形狀記憶合金變截面梁的相變力學行為分析

楊靜寧, 韋子豐, 盧鏡宇, 王 鵬

(蘭州理工大學 理學院, 蘭州 730050)

形狀記憶合金(SMA)是由兩種或兩種以上的金屬元素復合而成的新型智能材料, 具有獨特的超彈性和形狀記憶效應, 且耐腐蝕、 抗疲勞和阻尼性較好[1]. 形狀記憶合金在生物醫療、 航空航天工業和建筑結構等領域應用廣泛[2-3].

目前, 研究人員對SMA材料的彎曲變形特性進行了研究. Flor等[4]在NiTi記憶合金絲彎曲實驗的基礎上, 分析了NiTi形狀記憶合金絲在整個轉變溫度范圍內的彎曲行為; Eshghinejad等[5]研究了橫截面上應變呈線性分布的SMA懸臂梁在集中載荷作用下的變形特性; Auricchio等[6]基于SMA超彈性行為的一維模型推導出馬氏體體積分數變化的演化方程; Brinson[7]研究了相變過程中的馬氏體體積分數, 其中一部分馬氏體相變由應力所致, 另一部分由溫度所致; Shaw[8]通過具有超彈性和形狀記憶效應的一維本構模型, 證明馬氏體相變的不穩定性是由應變梯度效應所致; Raniecki等[9-10]描述了SMA超彈性的本構模型, 并研究了加載和卸載時超彈性對梁的彎曲行為影響, 通過研究拉壓不對稱性和相變屈服面, 得到馬氏體體積分數在梁截面上的分布規律; Qidwai等[11]基于不同相變方程得到不同的本構模型; 周博等[12]分析和描述了SMA螺旋彈簧簧絲橫截面的應變和應力分布規律, 推導出SMA螺旋彈簧相變臨界參數的計算公式; 商澤進等[13]通過實驗數據得到了SMA材料基于梁的大變形理論下應力應變關系; Rejzner等[14]研究了拉壓不對稱性對梁的相變行為影響; Chen等[15]通過分子動力學(MD)模擬研究了單晶和納米晶NiTi形狀記憶合金(SMAs)的拉伸-壓縮不對稱性; 崔世堂等[16]研究了在拉壓不對稱系數影響下形狀記憶合金純彎曲梁的力學性能; 楊靜寧等[17]研究了拉壓不對稱系數對熱-機載荷作用下形狀記憶合金純彎曲梁的影響; 考慮到拉壓不對稱性, Bouvet等[18]分別用兩種不同的相變屈服面描述馬氏體正相變和逆相變, 利用應力的第二和第三不變量定義相變屈服面, 得到了三維本構模型; 薛立軍等[19]研究了一種由形狀記憶合金和功能梯度材料按不同比例結合形成的新型復合材料; 韓悌信等[20]對NiTi形狀記憶合金設計了動態情況下的三點彎曲實驗, 研究了NiTi形狀記憶合金的彎曲變形, 得到了TiNi合金的靜態和動態情況下應力-應變曲線異于普通金屬的結論.

目前, 對形狀記憶合金梁的力學性能研究較多, 但對SMA變截面梁的研究較少. 在實際工程中, 為減輕結構質量或滿足生產需要, 一些桿件經常采用變截面. 本文用分階段分步驟方法分析相變過程, 研究SMA變截面梁在相變過程中機械載荷、 變截面系數和拉壓不對稱系數對中性軸位移、 曲率和相邊界的影響.

1 SMA梁的非線性變形

1.1 幾何模型

SMA變截面梁的幾何模型如圖1所示. 任意截面高度H(x)=λx+h0, 其中λ為變截面系數.

圖1 SMA變截面梁的幾何模型Fig.1 Geometric model of SMA variable cross section beam

1.2 本構模型

形狀記憶合金材料的簡化本構模型如圖2所示[13], 其中σts和σtf分別為受拉側相變開始和結束時的臨界應力,σcs和σcf分別為受壓側相變開始和結束時的臨界應力,εts和εtf分別為受拉側相變開始和結束時的臨界應變,εcs和εcf分別為受壓側相變開始和結束時的臨界應變, Δεt為相變平臺段.

圖2 形狀記憶合金的簡化本構模型Fig.2 Simplified constitutive model for shape memory alloys

根據連續介質力學, 截面變形始終滿足平面假設, 梁截面上的應變沿截面高度呈線性分布, 梁的軸向應變為

(1)

其中yi表示中性軸位置,ρ表示曲率半徑.

1.3 拉壓不對稱系數

考慮到SMA變截面梁在彎曲變形過程中的非對稱性, 特引入拉壓不對稱系數[21]

(2)

由計算可得

(3)

1.4 本構關系

隨著彎矩的增大, 形狀記憶合金變截面梁將經歷一個由彈性變形到相變階段的變形過程. 其中εt表示受拉側的表層應變,εc表示受壓側的表層應變. 由平面假設可知, 在受載過程中相變首先發生在表層, 其相變過程分為Ⅰ～Ⅳ階段.

1.4.1 初始階段(εt<εts)

在初始階段, 梁的整個截面均未發生相變, 材料全部為奧氏體相, 中性軸未偏移, 截面上的應力為

(4)

其中EA為奧氏體彈性模量,y0表示中性軸初始位置,y表示截面上點的位置.

1.4.2 相變階段(εt≥εts)

隨著應變逐漸增大并達到一定值時, 中性軸產生偏移, 梁的截面發生相變.任意截面及其微段的變形如圖3所示, 其中A表示奧氏體相, M表示馬氏體相, AM表示混合相. 當|εc|≤εcs,εts≤εt≤εtf時, 受拉側出現混合相, 受壓側尚未發生相變, 奧氏體相與混合相形成相邊界BTA, 進入Ⅰ階相變, 如圖3(A)所示, 截面上應力為

(5)

當εcs≤|εc|≤εcf,εts≤εt≤εtf時, 受壓側表層開始發生相變并出現混合相, 受壓側混合相與奧氏體相形成相邊界BCA, 進入Ⅱ階相變, 如圖3(B)所示, 截面上應力為

(6)

當εcs≤|εc|≤εcf,εtf≤εt時, 受拉側表層應變εt超過受拉側相變結束臨界應變εtf, 受拉側表層出現馬氏體相, 而受壓側表層仍處于混合相, 受拉側混合相與馬氏體相形成相邊界BTM, 如圖3(C)所示, 進入Ⅲ階相變, 截面上應力為

(7)

當εcf≤|εc|,εtf≤εt時, 受壓側表層應變εc超過受壓側相變結束臨界應變εcf, 受壓側表層出現馬氏體相, 受壓側混合相和馬氏體相形成相邊界BCM, 進入Ⅳ階相變, 如圖3(D)所示, 截面上應力為

(8)

其中yi(i=Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ)表示不同階段截面上中性軸位置, Δh=yi-y0表示中性軸位移, 相邊界A1A,B1B,C1C和D1D的坐標可分別為yA1A=yi-εtsρ,yB1B=yi+εcsρ,yC1C=yi-εtfρ,yD1D=yi+εcfρ.

1.5 內力方程

設任意截面上的彎矩為M(x).在初始階段, 梁的內力方程為

(9)

(10)

在Ⅰ階相變階段, 梁的內力方程為

(11)

(12)

在Ⅱ階相變階段, 梁的內力方程為

在Ⅲ階相變階段, 梁的內力方程為

在Ⅳ階相變階段, 梁的內力方程為

2 結果與討論

設SMA變截面梁長l=200 nm, 截面寬b=8 mm, 梁高h0=6 mm,h1=λl+h0, 受集中載荷F作用, 幾何模型如圖1所示.TiNi合金材料成分為Ti50.9Ni, 材料相關參數[17]分別為

EA=62 GPa,EM=62 GPa,E1=4.5 GPa,σts=465 MPa,σtf=645 MPa, Δεt=0.04.

2.1 有限元對比

為驗證本文結果的可靠性和理論的正確性, 對圖1所示的幾何模型用有限元方法和本文的理論分析方法[17]分別對x=50,100,150 mm 3個截面處應力進行計算. 利用有限元軟件ABAQUS建立計算模型, 選用C3D8R單元, 網格劃分的精度為1 mm. 當F=250 N時, 應力隨梁截面高度分布如圖4所示, 其中圖4(A)為初始階段, 圖4(B)和圖4(C)均為相變階段. 由圖4可見, 截面越靠近端部, 數據越理想, 理論結果與有限元結果總體上吻合良好.

圖4 應力隨截面高度的分布 Fig.4 Distribution of stress with cross section height

2.2 橫截面應力分布

圖5為x=100 mm處橫截面的應力分布. 由圖5(A)可見: 當拉壓不對稱系數α=0時, 拉壓兩側應力呈對稱分布; 拉壓不對稱系數越大, 受壓側同一高度混合相處的應力越大, 奧氏體相處的應力越小; 拉壓不對稱系數對受壓側影響大于受拉側. 由圖5(B)可見, 變截面系數對受拉側和受壓側的影響均較大, 且變截面系數越大, 截面混合相所占比例越大, 同一高度處應力也越大.

圖5 截面上的應力分布Fig.5 Stress distribution on cross sections

2.3 中性軸位移

中性軸位移和截面位置的關系如圖6所示. 進入相變階段后, 載荷和變截面系數對中性軸位移影響較大.由圖6(A)可見, 隨著載荷的增大, 中性軸位移最大值的截面位置越靠近梁中間截面, 在梁彎矩較小截面處, 中性軸向受壓側偏移, 在梁彎矩較大截面處, 中性軸向受拉側偏移. 由圖6(B)可見, 拉壓不對稱系數導致中性軸產生位移, 拉壓不對稱系數變大, 中性軸的偏移量增大, 與文獻[16]結果相符. 由圖6(C)可見, 改變變截面系數對梁兩端的影響較小, 在相變階段, 中性軸位移的最大值隨變截面系數的增大而減小, 變截面系數越大, 中性軸位移最大值的截面也越靠近中間截面.

圖6 中性軸位移和截面位置的關系 Fig.6 Relationship between neutral axis displacement and cross section position

2.4 曲 率

曲率和截面位置的關系如圖7所示. 進入相變階段后, 載荷和變截面系數對曲率影響較大. 由圖7(A)可見, 曲率的最大值隨集中載荷的增大而增大, 在相變階段, 載荷對曲率的影響比初始階段更明顯. 由圖7(B)可見, 在初始階段, 改變拉壓不對稱系數對曲率影響較小, 但在相變階段影響較大. 由圖7(C)可見, 改變變截面系數對梁兩端曲率的影響較小, 而對梁中間部分截面影響較大, 在同一截面, 變截面系數越大, 曲率越大.

2.5 相邊界

相邊界和截面位置的關系如圖8所示. 在相變階段, 載荷和變截面系數對相邊界影響較大, 拉壓不對稱系數對受拉側相邊界的影響較小.

由圖8(A)可見: 隨著集中載荷的增大, 馬氏體部分由梁根部逐漸向梁中部擴散; 混合相和奧氏體的相邊界與馬氏體和混合相的相邊界整體向梁受載小的部分移動. 由圖8(B)可見, 增大拉壓不對稱系數對受拉側影響較小, 但受壓側奧氏體和混合相的相邊界逐漸靠近梁受載大的部分. 由圖8(C)可見, 隨著變截面系數的增大, 奧氏體和混合相相邊界與混合相和馬氏體相邊界整體向梁端部移動, 且影響較大.

綜上, 本文在考慮拉壓不對稱性的基礎上得到了梁截面上應力的解析表達式, 通過有限元計算驗證了本文理論計算方法的可靠性, 并討論了變截面系數對中性軸位移、 曲率和相邊界的影響, 得到如下結論:

1) 在相變階段, 載荷越大, 中性軸位移最大值的截面位置越靠近梁中間截面; 中性軸位移隨拉壓不對稱系數的增大而增大; 中性軸位移的最大值隨變截面系數的增大而減小, 變截面系數越大, 中性軸位移最大值的截面越靠近中間截面.

2) 在梁載荷較小的部分, 變截面系數和拉壓不對稱系數對中性軸、 曲率和相邊界的影響較小; 在梁載荷較大的部分, 梁進入相變階段, 曲率在彎矩最大值處達到最大值, 且曲率的變化量隨載荷的增大而增大.

3) 載荷和變截面系數越大, 相邊界越遠離截面邊緣; 拉壓不對稱系數越大, 受壓側越不易發生相變, 但對受拉側影響較小.