審辯式學習：在深度探究中思樂共生

姚紅梅

［摘 要］在“三角形內角和”教學中，以“五學”課堂為學習路徑，利用猜想、驗證、轉化等思想方法，鼓勵學生積極、自信、理性地運用解釋、分析、推理、評價等認知技能來解決數學問題，著眼于推進審辯式學習，對創新數學教學方法、培養學生審辯式思維具有一定的指導意義。

［關鍵詞］三角形內角和；審辯式學習；“五學”課堂；審辯式思維

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）20-0004-05

【教學內容】北師大版教材四年級下冊“三角形內角和”

【教學目標】

1.通過推算、測算、折拼、撕拼等操作活動，發現三角形內角和等于180°；

2.通過比較不同方法和對多邊形內角和的探索，感受“轉化”的數學思想，發展動手操作、推理分析能力；

3.在親歷探索發現的過程中，體驗數學思考與探究的快樂，形成應用意識、創新意識和審辯式思維。

【教學重點】

1.在操作活動中發現“三角形內角和等于180°”的性質，體會“轉化”數學思想的應用；

2.能根據操作活動清晰表達探索與發現的過程，發展推理分析能力和形成審辯式思維。

【學習準備】助研單、課件、三角形紙片（學生自備1套，教師自備2套）

【課前預學】

內角和的概念是本課的學習起點，教師可秉持“少教之教”的教學理念，對學生通過觀察即可感悟的知識，只引導其辨析和加強認識。個體只有經歷了體驗，認識和思考才會深刻，也才能在小組交流或集中討論時產生思維的碰撞。審辯式學習關注學生的獨立思考，但課堂40分鐘的時間往往不夠進行充分的探索和體驗，預學作業則能彌補這一缺失。

【課中共學】

一、創設情境，以問啟學

1.感受推理

師（出示長方形）：這是一個長方形。它的角有什么特點？

生1：長方形的4個角都是直角。

師：長方形內角和是多少？

生（齊）：360°。

師：你們是怎么想的？

生2：因為每個角都是直角90°，4個直角就是4個90°，所以長方形內角和就是360°。

師：生2利用“4個角都是直角”這個已知信息，經過思考、計算，得出一個新的結論——長方形內角和是360°。我們把這個過程叫作推算。他在表達中用到“因為……所以……”這樣的表達句式，使這個推算過程有理有據，令人信服。

2.引發思考

師：沿著這個長方形的對角線先折一次再剪開，得到2個大小相等的直角三角形。每個直角三角形內角和是多少？為什么？

生3：每個直角三角形的內角和都是180°，因為360°被平均分成了2份，每份就是180°。

師：非常棒！從已知信息出發，通過分析和計算，得出一個新的結論，這個方法就是推算。

師（出示大小、形狀不一的直角三角形）：直角三角形有大有小，是不是所有直角三角形內角和都是180°呢？

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在核心素養部分指出：通過經歷獨立的數學思維過程，學生能夠合乎邏輯地解釋或論證數學的基本方法與結論，分析、解決簡單的數學問題和實際問題。在本環節中，學生先后經歷兩次推理過程，在教師的積極評價中感悟論證方法，體會有理有據及邏輯表達的重要性，并對直角三角形內角和展開從特殊到一般的思考。

二、猜想驗證，以探入學

探索1：所有直角三角形內角和都是180°嗎？

師：課前大家已經利用自己制作的直角三角形進行了驗證，請匯報你的想法。

生1：我用的是推算的方法。（出示直角三角形）這是我的一個直角三角形，如果在它上面還有一個和它一樣大小的直角三角形，就組成了一個長方形。長方形內角和是360°，那么它的一半，也就是這個直角三角形的內角和是180°。

師：大家聽清楚了嗎？有沒有問題？

生2：這里只有一個直角三角形，它是怎么變成一個長方形的？

生1：你可以想象把這個直角三角形“翻過去”，就能得到一個長方形了。

師：生1讓我們從一個直角三角形中看出長方形，這是培養我們的想象能力呢！除了推算的方法，還有別的方法嗎？

生2：我用量角器先量出三角形每個角的度數，然后相加，算式是“90°+28°+50°=168°”。

生3：我是量直角三角板每個角的度數。“90°+30°+60°=180°”，還有“90°+45°+45°=180°”。

師：他們的結果不一樣。大家怎么看呢？

生4：如果測量不準確就很容易出現誤差。

師：生2，你可以向大家展示一下測量過程嗎？

生2：我發現我測量的直角三角形有一條邊沒有畫直。

師：沒關系，你得出的不一樣的結果，讓大家知道探究的每個環節都不能馬虎，正所謂“大膽猜想，小心求證”。還有其他的方法嗎？

生5：我測量的2個角的度數分別是35°和55°，它們合起來是90°，加上第三個角——直角90°，就得到180°。

師：先測后算也是一種探究方法，關鍵是要小心測量，避免誤差。

生6：我用的是折拼的辦法。把這個直角三角形的2個銳角往直角所在的方向折，拼了拼后發現它們與三角形的直角重合，三角形的3個角就變成了2個直角。這樣，這個直角三角形的內角和就是“90°×2=180°”。

師：生6先折再拼，把其中2個角合在一起后發現它們與已知的直角重合。這個把未知變成已知的過程就是轉化思想的運用。還有別的想法嗎？

生7：我用的也是折拼的方法。把這個直角三角形的3個角折起來可以拼成一個平角。平角是180°，所以這3個角的和，即這個直角三角形內角和也是180°。

生8：我也折過，發現拼的時候很容易有空隙，這樣就不能確定是不是拼成了平角。

生9：我也覺得會有誤差，所以我用了撕的方法，把3個角撕下來，然后拼在一起，就拼成了一個平角。

師：這幾位同學的想法有什么共同的地方？

生10：他們都用到了“轉化”，把3個角轉化成一個平角。

師：是啊，不管是“折”還是“撕”，他們都運用了“轉化”，活學活用，值得表揚！同時，有同學關注到“誤差”“空隙”會導致“不能確定”，這種嚴謹的探究精神非常值得我們學習！

師（動畫展示）：把直角三角形的3個角撕下來后可以拼成一個平角，我們就說直角三角形內角和是多少？

生（齊）：180°。

本環節中，在課前獨立探究的基礎上，學生經歷了“猜想—驗證”的過程，通過交流的方式暢談探究方法和結果。在交流時，學生都能從現象出發，質疑問難、實事求是。

探索2：所有三角形內角和都是180°嗎？

師：通過探索，我們知道了直角三角形內角和是180°。可是，三角形是會變化的。（課件展示將直角三角形直角頂點向上提）直角三角形現在變成了——

生（齊）：銳角三角形。

師：它還可能變成——

生（齊）：鈍角三角形。

師：直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形，哪種的內角和最大，哪種的內角和最小？

生1：直角三角形內角和最大，銳角三角形內角和最小。

生2：我覺得鈍角三角形內角和最大，銳角三角形內角和最小。

生3：我覺得三種三角形的內角和一樣大。

師：能想辦法驗證自己的觀點嗎？請拿出鈍角三角形和銳角三角形，用你喜歡的方法進行驗證。

生4：我采用的是“撕拼”的方法。無論是鈍角三角形，還是銳角三角形，“撕拼”后都能拼成平角，所以它們的內角和都是180°。也就是三種三角形的內角和一樣大，都是180°。

師：生4既匯報了驗證過程和結果，又匯報了自己的結論，有理有據。

生5：我用的是推算的方法。先把2個同樣大小的銳角三角形拼在一起，發現拼成一個平行四邊形，而不是長方形；再把這個平行四邊形的一個角剪下來移到另一邊，這樣就變成了一個長方形；最后發現銳角三角形的3個角拼成了一個平角。也就是說，銳角三角形內角和是180°。

師：延續生5的方法，把2個同樣大小的鈍角三角形拼在一起，也能得到一個平行四邊形。把平行四邊形變成長方形后，觀察角的位置，有什么發現？

生6：和銳角三角形一樣，拼成了一個平角，推算出鈍角三角形內角和是180°。

師：有沒有用其他方法或得到其他結果的？之前大家給出了4種方法，為什么這里只用到撕拼和推算呢？

生7：我覺得這樣比較準確，另外兩種方法都容易產生誤差。

師：大家得到的結論是什么？

生（齊）：任意三角形內角和一樣大。

師：有同學一開始猜想的不對，但通過驗證找到了正確結論，這就是“失敗乃成功之母”。只要大膽猜想、小心求證，就會有成長、有進步，直至獲得成功。

在“避免或減少誤差”的要求下，學生自主選擇驗證方法，體現了優化思想。在“將平行四邊形轉化成長方形”的表達中，因為時間關系，學生只推算了銳角三角形的情況，教師不動聲色地引導學生完成鈍角三角形的推算，讓驗證過程不遺漏，交流過程更完善，產生的結論更有說服力。在這個過程中，積極中肯的評價讓每個學生都能找到自己的亮點和成長點。

三、對話反思，以辯立學

師：學習到這里，你有什么收獲？

生1：我知道“不管是哪種形狀的三角形，內角和都是180°”。

生2：鈍角三角形、銳角三角形、直角三角形的內角和一樣大，都是180°。

師：誰能表述得更簡潔一些？

生3：三角形內角和是180°。

生4：三角形內角和等于180°。

師：在“猜想—驗證”的探索過程中，你有什么學習感受或心得？

生5：我覺得要盡量減少誤差，不然就得不到正確的結論。

生6：我覺得“轉化”很重要，任何平行四邊形都可以轉化成長方形。

師：看來大家雖然有共同的結論，但是對結論的獲得有著各自的體會和思考。只要是科學的、帶著我們走向正確結論的方法，我們都予以支持。

通過反思，學生能夠及時梳理新知，學會用確的語言描述三角形內角和的性質，加深對驗證方法的思考，對不同方法能夠包容和理解。

四、拓展探究，以用成學

師：沿一塊三角形紙板上任意直線剪一刀，剩下紙板的內角和是多少度？先猜想，然后動手操作驗證。小組之間可以互相交流，看看你們的想法是不是一樣。

生1（出示圖2）：我是這樣剪的。剪后剩下的紙板是一個三角形，它的內角和是180°。

生2（出示圖3）：我剪掉了一個角，剩下的紙板是一個四邊形，它的內角和是360°。

師：你是怎么知道的呢？

生2：我把這個四邊形折了一下，得到2個三角形。一個三角形內角和是180°，2個三角形的內角和就是360°。

師：活學活用，能利用“轉化”把四邊形轉化成三角形再推算。

師（出示五邊形和六邊形）：它們的內角和分別是多少？獨立思考后再小組交流。

生3（出示圖4-1、4-2）：五邊形可以轉化成3個三角形，內角和是180°×3=540°；六邊形可以轉化成4個三角形，內角和是180°×4=720°。?

師（出示圖5）：從這些內容中你有什么發現？

生4：它們的內角和依次增加180°。

生5：圖形每增加一條邊，圖形的內角和就增加180°。

生6：它們的內角和都是180°的倍數。

師（出示圖6）：同學們不僅能橫向觀察，還能縱向比較。當邊數是4的時候，內角和是360°，即2個180°；當邊數是5的時候，內角和是3個180°……

生7：我發現180°的數量總比邊數少2。

生8：圖形能分成幾個三角形，該圖形內角和就是180°乘幾。

生9：我發現圖形內角和等于“（邊數-2）×180°”，比如三角形的內角和是“（3-2）× 180°”。

師：九邊形的內角和是多少？為什么？

生10：九邊形內角和是“（9-2）×180°=1260°”。

師：大家可以再任選一個圖形來驗證，小組間互相交流后用一句話總結你們的發現。

生11：任意一個圖形的內角和都是“（邊數-2）×180°”。

生12：如果是平面圖形，那這個平面圖形的內角和是“（邊數-2）×180°”。

生13：不管這個圖形有多少條邊，都可以用字母a表示它的邊數，那a邊形的內角和是“（a-2）×180°”。

師：規律越辯越明。通過觀察、推理、辨析，大家不僅發現了規律，還用數學語言表示了規律，很有數學家的風范！

通過對四邊形、五邊形等圖形的不斷轉化，從單純的圖形計算到深入的規律發現，學生在板書引導、觀察辨析和猜想驗證中逐漸發現多邊形內角和與邊數之間的規律。

五、融會貫通，以融創學

師（出示圖7）：完成一個填空計1顆星，請大家估一估自己能獲幾顆星。

生1：我覺得我能獲6顆星。因為我知道三角形內角和等于180°，也能看出第2題涂色圖形的內角和分別是360°、180°和180°，還會計算∠C是45°，也能推算出十二邊形內角和是1800°。

生2：生1只能得5顆星，因為第3題∠C=180°-90°-35°=55°，他算成45°，算錯了。

師：看來只知道方法但計算不對也會影響星級評定。

生3：解第3題時不用拿180°去減，用“90°-35°”就能得到55°。

師：大家同意嗎？

生4：同意。因為180°-90°=90°。直角三角形里已經有1個90°了，∠A和∠C的和肯定是90°。

師：你不僅會計算，還能想辦法巧算，得在6顆星上再加1顆智慧星。

教師將本課學習內容與知識技能目標融合在一起，根據知道、理解、掌握、應用層級設置相應的練習，學生在“爭星”過程中自己發現、評估“知與不知”，能夠反思、改進自己的學習。

【教學反思】

審辯式學習致力于實現數學學科育人的核心價值——大力發展學生的思維能力，倡導基于問題的學習，鼓勵學習者通過自問、對問等方式，在獨立自主的個體探索和合作共享的小組探究中大膽猜測、積極發現、深入感悟，從而形成理性思維和科學精神。

一、問題引領，關注探索

教師提出的問題層層深入，不僅指向探索與發現，還具有一定的開放性：所有直角三角形內角和都是180°嗎？你怎樣驗證自己的猜想？所有三角形內角和都是180°嗎？多邊形的內角和有什么規律……問題的解決過程基本遵循“猜想—驗證”的原則，每個學生從思維動起來到行為做起來、講出來、辯起來，從已有知識出發到發現、感悟三角形內角和性質及多邊形內角和規律，在自主辨析和驗證猜想的過程中不斷豐富、調整認知結構，享受探索的快樂。

二、鼓勵質疑，真實審辯

北京語言大學心理學院博士生導師謝小慶教授認為，審辯式思維接受多種價值并存的可能性，在堅持自己“真理”的同時也包容別人的“真理”。本課中，對于同學的觀點，學生能夠基于理性提出質疑，例如有學生介紹“折拼”方法時，另一學生提出質疑：“我也折過，發現拼的時候很容易有空隙，這樣就不能確定是不是拼成了平角。”學生還對每個結論的獲得都講求證據，以及包容同學的不同意見：不管是不同三角形內角和排序不同，還是驗證方法不同，抑或是結論表達語言不一樣，學生都盡量在理解對方的基礎上闡述自己觀點，使課堂真正成為思維碰撞的學堂。

三、滲透思想，重視反思

轉化思想貫穿學習全過程。長方形與直角三角形的相互轉化、三角形的內角轉化成平角、不同多邊形轉化成多個三角形等，“轉化—推理—發現”成了學生獲得知識與方法的最佳途徑。同時，教師重視反思，每次探索完成后都引導學生梳理結論、感悟過程，從知識技能到思考方法、情感態度，使得學生在反思中掌握學習方法，增強學習自信。

總之，審辯式學習立足于學生個性的特點和學習心理，精心設計開放或半開放問題，鼓勵學生自主嘗試、合作探究及大膽質疑、論證反思，進而獲得高階思維體驗，為培養學生的審辯式思維及適應未來的發展奠定堅實基礎。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 穆傳慧.審辯式學習：價值、內涵與基本環節[J].小學教學參考，2023（8）：1-6.

[2] 穆傳慧.審辯式思維：審辯式學習的中國邏輯表達[J].小學教學參考，2023（11）：1-5.