“僅用無刻度直尺作圖”課堂實踐例展與分析

? 甘肅省慶陽市正寧縣第四中學 李志明

無刻度直尺作圖是尺規作圖中的一種,有些省市的中考命題者對此十分青睞.然而,這一內容恰巧是學生的薄弱項,表現出了諸多不足,導致利用無刻度直尺作圖題的得分率整體偏低.為此,本文中首先呈現例題及其錯誤畫法,并在分析之后簡要說明無刻度直尺的工具屬性,最后通過呈現課堂教學片段的方式,和學生探究無刻度直尺作圖的方法.

1 例題及其錯誤畫法呈現

例題呈現如下:

如圖1所示,四邊形AOCB是⊙O內一菱形,且A,B,C都在圓上,請僅用無刻度直尺作出線段OA的中點.

圖1

本題圖形簡單,條件不多,要求也比較明確,難度較小,筆者預估學生完成的質量較高.但從學生的作圖來看,存在很多錯誤之處,下面展示幾種錯誤畫法(如圖2):

圖2

2 錯解分析

圖2中的四種錯解具有代表性.下面對這四種錯解進行分析.

圖2(1)雖關注到了可用無刻度直尺連接菱形AOCB的對角線構造出點D,但之后直接取OA的中點并連接DE,這正是錯誤之處.因為僅用無刻度直尺作圖時,無法直接且準確地取一條線段的中點,所以違背了無刻度直尺的工具屬性.

圖2(2)的畫法雖然簡單,但同樣違背了無刻度直尺的工具屬性.體現在兩個方面:首先,直接取BC的中點;其次,直接取OA的中點.

圖2(3)連接BO并延長與⊙O相交于點D,連接DA,作∠BDA的角平分線DE,與OA交于點F,與⊙O相交于點E.這種作法雖部分尊重了無刻度直尺的工具屬性,如“連接OB并延長與⊙O相交于點D”“連接DA”,但僅用無刻度直尺難以直接、準確地畫出一個角的角平分線.

圖2(4)延長CO與⊙O相交于點D,連接DA,連接BD,與OA相交于點E.這種作法雖然準確找到了OA的中點E,每一步操作也符合無刻度直尺的工具屬性,但存在多余的線段,應將DA刪除.

3 僅用無刻度直尺作圖的工具屬性說明

從上述四種錯解分析中可以看出,違反無刻度直尺的工具屬性最常見.那么,無刻度直尺的工具屬性有哪些呢?

首先,用無刻度直尺可連接點,如圖2(1)中連接CA,OB和圖2(4)中連接BD的操作步驟都利用了這一點.

其次,用無刻度直尺可將線段延長,如圖2(3)中“連接BO并延長與⊙O相交于點D”和圖2(4)中“延長CO與⊙O相交于點D”的操作步驟都利用了這一點.

也就是說,在僅用無刻度直尺作圖的情況下,只能進行連接點、延長等操作,不能直接利用無刻度直尺取線段中點、作角平分線、作平行線、作垂線等[1].

4 僅用無刻度直尺作圖課堂實踐

雖然當前的尺規作圖題無需寫出作圖步驟及證明過程,但這類題處處體現著數學學科特有的邏輯思維[2].那么,該如何引導學生去解決這類問題?下面,展示教學片段:

師:請同學們取出一張白紙,將之折疊再折疊使之成為一把“無刻度直尺”.

學生折紙.

設計意圖：長期以來,有刻度的直尺作圖給學生留下了極其深刻的印象.用白紙折出“無刻度直尺”,幫助學生脫離有刻度直尺的束縛,是正確利用無刻度直尺作圖的關鍵.

師:請問這樣的“直尺”有刻度嗎?

生:沒有.

師:利用它能否畫出一條直線或線段呢?請和同桌交流.

學生交流并分享.

生1:可以畫出直線,也可以畫出線段,還可以畫出射線.

師:請用你的“無刻度直尺”給所畫線段找出中點,可以嗎?

學生尋找并討論.

教師巡視并收集錯解,在白板上展示.

師:請看白板上展示的兩種作法,你認為它們正確嗎?

學生觀察并思考.

生2:我認為圖3的作法不正確.因為僅用無刻度直尺“找”不到它的中點.線段是由無數個點組成的,你怎么知道點O正好就是線段AB的中點呢?所以,我認為這種畫法不正確.

圖3

生3:我覺得圖4的作法也有問題.因為用無刻度直尺畫中間直線時,如何知道該直線恰好與線段AB互相垂直呢?

圖4

設計意圖：收集錯解并向學生展示,有利于學生發現問題、分析問題.借助錯解讓學生反思,更有利于學生形成批判性思維,甚至創造性思維.

師:分析得非常有道理.那么僅用無刻度直尺作圖時,到底能做什么呢?

生4:我認為可以連接點.

生5:我認為可以把線段向兩端延長.

…………

師:非常好.那么對于圖1,應如何利用無刻度直尺作圖呢?請思考.

生:(思考)

生6:首先可以把能連接的點用無刻度直尺連接起來,還可以延長線段.如圖2(1)中連接OB,CA,如圖2(3)中連接OB后延長BO與⊙O交于點D.

生7:線段延長后會產生新的點,這些新的點又可以連接.如圖2(4),延長CO,與⊙O交于點D,這個點D就是新產生的點,可以將這個點與其他點連接起來.

生8:我認為還有非常重要的一點,就是把多余的線段去掉,如圖2(4)中應該去掉線段AD.

師:大家說得非常好,生8補充得更好.所以,圖1中OA的中點可如圖5所示作圖.

圖5

綜上所述,在僅用無刻度直尺作圖時,一定要摒棄習慣思維對學生的影響,在明確無刻度直尺的工具屬性后,才能正確作圖.否則,極易出現文中展示的幾種錯誤.