數學史與初中數學教學的有機融合*

? 濟南大學數學科學學院 張 穎 李曉娜

數學學科是歷史上最悠久的學科之一,從古代的結繩計數到如今電子計算機的快速運算,從丈量田畝的唯一用途到如今滲透到各學科的廣泛理論,大量數學方法、數學思想的出現與發展,構成了絢麗多彩的數學史.只有深入了解數學的發展歷史才能更加全面地認識這門學科,才能更加透徹地厘清人類文明的發展史.

融合可以解釋為兩個不同的系統(群體)在經過一定的摩擦碰撞后融為一體,融合后二者會相互影響、相互促進.數學史與數學教育融合,就是指在一定的教育目標的指引下,將數學史合理地滲透到數學課堂中,更容易幫助學生理解數學概念、掌握數學思想方法等.數學史與數學教育的有機融合要根據數學學科本身的特點進行,融合后會產生數學學科固有的特征.如促進學生理解數學概念、數學命題等,幫助學生掌握數學獨有的思想方法,提升學生對數學學習的興趣.

1 數學史與教學有機融合的意義

陳省身先生曾經說過:“了解歷史的變化,是了解這門科學的一個步驟.”數學史為數學研究者、數學教師提供了邁向更高思維層次的階梯.在數學教學過程中滲透數學史,既能豐富課堂的文化內涵,又能提高學生的歷史涵養,因此全面了解數學史融入數學教育的價值是必要的.

作為一名中學數學教師,不僅要掌握詳細、全面的學科知識、教育學知識,還要掌握數學知識的發展背景、歷程,數學思想方法的形成、演變、發展過程等.數學涉及到的每一個知識點都是人類數千年思考與積累的結晶,數學中每一條定理、公理的出現在一定程度上都與社會生產生活密切相關.教師只有深入了解數學知識的起源、發展,才能將“活”的數學知識呈現給學生,加速學生對數學知識的理解,提高課堂教學效率.

數學史與數學教學融合,不僅能革新教師本身的知識體系、更新知識觀和教學觀,還能有效指導學生,讓學生體會數學知識產生、發展、修正、再發展的文化脈絡,體會數學在人類歷史發展進程中的重要作用.

2 數學史與數學教育融合的策略

2.1 教師方面

數學史是每一位數學教師的必備知識,因此,如何提高數學史素養是教師值得深入思考的問題.結合文獻閱讀與思考,筆者認為可采取以下措施:

(1)積極主動學習數學史知識,提升數學史素養

數學史素質的提升離不開數學史知識的學習、數學史教育價值的認識與補充、數學史應用能力的提升.教師在教學外的閑暇時間有意多讀一些數學史方面的著作與文章雜志;隨著信息時代的發現,無紙化閱讀、短視頻講解逐漸成為常態,因此還可以利用微信公眾號、視頻號等學習一些數學史方面的知識.另外,調整好學習心態,學會利用碎片化時間去吸收一些短小精悍的數學史知識.

(2)總結數學史融入數學課堂的案例,創建教學資源庫

親自設計完整的數學史融入教學的案例,能快速提升教師的數學史素養.但現實是殘酷的,一些數學教師并沒有積累足夠多的數學史知識,加上平時教學任務繁重,沒有足夠多的時間設計并實踐一個完整數學史融入教學的案例.因此,教師在教學過程中需多注意收集數學史知識,并總結數學史知識融入數學課堂教學的案例,使之形成一個較為完整且有待補充的教學資源庫.若將每個教師總結的數學史教學資源庫匯總起來,就會形成一個容量大、內容豐富的數學史教學資源總庫.因此,如何迅速設計出融合數學史知識的教學案例,并有意識地總結、歸納使之整理形成一個資源庫是各位一線教師以及研究者們值得深入思考的問題.

通過查閱、閱讀、分析文獻可知,關于案例庫建設的研究約五成集中于高等教育,且多應用于醫學;僅有4%的研究集中于中學教育,且多用于政治、英語與漢語言.關于數學教學資源庫建設的研究較少,關于數學史與數學教育融合案例庫建設的研究更需投入大量時間與精力.

數學史與數學教育融合案例庫的建設主要采用一個個有教學意義與育人意義的真實教學片段,要求既包含完整的教學對話,又包含案例的思考與補充.案例庫素材的來源廣泛,包含各級各類一線教師親身經歷的教學案例、重點教育期刊中的案例、網絡檢索得到的案例.案例入庫時,內容要做到完整準確,格式要做到規范統一,并設置一定的編號,便于后續檢索與修改[1].

例如,初一數學史與數學教育融合案例庫的建設可以按照如下方式進行:①按課本知識順序編號(順序與課本知識內容順序一致,便于快速檢索),如北師大版七年級下冊2.1有理數——湯斯達故事;②按數學史內容編號(該方式以數學史為線索提升教師的發散思維),如割補法——完全平方公式/勾股定理.

(3)積極參與并嘗試開展有關數學史知識的培訓或者課題研究項目

教師專業素質的提升離不開繼續教育和開展課題研究.有一些學校會進行有關數學史知識的培訓,要求教師積極參與并整理資料、總結經驗.但是,部分學校并沒有意識到開展數學史培訓的重要性.教師可通過深入了解數學史融入數學教育的價值,勇于提出自己的想法,積極申請有關數學史的課題研究項目.做好該項工作需做到:閱讀、整理、提供大量經典的數學史資料;把握最新發展方向并結合教學實踐給出研究主題;制定合理規范的評價標準;撰寫完整的項目申請書.

2.2 教學方面

數學史與數學教育融合的最佳途徑是課堂教學,具體來說就是將與課堂知識相關的數學史知識融入到課堂中.將數學史融入數學課堂要注意合理利用,不是為了講歷史故事而引入,而是追求歷史故事與數學知識的契合.用歷史故事解釋現實知識,重現歷史知識的發展與演變,為數學知識注入生命力,使數學概念、定理等通俗易懂,開發學生數學思維.數學史與數學教育的融合從宏觀上可分為直接融合法和間接融合法,下面展開詳細介紹.

(1)直接融合法

直接融合法是指將數學史直接呈現在學生面前,為學生提供生動的數學史材料.如通過以下方式將數學史直接融入課堂:

①介紹定理的發展過程.將多元的數學文化、數學發展史引入數學課堂中,首先引導學生學會欣賞多樣的數學文化,其次鼓勵學生從多方面考慮問題,最后借助數學史與數學課堂碰撞產生的奇妙火花,促進學生發展多元思維和創造性思維.豐富多彩的數學發展史會讓學生認識到,在不同文化的孕育下會產生不同的數學思想方法,進而認識到文化的多元性導致數學發展的多元化.

例如,勾股定理的證明可以追溯到我國數學家趙爽的弦圖證明法、古希臘數學家畢達哥拉斯的演繹法.通過歷史故事的講解,一方面加深學生對知識的理解,另一方面向學生展示數學的無窮魅力,增強學生學好數學的信心.

②介紹歷史上各種名題、悖論.中學數學課堂中常常會出現類似于題海戰術的機械訓練,耗盡了學生對數學學習產生的濃烈興趣,導致部分學生談數學色變,更不敢嘗試學好數學.著名教育心理學家布魯納認為對學習內容產生興趣是引起學生注意的最佳刺激.如果教師在教學中有意引入一些內涵豐富、生動形象的教學材料,如數學史知識,能大大提升數學課堂對學生的吸引力,進而激發學生對數學學習的信心,從根本上改變數學學習的態度.

例如,用尺規法無法完成的三大作圖難題、歐拉用一筆畫方法解決的哥尼斯堡七橋問題、引發第二次數學危機的貝克萊發難、引發第三次數學危機的羅素悖論等.讓學生清楚地認識到:問題是數學發展的心臟.每一個難題、每一個悖論的提出都是對數學發展的一次挑戰,需要數學家在原有的理論基礎上發現或者創造出能解決難題的理論或方法,從而促進數學理論的不斷完善,推動數學的發展.

(2)間接融合法

間接融合法不明確地講歷史,而是以歷史為線索展開教學,用歷史上總結出來的思想方法來啟示教學.該方法以歷史為背景、以數學家的角度、數學史的思想為依托讓學生經歷整個證明過程,使學生的思維得到質的飛躍.

例如,在研究三角形的內角和定理時,在課堂中首先要求學生在提前準備好的空白紙上用鉛筆和直尺畫出多個任意形狀的三角形,鍛煉學生動手能力,鼓勵學生用量角器量出已畫出三角形所有內角的大小,再自己探索三角形三個內角度數的數量關系并展開小組討論.學生會陸續得出結論:三角形的三個內角的度數和是180°.得到此結論后,拋磚引玉,提出問題:任意三角形的內角和都是180°嗎?大多數學生很快給出他們猜想的答案,并給出肯定的回答.接下來,引導學生驗證自己的猜想,在驗證的過程中讓學生學會推理論證等證明方法.通過教師的引導,學生動手在畫出的三角形中作平行線,借助平行線定理并利用等量代換驗證先前的猜想是正確的.回顧整個驗證的過程,實際上是讓學生自己經歷歸納結論、猜想結論、演繹結論的完整過程.

數學致力于研究現實世界抽象出的數量關系與空間形式,簡言之,數學致力于研究數與形的關系.數形結合思想是數學中常用且重要的一種思想方法,源于數與形之間的密切聯系與相互影響.著名數學家華羅庚先生對數形結合思想有著深刻的理解:“數缺形時少直觀,形少數時難入微,數形結合百般好,隔離分家萬事休.”這首詩將數與形之間的微妙關系展現得淋漓盡致.數形結合思想可以理解為將嚴謹抽象的數量關系與直觀明確的幾何圖形融為一體,以形助數、以數釋形.

例如,在學習“平面直角坐標系”這節課時,設計如下活動:根據給定坐標,繪出適宜的圖形;根據給定圖形,寫出準確的點的坐標.在學習的過程中向學生介紹笛卡兒坐標系以及笛卡兒在數學上做出的貢獻,以達到加深學生對數形結合思想理解的目的,同時提高學生對數學學習的興趣,增強學生的共情能力[2].

間接融合法對教師的要求很高,需要教師了解所學主題背后的歷史,理解知識點發展過程中的關鍵點、難點,重構知識點的發展環節,使之與課堂教學契合.但是,無論何種引入方式都要注意立足于學生的實際情況[3].

2.3 學生方面

教育的宗旨是培養人.要更好地實現數學史與課堂教學相融合,必須將落腳點放在學生本身,換句話說,教學要基于學生.但是教學仍需超越學生、讀懂學生、尊重學生,數學史的選擇與組織要符合學生的身心發展規律、認知水平和已有的知識經驗[4].

教師可從以下三方面定位學生已有的經驗:(1)關注學生學習的起點,換言之,關注學生對已學知識的掌握程度及對將要學習知識的了解程度;(2)關注學生學習過程中的困難點,有針對性地設置一堂課的重點教學環節;(3)關注學生的頓悟點,預設合適的教學環節,思考如何才能最大程度地啟發學生[5].

例如,“一次函數”第1課時引入環節中,介紹李善蘭(中國數學家)著作的發展歷程,了解函數二字的由來、意義,加深學生對函數概念、表示方法的理解.該設計既銜接了學生已掌握的知識、擴展了“函數”的內涵與外延,又契合了本堂課教學的重難點.數學史與教學過程的融合離不開學生本身的體驗與思考,如何落實以生為基、以史立人、研史促育,值得各位一線教師深入思考.

3 反思與展望

隨著素質教育的提出,數學史與數學教育的融合受到越來越多的關注,國內許多數學教育家發表了許多關于數學史與數學教育融合的論文,但是數學史與數學教學融合的具體教學案例不多,且沒有形成系統的案例庫.因此,需要教師結合數學史開展具體的教學設計,并在實踐中不斷修改與完善.