics， Guizhou University of Finance and Economics， Guiyang， Guizhou 550025）

AbstractImplementing the teaching objectives of linear algebra course， effectively improving the quality of talent cultivation in financial and economic universities， the article integrates teaching content， and improves the BOPPPS teaching mode to form an online and offline hybrid "four round teaching method" that integrates concept learning， ability enhancement， application reinforcement， and feedback consolidation. At the same time， it demonstrates the integration skills of course ideology and politics， and analyzes the data of teaching practice， The effectiveness of this teaching model has been verified， and it has certain reference value for the teaching of public mathematics courses in financial and economic universities.

Keywordslinear algebra; "BOPPPS teaching model"; four-round teaching method; curriculum ideology and politics

伴隨信息技術的迅速發展，教育教學觀念發生了巨大變革。2005年，何克抗教授通過對建構主義的反思[1]，闡述了對Blending-Learning，即“混合教學”概念的理解，指出應實現E-Learnin和傳統教學的結合而非用E-Learning取代傳統教學，發揮“教師主導—學生主體”的優勢以獲得最佳的學習效果。這樣，混合式教學在高等院校的各門課程教學中逐漸推廣。從原理探究[2]到教學模式分析[3-5]，再到教學平臺的建設分享[6]，在教學實踐中，學者通過對教學對象、教學內容、教學目的的分析，借助慕課、學習通、雨課堂、騰訊會議或自主開發的學習平臺，融合線上線下教學資源，以實現混合式教學的最佳效果。部分學者[7]針對具體課程列出細致完整的教學設計并付諸實踐。

線性代數是財經類高校重要的公共基礎課程，為學生后續學習經濟管理課程及將來的理論研究或實踐工作提供了必要的理論基礎，一直是學校教育教學改革的重點課程。2018年9月，教育部發布《關于加快建設高水平本科教育全面提高人才培養能力的意見》，強調要通過教學改革促進學習革命，積極推廣混合式教學，構建線上線下相結合的教學模式，提高課堂教學質量?；谛聲r代高等院校教育教學改革的要求，結合課程組對線性代數、概率論與數理統計等公共課程已經完成的7輪教學范式改革的經驗凝練，通過完善教學改革方案、加強過程性考核、學生動態反饋―教師保持跟進、強化課堂訓練、增加自主學習比重等方面，改進了課程教學設計和考核方案，逐漸凝練出符合數學學習規律的教學模式。

1? BOPPPS教學模式在實施中的改進策略

BOPPPS教學模式是主要基于學生學習過程、重視教學反饋為特征的教學設計模式，BOPPPS教學模式本質上是以學生為中心的教育實踐，在教學理念上，教師關注的重點是學生學到了什么，在教學目標上對于自己掌握的知識有沒有合理、客觀的評估，在教學方法上更強調參與式教學，學生在學習活動中能充分發揮主觀能動性，獨立思考。BOPPPS教學模式的基本框架是Bridge（引入）→Objective（學習目標）→Pre-assessment（課前摸底）→Participatory？learning（參與式學習）→Post-assessment（課后測驗）→Summary（總結）?；贐OPPPS教學模式，筆者運用信息技術，將各項教學功能融合于混合式教學的設計方案中，為此，課程組對現有教學內容考核方案以及教師教學活動等方面做出調整。

首先，整合教學內容。BOPPPS教學模式的理論依據是認知理論和建構主義，為了使學生在課堂上能最大限度地掌握知識以及初步應用，教師通過學情分析，梳理教學對象的學情特點，結合線性代數課程教學目標以及教學內容所屬功能，劃分為概念理解、能力提升和應用強化三個部分。線性代數課程理論性、邏輯性強，教師除了基本理論和基本方法的教學，同時還要培養學生的邏輯推理能力和抽象思維能力，為學生學習后續經濟管理類課程提供必要的理論和方法。馬克思主義哲學指出，人們對事物的認識活動是從感性直觀到理性認識，再從理性認識到應用實踐的螺旋上升的過程[8]。為使得教學設計更符合認識規律，教師在教學中應遵循由特例到概念再過渡到方法，最后從方法到應用強化的規律，所以線上線下的教學活動應按照認識規律循序漸進地設置，以體現知識體系的整體性以及承上啟下的連貫性。

其次，將目標各異的教學活動分別由線上線下教學環節來承載和實現，具體分為三個步驟。第一個步驟：BOPPPS教學模式的引入和課前摸底相當于預習概念板塊，放置于線上課堂，知識易掌握習題易完成，激勵性較好；第二個步驟：BOPPPS教學模式中的參與式學習，體現在線下課堂，教師面對面地啟發引導，師生共同解決邏輯推理性較強或綜合應用性的定理例題，培養學生解決問題的能力，為創新打基礎，同時教師根據教學內容，因勢引導實施德育。第三個步驟：課后測試和總結反饋，置于線上課堂進行，給學生自主學習的環境，進行反思、反饋，將知識內化。比如矩陣的秩這節內容的教學設計。線下自主預習可安排為：計算k階子式，判斷矩陣的秩。線上課堂教師引導的問題設置：為什么初等變換不會改變矩陣的秩？矩陣的秩的意義是什么？矩陣的秩與線性方程組的求解有什么聯系？方程組的求解，就是一個從表象到實質的過程，所以體現了本質論，如何理解方程組有解的充要條件，采用觀察法，啟發教學及課堂討論、層層遞進，落實現象到本質的步步深入，學生更易融會貫通。

第三，轉變考核思路?？己酥笜说倪x定是調動學生學習積極性的重要措施。為充分激勵學生課下的學習參與度，激發學生自主學習的內生動力，同時為減少教師評價學生平時成績的主觀性，課程組將學生線上自主學習的成績權重提升到平時成績的50%。鑒于此，我們完善了線上學習的環節，如觀看課前視頻預習相關內容并完成概念性預習題，課中完成線上的習題任務點及線上選擇題的互動活動，完成線上課后單元測驗，線上期中考試和線上期末考試，線上討論互動等環節。每位學生都能實時看到自己的線上成績是多少分，客觀清晰的成績構成調動了學生學習的主動性，培養學生負責任的學習態度。這兩年的教學實踐數據也證明，絕大多數學生為了拿到盡可能高的平時成績，會用大量時間在線上學習、練習以及和教師互動提問，其學習能力也得到了提升。同時我們也觀測到，學生的期末卷面成績和其線上學習成績大致是正向相關的。

最后，加強學生學習的自我評估。在學習通平臺，教師可以及時觀測到學生學習的反饋數據，可以實現高效的數據統計反饋，方便調整下一步教學。線性代數課程的授課對象是全校一年級的學生，線上線下教學采取不同措施來引導。線上學習采取以個體為主的學習形式，督促學生完成課前觀看教學視頻、閱讀預習題以及課后反饋等；線下課堂則是以小組為主的學習形式，開學初學生進行自由分組，在線下課堂時，小組成員集中就座，進行課堂討論、習題訓練、問題反饋和成果匯報，方便教師進行小組答疑。小組學習既可以帶動督促成員自覺學習，也推進了學生間的討論協作和共同進步。

2? 基于BOPPPS教學模式改進的混合式“四輪教學法”

基于BOPPPS教學模式的混合式“四輪教學法”以“以人為本”為原則，以調動學生學習積極性、提升學生的自主學習能力為目的。以學生評價體系為激勵機制，有效督促學生開展自主性、過程性學習，有效參與到線上線下的教學活動中。

2.1? 混合式“四輪教學法”的教學設計

首先將課前預習置于線上自主學習。學生按照教師要求通過學習通網絡學習平臺自主學習教學視頻（每個教學視頻時長5―15分鐘），完成概念理解知識點的學習。概念學習相對是比較簡單的，主要實現對學生自主學習的督促，以激勵學生保持積極狀態。教師布置少量較簡單的互動預習題留給學生練習，可在課堂中隨機檢驗學生的完成情況并做點評。

線下課堂教學是教學設計的重心。在課堂教學中分為兩大板塊——能力提升板塊和應用強化板塊。在能力提升板塊中，配備相應教學設計和習題資源，是培養學生推理能力和應用能力的主要環節。教師在線下課堂的講授圍繞應用強化、能力提升和價值傳遞，需要相應的習題資源和應用案例，尤其在方法技巧上有所延伸的問題，教師通過方法引導、思維啟發，引導學生分析解決實際問題，教師啟發、引導學生尋找條件、描述現象、建立模型、轉化求解，給學生做出如何轉化矛盾的示范，潛移默化化未知為已知的解決問題的思想，并拋出相應的延伸習題，強化學生對方法技能的掌握和應用。

在應用強化板塊中需要配備經濟管理類的應用型案例，以開放型問題為宜，便于引導學生分析解決實際問題。應用強化這一環節突出專業應用特點，教師講授時要注重啟發性，引導學生的知識遷移和應用能力，留給學生討論和反饋，鼓勵學生發揮團隊協作的精神，探討創新，提升其實際解決問題能力。教師還應利用線上線下教學的優勢，深入挖掘課程思政元素，以相關案例為載體，展現課程知識背后所蘊含的哲學觀點和思維方法、追求真理與科學的態度、艱苦探索與創新精神等價值元素，結合財經類高校的專業背景，引導學生了解中國傳統文化，增強自信心和自豪感，使學生在學習知識的同時，樹立正確的人生觀和價值觀。

最后，線上學習的鞏固反饋。此環節中，學生須完成相應能力拓展的習題，對線下課堂教學的內容進行回顧和反饋，并展開對新內容的自主學習。教師接受學生反饋數據，督促并指導學生開展線下學習，及時解答學生的疑問，糾正運用偏差。

“四輪教學法”將學生的主體能動性放在核心地位，在教學設計上，學生從概念學習，到能力提升，應用強化，最后到總結反饋，整體呈現螺旋上升的態勢。通過思考和實踐參與，學生體驗了學習的過程，知識在訓練反饋中內化，學生的學習、應用能力在不斷累積上升，在由淺入深的強化訓練中實現量變到質變的成長突破，為創新能力培養打下堅實的基礎。

2.2? “四輪教學法”教學設計

例如：對特征值與特征向量內容進行教學設計，教學內容包括特征值與特征向量的定義、計算、性質、意義和應用。教學重、難點是特征值與特征向量的計算、性質和意義。

①線上預習概念。介紹特征值和特征向量的概念、展示簡單的二階矩陣特征值與特征向量，觀察分屬不同特征值的特征向量的關系，是否線性相關？是否正交？有沒有一般結論？觀察行列式與特征值、跡與特征值的關系。教師進一步引導學生思考：kA的特征值是什么？與A的特征值有沒有關系？特征向量是唯一的嗎？并由此問題引出特征向量的真實身份和求解特征值與特征向量的一般方法，即特征向量是特征值對應的某個線性方程組的非零解，可轉化到方程組解的理論來求解特征值和特征向量。

②線下能力提升。教師示范化簡特征行列式的技巧，習題訓練互動、強化求解矩陣特征值和特征向量方法，選擇例題作為課堂練習計算特征值與特征向量。引導學生觀察k重特征值一定對應k個線性無關的特征向量嗎？拓展問題：這樣的區別，對于矩陣性質有什么影響？為后面方陣對角化研究作鋪墊。

③線下應用強化和德育的開展。選擇關于特征值與特征向量的拓展題型，如發展與環保中的周期模型進行分組討論，有利于學生掌握特征值的性質和求解方法。通過教師總結、啟發，分析特征值與特征向量的意義（將矩陣與向量的乘法轉化為數與向量的乘法），建立變量遞推關系用于刻畫及解決經濟管理領域的應用問題，同時，在德育方面，實際應用的展現體現了整體觀和大局觀，做好長遠規劃需要掌握事物發展規律的價值傳遞。

④線上鞏固反思及預習。利用特征向量構造，并計算。反思：矩陣的特點以及的構造規律，結論是否可推廣？此等式的價值何在，有什么實際意義？為矩陣的相似及對角化內容作準備（圖1）。

3? “四輪教學法”的意義和成效

首先，尊重了認識規律和學生的主體地位。線上及線下課堂的實現，延伸了學習的時空環境，有利于學生個性化學習，能更好地調動學生的學習參與性。納入平時考核的激勵措施提高了學生對于課程的關注度。在上個學年線性代數課程的教學中，99%的教學視頻及習題任務點完成率都是100%，從第一章行列式到第六章二次型，總共58講內容，所有班級中90%左右的學生章節學習次數超過100次，更有超過半數的學生章節學習次數超過300次，過程性學習的效果更客觀地體現出來了，為教師對學生平時成績的評定提供了一定的依據。課前的預習讓學生帶著問題進課堂，聽課投入且獨立思考，其質疑、思辨能力也得到提高，教師引導學生觀察現象并提出啟發問題，有助于學生建立完整的知識體系。學生發現問題敢于及時指出和反饋，學習科學知識要求真務實、認真嚴謹是筆者傳遞給學生的價值觀。

其次，有助于提高學生的自主學習能力。該教學方法強調了對學生自主學習過程的評價，線上學習的成績量化并納入平時成績，加大對學生平時學習的動態考核，使得過程考核更有依據，有助于解決學生的學習動力問題，強化學生踏實誠信的做事風格，對提高學生參與自主學習積極性起到激勵作用。教師在教學方法上通過提問式、參與式、案例式、討論式等方法，使課堂更加活躍，學生學習積極性明顯提升，而且逐漸養成負責任的學習和生活態度。

最后，該教學方法尊重客觀認識規律，是培養學生由表及里、循序漸進的一般學習方法。該方法體現了由概念到應用、強化，再到反思的設計思路，加強了知識的內化過程，有利于學生養成正確的學習習慣。根據學生的反饋，該方法充分發揮了學生的主觀能動性，學生聽課更高效，知識掌握更牢固，學習效果更持久，真正體現了“以學生發展為中心”的教學理念，為培養學生成為具有自主學習能力和創新應用能力的高素質人才奠定了堅實的基礎。

4? 結語

對于理論性、邏輯性較強的數學類公共基礎課程的教學，“四輪教學法”具有一定的推廣價值，該方法更加注重過程性學習以及學習反饋，由此培養學生的自主學習能力和創新解決問題的能力。在今后的教學中，教師要加強對所授課程的理解和駕馭能力，把學科知識、思政元素和認識規律有機結合起來，將專業知識傳授和價值觀教育潛移默化地結合起來。接下來，課程組將跟進線性代數課程教學實踐數據對比，探索線上學習與學生學習效果之間的關系，進一步完善教學設計和學習評價指標，形成具有財經類高校特色的數學類公共基礎課程教學改革思路。

參考文獻

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