兩類Heisenberg李超代數的標準上同調

江 薇, 遠繼霞

(黑龍江大學 數學科學學院, 哈爾濱 150080)

李超代數是李代數的自然推廣, 廣泛應用于數學和物理學的研究中. 目前, 關于上同調群的研究也備受關注. 文獻[1]給出了李代數的標準復形; 文獻[2]給出了有限群計算上同調的方法并對其舉例說明; 文獻[3]計算了李超代數系數取自平凡模的上同調; 文獻[4]在李超代數上同調的基礎上計算了李超代數相對上同調; 文獻[5]給出了Heisenberg李超代數的相關結論; 文獻[6]提出了混合上同調理論并在此基礎上計算了glm|n的混合上同調.

Heisenberg李代數是一類重要的代數, 該代數及其表示論在Kac-Moody代數和物理學等領域應用廣泛. 為研究物理學中的超對稱性問題, 人們將Heisenberg李代數推廣到Heisenberg李超代數, 并對其結構、 表示、 同調等理論進行了研究[7-11].

本文計算4維偶中心Heisenberg李超代數與3維奇中心Heisenberg李超代數系數取自1維平凡模的標準上同調. 首先, 計算兩類Heisenberg李超代數上同調的微分算子; 其次, 計算這兩類Heisenberg李超代數的標準上同調, 并得到其基底與維數.

1 預備知識

其中α∈2.則Hom(V,W)和V?W均為超空間.定義映射:

τV,W:V?WW?V,

定義1[6]設D是V的一個子超空間, 且

Λ={i|1≤i≤m}∪{m+j|1≤j≤n},

且有

其中A∈g.設{Xa|a∈Λ}為Πg*關于{Ea|a∈Λ}的對偶基.定義映射Γ:

Γ: g→Der(S(Πg*)),

定義2[12]設

其中Γa=Γ(Ea), 驗證可得δ2=0, 于是有如下微分復形:

2 h2,1的標準上同調

設Λ(ξ1,ξ2,…,ξn)是具有n個變元ξ1,ξ2,…,ξn的外代數.設X1,…,X4是E1,…,E4的對偶基, ?i是Xi對應的導子, 其中i=1,2,3,4.為方便, 給出C0(h2,1,)及其元素v的形式:

C0(h2,1,)?[X1]?Λ(X2,X3,X4)?.

令t∈,s=(s1,s2,s3), 其中si∈{0,1},i=1,2,3.C0(h2,1,)中的任意元素v都可寫成如下形式:

定理1h2,1系數取自1維平凡模的標準上同調為

該標準上同調的基底為{1,X3,X4,X3X4,X1,X1X3,X1X4,X1X3X4}, 維數為8維.

首先, 證明

Kerδ1=[X1]?Λ(X3,X4)?.

(2)

通過計算知“?”顯然成立, 下面證明“?”成立.設v∈Kerδ1, 則δ1(v)=0.由式(1)可知, 對任意的t, 當t≥0時均有v(t(1,s2,s3))=0成立, 其中s2,s3∈{0,1}, 從而

即式(2)成立.

其次, 證明

由式(1)可知

其中s2,s3∈{0,1},t∈,a∈, 從而

因此

證畢.

3 ba1的標準上同調

設Y1,…,Y3是F1,…,F3的對偶基, ?i是Fi對應的導子, 其中i=1,2,3.為方便, 給出C0(ba1,)及其元素v的形式:

C0(ba1,)?[Y1,Y2]?Λ(Y3)?.

令t=(t1,t2),t∈2,s∈{0,1}.C0(ba1,)中的任意元素v均可寫成如下形式:

由計算可得ba1上同調的微分算子為δ2=-Y2Y3?1?1.下面計算ba1系數取自1維平凡模的標準上同調.

定理2ba1系數取自1維平凡模的標準上同調為

(3)

首先, 證明

Kerδ2=([Y1,Y2]?Y3⊕[Y2])?.

(4)

通過計算知“?”顯然成立, 下面證明“?”成立.設v∈Kerδ2, 則δ2(v)=0.由式(3)可知, 對任意的t1, 當t1≥1時均有v(t,0)=0成立, 從而

即式(4)成立.

其次, 證明

Imδ2=Y2[Y1,Y2]?Y3?.

由式(3)可知

δ2(Y(t,1)?a)=0,δ2(Y(t,0)?a)=-Y((t1-1,t2+1),1)?a,

其中t∈2,a∈, 從而

Imδ2=span{Y((t1-1,t2+1),1)?a|t1,t2∈,a∈}=Y2[Y1,Y2]?Y3?.

因此

證畢.