帶有相依稀疏算子的一階隨機(jī)系數(shù)二項(xiàng)自回歸模型

邰志艷, 王佳聰, 楊 凱, 張 潔

(長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130012)

0 引 言

α◇θX=U1+U2+…+UX,

其中Ui=ViZ, 且非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量X與{Ui,i∈+}相互獨(dú)立, {Vi,i∈+}是獨(dú)立同分布的、 以θ∈(0,1)為參數(shù)的Bernoulli隨機(jī)變量序列,Z是服從參數(shù)為的Bernoulli分布的隨機(jī)變量, 且0<α≤θ<1.Zhang等[5]將“◇θ”算子應(yīng)用到BAR(1)模型中, 建立了帶有可替代相依稀疏算子的一階二項(xiàng)自回歸(ADCBAR(1))模型. 上述模型的稀疏參數(shù)均固定不變, 但在實(shí)際問(wèn)題中, 稀疏參數(shù)有時(shí)會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化. 為體現(xiàn)參數(shù)的動(dòng)態(tài)變化性, Zheng等[6]將INAR(1)模型推廣到隨機(jī)系數(shù)情形, 建立了一階隨機(jī)系數(shù)整數(shù)值自回歸(RCINAR(1))模型; Yang等[7]提出了由Logistic回歸驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)系數(shù)整數(shù)值門(mén)限自回歸(RCTINAR(1)-X)模型; 張睿[8]提出了協(xié)變量驅(qū)動(dòng)的二項(xiàng)自回歸(BAR(1)-X)模型. 本文針對(duì)有限范圍內(nèi)存在相依性及零堆積性質(zhì)的整數(shù)值時(shí)間序列數(shù)據(jù), 在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上, 考慮將ADCBAR(1)模型推廣到隨機(jī)系數(shù)情形, 并給出其相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)推斷.

1 模型定義和性質(zhì)

1.1 模型建立

定義1設(shè){Xt}是取值于非負(fù)整數(shù)集的時(shí)間序列, 若滿足以下方程:

Xt=αt◇θXt-1+βt◇θ(n-Xt-1),

(1)

RCADCBAR(1)模型的轉(zhuǎn)移概率為

其中k和l分別為t和t-1時(shí)刻的狀態(tài),IA是條件A的示性函數(shù), 即當(dāng)滿足條件A時(shí)IA=1, 否則IA=0.

1.2 RCADCBAR(1)模型的概率統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

命題1由式(1)定義的RCADCBAR(1)過(guò)程是遍歷的, 且有唯一的平穩(wěn)分布.

證明: 由式(1)可知RCADCBAR(1)過(guò)程{Xt}是狀態(tài)空間I={0,1,…,n}上的Markov鏈.RCADCBAR(1)過(guò)程的轉(zhuǎn)移概率Pk|l恒大于0, 即{Xt}是一個(gè)不可約且非周期的Markov鏈.又因?yàn)镮是一個(gè)有限集合, 因此式(1)是正常返的, 從而由文獻(xiàn)[9]中定理4.3.3可知, RCADCBAR(1)過(guò)程(1)是遍歷的, 并存在唯一的平穩(wěn)分布.

命題2設(shè){Xt}是模型(1)的平穩(wěn)解, 則對(duì)于t≥1, 有:

1)E(Xt|Xt-1)=(a-b)θXt-1+nbθ;

證明: 只需證3).因?yàn)?/p>

Var(Xt|Xt-1)=Eat,bt(Var(Xt|Xt-1,at,bt))+Varat,bt(E(Xt|Xt-1,at,bt)),

E(Xt|Xt-1,at,bt)=atθXt-1+btθ(n-Xt-1),

所以

從而可得3)的表達(dá)式.

2 參數(shù)估計(jì)

假設(shè)at～Beta(a1,b1),bt～Beta(a2,b2), 則可得模型的轉(zhuǎn)移概率為

在進(jìn)行舊建筑風(fēng)格的設(shè)計(jì)師時(shí)要貫徹整體性原則，按城市規(guī)劃的要求進(jìn)行宏觀控制，使建筑設(shè)施和其周?chē)沫h(huán)境保持高度的一致。除建筑風(fēng)格保持統(tǒng)一外，尚應(yīng)考慮在色彩方面的統(tǒng)一、呼應(yīng)。各單體建筑具有自身的特點(diǎn)，應(yīng)按照單體符合總體的要求開(kāi)展設(shè)計(jì)，把單體建筑放在共性的框架之中，彰顯出既有個(gè)性，又有統(tǒng)一的設(shè)計(jì)特征。

(2)

(3)

其中η0為參數(shù)真值,I(η)為Fisher信息陣.

證明: 只需驗(yàn)證文獻(xiàn)[10]中條件5.1是否成立:

(i) 令(k,l)∈I, 使得Pk|l(η)>0且不依賴于參數(shù)η;

(ii) 每個(gè)轉(zhuǎn)移概率Pk|l(η)在參數(shù)空間Θ上都具有連續(xù)的三階偏導(dǎo)數(shù);

(iv) 對(duì)任意的η∈Θ, 只存在一個(gè)遍歷集且不存在瞬時(shí)狀態(tài).

RCADCBAR(1)過(guò)程的狀態(tài)空間I是一個(gè)有限集, 因此對(duì)?k,l∈I, 恒有轉(zhuǎn)移概率Pk|l>0, 則條件(i)和(iv)成立.注意到Pk|l是關(guān)于η的多項(xiàng)式, 關(guān)于參數(shù)的偏導(dǎo)到任意階都存在且連續(xù), 則條件(ii)成立.此外, 轉(zhuǎn)移矩陣不可約, 不失一般性, 下面假設(shè)n>4.由條件(iii)可知, 只需找到一個(gè)w×w階方陣, 證明其滿秩即可.通過(guò)計(jì)算可知, 矩陣

的行列式不為零, 即該矩陣是可逆的, 因此條件(iii)成立, 其中

綜上可知, 文獻(xiàn)[10]中的條件5.1成立, 因此定理1得證.

3 數(shù)值模擬

選取下列3組不同的參數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬, 分別取樣本量T=100,200,300,500:

1) (n,a1,b1,a2,b2,θ)=(10,0.8,0.1,0.2,0.6,0.85);

2) (n,a1,b1,a2,b2,θ)=(7,0.9,0.3,0.1,0.7,0.9);

3) (n,a1,b1,a2,b2,θ)=(5,0.2,0.7,0.8,0.1,0.7).

圖1為RCADCBAR(1)模型在上述3組不同參數(shù)下樣本量T=200時(shí)的樣本路徑圖及自相關(guān)函數(shù)(ACF)圖. 由樣本路徑圖可見(jiàn), 3個(gè)序列均為平穩(wěn)序列并具有零堆積的性質(zhì). 由ACF圖易見(jiàn), 本文模型不僅能刻畫(huà)正相關(guān)數(shù)據(jù), 對(duì)負(fù)相關(guān)數(shù)據(jù)同樣適用. 對(duì)于每個(gè)參數(shù)組合, 在R軟件環(huán)境下進(jìn)行1 000次重復(fù)試驗(yàn), 分別計(jì)算其偏差(Bias)和均方誤差(MSE), 模擬結(jié)果列于表1. 由表1可見(jiàn), 隨著樣本量的增大, 估計(jì)值的偏差和均方誤差均逐漸減小, 估計(jì)值逐漸收斂到真實(shí)參數(shù), 表明估計(jì)的效果越來(lái)越好, 同時(shí)驗(yàn)證了條件最大似然估計(jì)的相合性和有效性.

表1 不同樣本量下3組參數(shù)的估計(jì)結(jié)果Table 1 Estimated results of three groups of parameters with different sample sizes

圖1 3組參數(shù)下的樣本路徑圖及ACF圖Fig.1 Sample paths and ACF diagrams under three groups of parameters

4 實(shí)例分析

本文將RCADCBAR(1)模型應(yīng)用于南京2015年1月到2020年12月每周下雨天數(shù)數(shù)據(jù)集中(數(shù)據(jù)來(lái)源于https://lishi.tianqi.com). 該數(shù)據(jù)集上限n=7, 包含T=312個(gè)觀測(cè)值, 樣本均值和方差分別為1.705和2.569.

圖2為數(shù)據(jù)集的路徑圖、 ACF圖及偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)圖. 由路徑圖可見(jiàn), 數(shù)據(jù)中包含較多的零數(shù)據(jù), 由ACF圖可見(jiàn), 數(shù)據(jù)集具有自相關(guān)特征. 本文將RCADCBAR(1)模型與ADCBAR(1)模型[5]、 BAR(1)模型[11]及零膨脹模型[12]進(jìn)行比較, 結(jié)果列于表2. 由表2可見(jiàn), RCADCBAR(1)模型與ADCBAR(1)模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)值近似相等, 由于RCADCBAR(1)模型的參數(shù)個(gè)數(shù)比ADCBAR(1)模型多, 因此其AIC(Akaike information criterion)與ADCBAR(1)模型的AIC有些差距, 但兩者的AIC均小于BAR(1)和ZT0-BAR(1)模型. 且RCADCBAR(1)模型的均方根(RMS)小于其他模型的RMS, 因此RCADCBAR(1)模型擬合效果相對(duì)較好. 本文對(duì)ADCBAR(1)模型的隨機(jī)系數(shù)推廣有意義, 它能更好地刻畫(huà)個(gè)體之間具有相依性的有上限零堆積整數(shù)值時(shí)間序列的數(shù)據(jù).

表2 不同模型對(duì)南京2015-01—2020-12每周下雨天數(shù)數(shù)據(jù)集的擬合結(jié)果比較Table 2 Fitting results comparison of different models on dataset of weekly rainy days in Nanjing from 2015-01 to 2020-12

圖2 南京2015-01—2020-12每周下雨天數(shù)數(shù)據(jù)集的樣本路徑圖、 ACF圖和PACF圖Fig.2 Sample paths, ACF and PACF diagrams of dataset of weekly rainy days in Nanjing from 2015-01 to 2020-12