初中數(shù)學作業(yè)設計：原則、要素及路徑

●余小芬，郭潤，劉成龍

數(shù)學作業(yè)是指為完成數(shù)學教學任務，要求學生在課后開展的獨立完成的各種數(shù)學學習活動[1]。作業(yè)，作為課程改革的重要方面，是學生開展自主學習的重要過程，對增強學生的學習興趣，提高學生的元認知能力、專注力、時間管理能力等具有重要意義[2]。加強作業(yè)設計研究不僅是發(fā)展學生核心素養(yǎng)、診斷學生核心素養(yǎng)發(fā)展水平的重要抓手，也是有效落實“雙減”政策的關(guān)鍵所在。

一、初中數(shù)學作業(yè)設計原則

堅持全面發(fā)展、面向全體學生、聚焦素養(yǎng)發(fā)展、注重實踐創(chuàng)新是義務教育課程應遵循的基本原則。作業(yè)設計應以核心素養(yǎng)為導向，關(guān)注學生差異，體現(xiàn)學科本質(zhì)，幫助學生扎實“四基”、增強“四能”，形成正確的情感態(tài)度及價值觀。由此，確定初中數(shù)學作業(yè)設計的四個原則。

（一）針對性原則

針對性原則強調(diào)作業(yè)的設計必須基于數(shù)學學習內(nèi)容的知識內(nèi)核及學情狀況，這是保障作業(yè)質(zhì)量、控制作業(yè)時長的前提和基礎(chǔ)。第一，作業(yè)設計應指向教學內(nèi)容，體現(xiàn)學習重難點，能有效幫助學生扎實基礎(chǔ)知識、掌握基本技能。第二，作業(yè)設計要符合學生的年齡特征和認知水平，要能設計與學生思維水平、生活經(jīng)驗相吻合的問題情境或?qū)嵺`活動，以此發(fā)展學生的數(shù)學思考及應用能力。第三，針對不同課型，作業(yè)設計也要有所側(cè)重。例如，新授課的作業(yè)，強調(diào)對數(shù)學概念內(nèi)涵外延的鞏固認識，對數(shù)學定理、公式、法則的理解運用；針對復習課的作業(yè)，重視知識框架的梳理及綜合問題的解決。

（二）自主性原則

瑞士教育家皮亞杰指出，“學生認知能力不是從外部形成的，只能由學生自身的發(fā)展來決定。真正的學習并不是由教師向?qū)W生灌輸知識，而是出于學生本身的自發(fā)性和主動性”。章建躍博士也認為，“學習歸根到底是自己的事情，讓學生掌握數(shù)學學習方法，學會思考，進而學會學習，這是數(shù)學教學的最高境界”。尤其在科學技術(shù)日新月異的今天，教育給學生的影響，不僅是要讓他們習得一些事實性知識，更要幫助他們獲得自主學習的能力。自主性原則強調(diào)作業(yè)設計要能充分考慮學生數(shù)學學習經(jīng)歷和生活體驗，設計題型豐富、內(nèi)容有趣、形式新穎、結(jié)果開放的作業(yè)，最大限度地激發(fā)學生主動作業(yè)、高效作業(yè)的學習動機。

（三）差異性原則

教育要面向全體學生，尊重學生的差異性，教學中不能采用“一刀切”。同樣，作業(yè)設計也要關(guān)注學生的個體差異。作業(yè)難度要有梯度，內(nèi)容也要有區(qū)分，要增強作業(yè)的選擇性，體現(xiàn)作業(yè)的個性和彈性，讓“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”[3]，促進教育公平。當然，除了要考慮學生個體間的差異，也要突出學習目標的層次性和差異性，以此提高作業(yè)的有效性。比如，對同一數(shù)學知識的考查，可設計有差異的作業(yè)形式，在知識鞏固、能力考查、學情分析、檢測診斷等方面發(fā)揮不同作用。

（四）發(fā)展性原則

發(fā)展性原則既是作業(yè)設計的起點，又是作業(yè)設計的終點。發(fā)展性原則強調(diào)作業(yè)設計要著眼于學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展，著眼于學生未來發(fā)展。要用發(fā)展的眼光看待學生，要能充分挖掘?qū)W生的學習潛能。倡導通過項目式、探究式等作業(yè)，展現(xiàn)數(shù)學活動的多元性、開放性和實踐性，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，增強實踐創(chuàng)新、合作交流能力，形成“用數(shù)學”“做數(shù)學”的意識。

二、初中數(shù)學作業(yè)設計的要素

（一）符合學科學情的內(nèi)容

作業(yè)設計以具體教學內(nèi)容為載體，作業(yè)內(nèi)容的選取既要反映學科本質(zhì)，也要符合學生認知。首先，數(shù)學作業(yè)要基于課程目標，聚焦數(shù)學核心知識，滲透數(shù)學思想方法，圍繞數(shù)學問題展開設計，減少死記硬背、機械重復作業(yè)，引導學生把握學科本質(zhì)，形成學科思維。其次，作業(yè)設計要做好學情分析。所謂學情分析，是教師主動了解學生思想基礎(chǔ)和知識能力基礎(chǔ)的研究活動，是歷來數(shù)學教學中行之有效的經(jīng)驗[4]。正如奧蘇貝爾所指出的，“影響學生學習唯一重要因素就是學習者已經(jīng)知道了什么，要探明這一點，并以此進行教學”。只有了解學生的起點，才能更好把握作業(yè)難度、效度，發(fā)揮作業(yè)價值，引導學生從“最近發(fā)展區(qū)”向“現(xiàn)實發(fā)展區(qū)”跨越[5]。

（二）具備自主探索的環(huán)境

有效的數(shù)學學習活動，不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數(shù)學的重要方式[3]。然而，課堂時間有限，無法充分展開部分學習活動，學生也難以在短暫而緊湊的課內(nèi)消化所有內(nèi)容，課后作業(yè)的設計恰好彌補這一不足，讓學生通過課后寬松自由的時間空間環(huán)境，開展較為充分的探索和發(fā)現(xiàn)活動，延拓學習的深度和廣度。此外，面向人工智能高速發(fā)展的時代，作業(yè)設計還應注重與信息技術(shù)的有效融合，重視大數(shù)據(jù)、人工智能等對作業(yè)活動的輔助作用，如利用翻轉(zhuǎn)課堂、云課堂等網(wǎng)絡資源，豐富學生課后學習資源，拓寬學習渠道，促進學生學習方式的轉(zhuǎn)變。還比如，教師利用數(shù)學軟件指導學生展開數(shù)學實驗，培養(yǎng)學生研究性學習的意識，增強自主學習的能力。

（三）具有靈活多樣的類型

要發(fā)揮作業(yè)鞏固、診斷、學情分析等多種功能，需要考慮作業(yè)內(nèi)容的豐富性和作業(yè)類型的多樣性。多樣性既是對學生差異性的尊重，也是對教學內(nèi)容的有的放矢。對數(shù)學作業(yè)的內(nèi)容而言，可以考查學生對數(shù)學知識和技能的理解與掌握，也可考查對數(shù)學思想方法的領(lǐng)悟與應用，還可考查綜合解決問題的能力與素養(yǎng)。應特別強調(diào)的是，在作業(yè)內(nèi)容的選取及處理上，教師要做到“四要”，即要重視單元視角的整體規(guī)劃，要加強數(shù)學內(nèi)容與學生經(jīng)驗及社會生活的緊密聯(lián)系，要關(guān)注數(shù)學與其他學科的知識整合，要探索智育與德體美勞的有效融合。

（四）提供科學有效的評價

作業(yè)評價應堅持以核心素養(yǎng)為導向，關(guān)注學生綜合能力的提升，關(guān)注學生情感態(tài)度和價值觀的變化。教師作為作業(yè)評價的重要主體，首先應轉(zhuǎn)變作業(yè)評價觀，從重視作業(yè)“量”轉(zhuǎn)為關(guān)注作業(yè)“質(zhì)”，從設計鞏固提升的“短作業(yè)”走向素養(yǎng)發(fā)展的“長作業(yè)”[6]。其次要創(chuàng)新評價方法，注重基于證據(jù)的評價，探索增值評價，倡導協(xié)商式評價，推進表現(xiàn)性評價[7]，全面關(guān)注學生核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，切實關(guān)心學生的已有數(shù)學水平和提升空間。學生作為學習的第一責任人，應積極主動開展自評和互評。通過自評，學生了解自己在作業(yè)時間、壓力、情感變化以及掌握知識等方面的程度，增強自我學習管理能力。通過互評，學生產(chǎn)生橫向比較與學習，促進自我反思和完善[8]。斯塔弗爾比姆曾說：“評價最重要的意圖不是為了證明，而是為了改進。”作業(yè)評價，也正是為了學與教的不斷改進和提升。

三、初中數(shù)學作業(yè)設計的路徑

（一）立足教材，展現(xiàn)知識核心內(nèi)容

教材是連接課程方案與教學實踐的樞紐，是教師教和學生學的載體[9]。數(shù)學教材為學生的學習活動提供了主題、基本線索和知識結(jié)構(gòu)，是實現(xiàn)數(shù)學課程目標、實施數(shù)學教學的重要資源[10]。因此，作業(yè)設計必須重視教材的分析。作業(yè)內(nèi)容要基于課標要求，符合教材內(nèi)容，體現(xiàn)數(shù)學學科核心知識、思想方法，不能隨意、盲目地增刪知識。立足教材的同時還應超越教材，創(chuàng)造性使用教材。

（二）提供平臺，倡導探索交流活動

作業(yè)的完成需要較為充足的時間和相對自由的空間，這是保障作業(yè)順利進行的前提。首先，教師應提供較為充足的作業(yè)時間，引導學生獨立思考、探索、體驗，促進對知識的深度理解。其次，教師可圍繞作業(yè)評閱環(huán)節(jié)，展示學生作業(yè)情況，鼓勵學生交流完成作業(yè)的收獲與困惑，加強師生、生生互動，提高學生的表達反思能力。最后，教師可借助技術(shù)手段和網(wǎng)絡資源，突破課堂時空限制，為學生開展個性化學習和交流活動提供廣闊平臺。

（三）體現(xiàn)差異，鼓勵分層個性作業(yè)

設計差異化、層次化、個性化的作業(yè)，不僅能減輕學生學業(yè)負擔，減少數(shù)學學習挫敗感，還能有效挖掘?qū)W生的學習潛力，增強數(shù)學學習的興趣和信心。分層個性作業(yè)設計，需要教師結(jié)合教學重難點和學情分析，有梯度、有區(qū)分地設計作業(yè)。內(nèi)容上從考查基礎(chǔ)知識、基本技能、思想方法到綜合能力逐層遞進，形式上不僅要有傳統(tǒng)題型，也要考慮數(shù)學小報、思維導圖、研究報告、數(shù)學小論文等個性作業(yè)。

（四）重視評價，關(guān)注能力素養(yǎng)發(fā)展

作業(yè)評價是學校作業(yè)管理的重要一環(huán)，對于掌握學生學情、檢測教學效果、優(yōu)化教學方法具有重要作用[11]。如何進行科學有效的作業(yè)評價呢？應注重基于證據(jù)的評價，重視對作業(yè)的批閱、記錄和分析；探索增值評價，尊重學生的情感體驗，關(guān)注學生真實發(fā)生的進步；倡導協(xié)商式評價，加強對話交流，促進評價雙方自我總結(jié)、反思、改進；推進表現(xiàn)性評價，通過作業(yè)展示、成果匯報、實踐操作等方式，關(guān)注學生綜合實踐能力和學習情感態(tài)度的發(fā)展[7]。

四、初中數(shù)學作業(yè)設計案例

案例：人教版八年級（下）第十七章“勾股定理”第一節(jié)“勾股定理”的作業(yè)設計

勾股定理是平面幾何中的重要定理，也是初中階段圖形與幾何領(lǐng)域的核心知識，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，是溝通幾何與代數(shù)的有力工具。本節(jié)學習中，要引導學生經(jīng)歷勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程，增強推理能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力；體會數(shù)學命題中條件和結(jié)論的表述，感悟數(shù)學表達的嚴謹性、簡潔性；會用數(shù)學的思維思考問題、解決問題，發(fā)展模型觀念[3]。因此，基于課標導向和“雙減”精神，設計如下四個層次的課后作業(yè)：

（一）扎實基礎(chǔ)——勾股定理的理解應用

題目1 如圖1，圖中所有三角形都是直角三角形，四邊形A，B，C，D，E 都是正方形。已知正方形A，B，C，D 的邊長分別為12，16，9，12，求最大正方形的面積。

圖1

題目2 如圖2 所示，有一個水池，水面是一個邊長為10 尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1 尺。如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點。它的頂端恰好到達池邊的水面。水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？

圖2

題目3 我們知道數(shù)軸上的點有的表示有理點，有的表示無理點，你能在數(shù)軸上畫出表示的點嗎？ 按照找的方法，在數(shù)軸上畫出的點。

設計意圖：題目1、2、3 皆取自教材，三個題目在問題難度、內(nèi)容設置、考查能力方面逐層遞進。具體為：題目1 再現(xiàn)面積法證明勾股定理的模型，既強化了探索勾股定理的教學重點，也體現(xiàn)了勾股定理的簡單應用及模型價值。題目2 在題目1 的基礎(chǔ)上，增加對學生在實際情境中數(shù)學抽象能力的考查，發(fā)展學生的數(shù)學閱讀、空間想象、數(shù)學運算能力。同時，題目2 取材于我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》，不僅能弘揚我國古代數(shù)學取得的卓越成就，也能推廣閱讀數(shù)學經(jīng)典著作，推動數(shù)學文化走進課堂、融入課堂。題目3 蘊含“海螺無理數(shù)”的數(shù)學文化背景，展示勾股定理溝通代數(shù)與幾何的工具價值，幫助學生積累勾股定理解決線段長問題的活動經(jīng)驗，增強尺規(guī)作圖的能力。

（二）拓展知識——勾股定理的證法探索

任務1 閱讀教材第30 頁閱讀材料“勾股定理的證明”，嘗試根據(jù)畢達哥拉斯證法（圖3）、弦圖另一種證法（圖4）、加菲爾德“總統(tǒng)證法”（圖5）的圖形提示證明勾股定理，并總結(jié)上述證法之間的聯(lián)系與區(qū)別。

圖3

圖4

圖5

任務2 結(jié)合網(wǎng)絡資源，查詢了解關(guān)于勾股定理的更多證法，并自行整理2 種不同證法，與同學交流分享。

設計意圖：任務1 一方面引導學生形成良好的數(shù)學閱讀習慣，提高自主學習、反思總結(jié)的能力，一方面發(fā)展學生數(shù)學推理、幾何直觀、模型觀念等核心素養(yǎng)。同時，在問題證明中感受數(shù)學思維的魅力，體會數(shù)學家們解決問題的創(chuàng)造性。任務2 鼓勵學生利用網(wǎng)絡資源展開自主探索、同伴交流。不僅讓學生了解勾股定理發(fā)展歷程中所積累的豐碩成果，拓寬知識視野，發(fā)散數(shù)學思維，同時也增強學生查詢并獲取資源的能力，引導學生學會學習、學會交流。

（三）實踐創(chuàng)新——勾股定理的生活妙用

任務3 結(jié)合教材內(nèi)容，歸納總結(jié)勾股定理的作用。利用勾股定理解決你在生活中遇到的問題，并嘗試用數(shù)學的語言進行表達和問題解決。

設計意圖：任務3 將數(shù)學還原到生活中，為學生“用數(shù)學”“做數(shù)學”搭建平臺，讓學生在做中學、學中思、思中悟、悟中創(chuàng)。

（四）反思學習——勾股定理逆命題探究

任務4 利用數(shù)學語言寫出勾股定理的逆命題，并嘗試探究該命題的真假。

設計意圖：弗萊登塔爾曾說：“即使是兒童，也已經(jīng)具有某種‘潛在的發(fā)現(xiàn)能力’，他們的思維和行為方式已經(jīng)具備了某些教師甚至研究人員的特征，讓他們重復人類數(shù)學發(fā)現(xiàn)的活動是完全可能的。”任務4 作為后續(xù)新課學習內(nèi)容，可作為選做題，主要是針對學有余力的學生，積極喚醒、激發(fā)他們的思維活動，引導他們自我完善知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建命題體系。同時，幫助他們體會數(shù)學研究的方法和手段，增強研究性學習的意識和能力。

減負，不僅要做“減法”，更要做“加法”，并且“減”的關(guān)鍵取決于學習質(zhì)量的“加”。作業(yè)，是課程改革中不可忽視的關(guān)鍵領(lǐng)域[2]，只有提高作業(yè)質(zhì)量，關(guān)注作業(yè)有效性，才能減少學生機械重復訓練，切實減輕學生過重作業(yè)負擔，為其全面發(fā)展提供可能。